272. Sonde spaziali

Le sonde Pioneer 10 e 11 (lanciate nel ’72 e ’73) e successivamente le 2 Voyager (lanciate nel ’77) sono state progettate per l’esplorazione del Sistema Solare.

Entrambe le sonde Pioneer hanno a bordo una placca; in alluminio anodizzato con oro, su cui è inciso:

·       Lo schema di transizione iperfine per inversione di spin dell'idrogeno neutro per suggerire quale frequenza utilizzare per contattarci (lunghezza d'onda 21 cm)

·       La posizione relativa del Sole rispetto al centro della galassia e a 14 pulsar

·       Lo schema del Sistema solare

·       Le immagini di un uomo e di una donna, sovrapposte al contorno della navicella per rendere l’idea della statura delle due persone.

Cinque anni più tardi la NASA a bordo delle Voyager inviò un disco di rame placcato oro, con tanto di istruzioni per l’uso incise sulla custodia di alluminio. 

Include:

·       116 immagini dell’ambiente terrestre

·       le registrazioni di 27 brani musicali

·       i saluti in 55 lingue

·       un messaggio del Segretario generale delle Nazioni Unite Kurt Waldheim

·       uno del Presidente degli Stati Uniti Jimmy Carter

·       suoni caratteristici del pianeta Terra.

Il disco è in rame placcato d’oro, 30 cm di diametro. La copertura del disco è in alluminio, elettro-placcato con un campione dell'isotopo di uranio-238 (il cui tempo di dimezzamento è di 4.468 miliardi di anni) per consentire a un'eventuale civiltà che lo recuperi di determinarne l'età misurando (attraverso, per esempio, uno spettrometro di massa) la frazione di uranio rimanente.

Aneddoto: il team di Carl Sagan voleva includere nel disco la canzone dei Beatles del 1969 "Here Comes the Sun", ma la casa discografica EMI, che deteneva i diritti d'autore, rifiutò. Sagan raccontò che i Beatles erano favorevoli all'idea, ma non possedevano il copyright.

Le missioni Voyager utilizzarono un allineamento planetario che avviene una volta ogni 175 anni, il che permette di visitare i 4 pianeti giganti del Sistema Solare. Nel 1998, Voyager 1 era la navicella più lontana dalla Terra (superando Pioneer 10).

Non è previsto che incontrino stelle vicine, tra 40.000 anni Voyager 1 passerà a più di 1 anno-luce dalla stella nana AC+793888 e fra circa 300.000 anni Voyager 2 transiterà a 4,3 anni-luce da Sirio.

Le sonde gemelle Voyager sono passate accanto a Giove e a Saturno, in seguito Voyager 2 ha visitato anche Urano e Nettuno.

Voyager 1 - 5 settembre 1977

La sonda passò vicino a Giove il 5 marzo 1979. Le due Voyager fecero numerose scoperte su Giove e i suoi satelliti. La più sorprendente fu la scoperta di vulcani di zolfo su Io, che non erano mai stati osservati né dalla Terra né dal Pioneer 10 o dal Pioneer 11. La sonda proseguì il suo viaggio verso Saturno. Il punto di massimo avvicinamento fu raggiunto il 12 novembre 1980, quando passò a una distanza di poco più di 120.000 km dal pianeta. La sonda fotografò le complesse strutture degli anelli di Saturno, e studiò l'atmosfera di Saturno e di Titano.

A maggio 2025, la sonda sta operando e comunicando dati da 47 anni e 8 mesi e, continuando a viaggiare rispetto al Sole alla velocità stimata di 61.198,15 km/h, si trova alla distanza dal Sole di 166,9 AU (2,49×10¹⁰ km), facendone l'oggetto artificiale più lontano dalla Terra.

Voyager 2 - 20 agosto 1977  - quattro pianeti:

• Giove (9 luglio 1979)
• Saturno (26 agosto 1981)
• Urano (24 gennaio 1986)
• Nettuno (25 agosto 1989)

A maggio 2025 la Voyager 2 si trova nello spazio interstellare alla distanza dal Sole di 139,626 AU (2,088×10¹⁰ km). La sonda si sta allontanando dal Sole alla velocità di 15,37 km/s.

