domenica 22 maggio 2011

61. Gatti e Figlie

Nel sito BASE Cinque Appunti di Matematica ricreativa: http://utenti.quipo.it/base5/
si possono trovare molti problemi provenienti dalle fonti più disparate. In particolare il problema:

32. Un filo intorno alla Terra

Supponiamo la terra perfettamente sferica di circonferenza 40000 km, e un filo della stessa lunghezza che le giri tutto attorno all'Equatore. Tagliamo il filo, aggiungiamogliene un metro, riannodiamo il tutto e lasciamo il nuovo anello a distanza costante dalla superficie.
Può un gatto passare tra il filo e la terra?

Un altro modo di presentare l’argomento e’:  dato lo stesso filo all’equatore, di quanto aumenta la sua lunghezza se viene alzato di un metro in ogni suo punto? E se la stessa domanda riguardasse una circonferenza paragonabile all’orbita di un pianeta o di dimensioni maggiori? La risposta sarebbe sempre la medesima: il raggio (in metri) passerebbe da R a R+1, mentre la lunghezza della circonferenza
da 2pR a 2p(R+1), cioè in ogni caso l’aumento e’ 2p (6,28 metri).
E’ sorprendente come il calcolo matematico arrivi in modo così semplice ad un risultato poco intuitivo… Una spiegazione può trovarsi nel fatto che l’incremento e’ proporzionale sia alla lunghezza del filo che alla sua curvatura ( k = 1/R ).

Se invece di una circonferenza prendiamo un rettangolo, si vede che la lunghezza dei lati rimane invariata, mentre aggiungendo dei quadranti di circonferenza sui 4 angoli, l’incremento e’ ancora 2p (!). 
Nota: la curvatura e' uguale a 0 sui 4 lati e 1 sui quadranti.

Questo ragionamento vale anche per poligoni di n lati. E facendo tendere n all’infinito il poligono approssima una circonferenza, mentre l’incremento rimane sempre 2p.

La risposta al problema del gatto e’ affermativa in quanto la distanza e’ 1 / 2p (circa 16 cm).

L’incremento dell’area all’aumentare di R non rimane costante, ma in modo asintotico e’ direttamente proporzionale ad R.


Nello stesso sito, il problema #5 e’ formulato:

5. L'età delle figlie
Un intervistatore bussa alla porta di una casa dove è atteso da una signora. La signora gli apre e lui chiede:
"Quanti figli ha?"
"Ho tre figlie." gli risponde la donna."
"Età?"
"Il prodotto delle età è 36 e la somma è uguale al numero civico di questa casa."
"Buon giorno e grazie."
L'intervistatore se ne va, ma dopo un po' ritorna e le dice:
"I dati che mi ha fornito non sono sufficienti."
La signora ci pensa un po' e replica:
"E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
Con questo dato l'intervistatore può conoscere l'età delle tre figlie.
Quanti anni hanno?

Nella forma che venne trasmessa per radio non veniva fornito nemmeno il prodotto delle età, ma alla persona che incontrava la donna veniva detto che era uguale all’età della donna stessa e che da quando andavano al liceo era trascorsa una ventina d’anni.

L’interessante e’ come, nell’ultima affermazione della donna, l’importante non e’ il colore degli occhi, ma che esista una figlia maggiore.

Il quesito #32 e’ riportato assieme ad altri molto intriganti nel libro:
 Maurizio Codogno, Matematica in Relax, Vallardi, 2011


17. Un nome davvero singolare: Carlo
Sapresti dire un nome di uomo che non abbia alcuna lettera in comune con il nome Carlo?

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