Oltre queste, le principali sonde che sono andate oltre Giove includono New Horizons (che ha esplorato Plutone e ora si trova nella cintura di Kuiper), e missioni come Juno (che esplora Giove) e Cassini (che ha esplorato Saturno, ma ha attraversato l'orbita di Giove durante il suo viaggio). La sonda Parker Solar Probe e le sonde Helios sono missioni che, pur avendo come obiettivo primario il Sole, sono andate ben oltre l'orbita di Giove.

Ecco le principali sonde che sono arrivate oltre Giove (distanza di circa 5,2 AU dalla Terra):

Pioneer 10 (1972)

• Lancio: Il 2 marzo 1972, è stata la prima sonda a essere lanciata verso l'esterno del sistema solare. La missione principale di Pioneer 10 era quella di esplorare Giove, studiando il campo magnetico del pianeta, la radiazione cosmica e altri fenomeni. Dopo aver sorvolato Giove nel 1973, la sonda ha continuato a viaggiare verso l’esterno del sistema solare.
• Distanza attuale: Pioneer 10 è stata la prima sonda a lasciare il sistema solare nel 1983, quando ha raggiunto la zona di transizione tra il sistema solare e lo spazio interstellare. Pioneer 10 è ora a più di 13 miliardi di chilometri dalla Terra (circa 88 AU), nel 2003 il segnale è stato perso definitivamente.

Pioneer 11 (1973)

• Lancio: nell'aprile del 1973, quasi un anno dopo Pioneer 10, con un obiettivo simile. La missione di Pioneer 11 includeva lo studio di Giove, ma la sonda è stata anche la prima a esplorare Saturno, passando vicino al pianeta nel 1979 e fornendo preziose informazioni sui suoi anelli e sul campo magnetico.
• Distanza attuale: Dopo il sorvolo di Saturno, Pioneer 11 ha proseguito il suo viaggio nell'intervallo tra il sistema solare e lo spazio interstellare. La comunicazione con Pioneer 11 è stata interrotta nel 1995, e ora la sonda si trova a circa 12 miliardi di chilometri dalla Terra (circa 80 AU).

Voyager 1 (1977)

• Lancio: Voyager 1 è stata lanciata dalla NASA nel 1977 ed è attualmente la sonda spaziale più lontana dalla Terra. Ha attraversato l'orbita di Giove e Saturno, ed è ora nello spazio interstellare.
• Distanza attuale: Dopo aver passato Giove e Saturno, Voyager 1 ha continuato il suo viaggio verso l'uscita dal sistema solare. Continua a inviare segnali.

Voyager 2 (1977)

• Lancio: lanciata anch'essa nel 1977, ha esplorato Giove, Saturno, Urano e Nettuno. È l'unica sonda che ha visitato tutti e quattro i giganti gassosi.
• Distanza attuale: Dopo aver attraversato l'orbita di Giove, Voyager 2 ha visitato Saturno, Urano e Nettuno. Anche Voyager 2 è attualmente diretta verso lo spazio interstellare e ha attraversato la frontiera del sistema solare nel 2018, rimanendo in contatto con la Terra.

Helios 1 e Helios 2 (1974 e 1976)

• Lancio: missioni congiunte tra NASA e Germania, lanciate negli anni '70.
• Distanza attuale: pur essendo destinate a studiare il Sole, entrambe le sonde hanno poi viaggiato molto oltre Giove per raccogliere dati sul vento solare e sulle particelle cariche.

Cassini (1997)

• Lancio: nel 1997 con destinazione Saturno, Cassini ha attraversato l'orbita di Giove durante il suo viaggio.
• Distanza attuale: Cassini ha utilizzato Giove come punto di assistenza gravitazionale durante il suo viaggio verso Saturno. La missione ha studiato Saturno, le sue lune e gli anelli fino al termine della sua missione nel 2017.

New Horizons (2006)

• Lancio: nel 2006, ha raggiunto Plutone nel 2015 e ha continuato a esplorare la fascia di Kuiper Belt.
• Distanza attuale: dopo aver sorvolato Plutone, New Horizons ha continuato verso oggetti più distanti nel sistema solare esterno, ed è ora nella fascia di Kuiper oltre l'orbita di Giove. Nel gennaio 2019, ha sorvolato un oggetto chiamato Arrokoth (precedentemente noto come 2014 MU69), il primo oggetto della cintura di Kuiper ad essere esplorato da una sonda.

Juno (2011)

• Lancio: nel 2011 per studiare Giove, ha attraversato l'orbita del pianeta gigante e si è inserita in orbita polare attorno a Giove nel 2016.
• Distanza attuale: la sua traiettoria l'ha portata oltre l'orbita di Giove per entrare in orbita attorno al pianeta gigante, esplorando la sua atmosfera, il suo campo magnetico e le sue lune.

Parker Solar Probe (2018)

• Lancio: nel 2018 per studiare il Sole, ma la sua traiettoria la porta ben oltre l'orbita di Giove durante il suo viaggio.
• Distanza attuale: la sonda ha compiuto una serie di passaggi ravvicinati con il Sole e arriverà fino a 0,04 AU dal Sole durante i suoi passaggi più stretti. 

Record di velocità - Wikipedia

Il record per la maggiore velocità raggiunta da un oggetto creato dall'uomo appartiene alla sonda Parker Solar Probe, che il 29 aprile 2021 ha raggiunto i 532000 km/h in avvicinamento al Sole e raggiungerà il picco di velocità con 690000 km/h presso il perielio.

Voyager 2 velocity;   Earth – Jupiter – Saturn – Uranus - Neptune

ntrs.nasa.gov/api/citations/19900004096/downloads/19900004096.pdf

La fionda gravitazionale è una tecnica che utilizza la gravità di un pianeta per alterare il percorso e la velocità di un veicolo spaziale, consentendo di risparmiare carburante e tempo. A seguito dei guadagni di velocità dovuti a Giove, Saturno e Urano, la gravità del Sole non ha potuto impedire l'uscita di Voyager 2 dal sistema solare. La sonda accelera e poi rallenta mentre sorvola ciascun gigante gassoso, ma sperimenta solo variazioni positive di velocità relative al Sole.

Jean-Luc Robert-Esil - Jacques Paul, Piccolo libro sull’Universo, ediz. Dedalo

Placca dei Pioneer - Wikipedia

List of artificial objects leaving the Solar System - Wikipedia

Apollo 11 goodwill messages - Wikipedia

Voyager Golden Record - Wikipedia

Pale Blue Dot - Wikipedia

Portal:Spaceflight - Wikipedia

Timeline of spaceflight - Wikipedia

List of Solar System probes - Wikipedia

Fionda gravitazionale - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 26. Effetto Fionda Gravitazionale

Zibaldone Scientifico: astronomia

268. Falla di Gödel

 

Articolo V

Il Congresso, quando i due terzi di ciascuna Camera lo ritengano necessario, potrà proporre emendamenti a questa Costituzione o, su richiesta dei Legislativi dei due terzi dei vari Stati, potrà convocare una Convenzione per proporre emendamenti, che, in entrambi i casi, saranno validi ad ogni intento e proposito come parte di questa Costituzione quando ratificati dai Legislativi dei tre quarti dei diversi Stati, o da apposite Convenzioni nei tre quarti di essi, a seconda che l'uno o l'altro modo di ratifica sia proposto dal Congresso; con l'eccezione che nessun emendamento che sia fatto prima dell'anno 1808 potrà in qualsiasi modo incidere sulla prima e sulla quarta clausola della Sezione nona dell'articolo primo; e che nessuno Stato potrà, senza il suo consenso, esser privato della sua parità di suffragio nel Senato.

Nel 1947, Kurt Gödel, Albert Einstein e Oskar Morgenstern guidarono da Princeton a Trenton con l'auto di Morgenstern. I tre uomini, che erano fuggiti dall'Europa nazista e che erano diventati amici intimi all'Institute for Advanced Study, stavano andando in tribunale dove Gödel, un esule austriaco, avrebbe dovuto sostenere l'esame di cittadinanza statunitense, cosa che i suoi due amici avevano già fatto.

Tra le altre cose, Morgenstern aveva fondato la teoria dei giochi, Einstein aveva fondato la teoria della relatività e Gödel aveva rivoluzionato la matematica e la filosofia con i suoi teoremi di incompletezza.

Kurt Gödel e Albert Einstein a Princeton. Fotografia scattata da Oskar Morgenstern

Oskar Morgenstern e Kurt Gödel a Princeton. Fotografia scattata da Albert Einstein

Morgenstern guidava. Gödel si sedette dietro. Einstein, davanti con Morgenstern, si voltò e disse, scherzando:

"Ora, Gödel, sei davvero ben preparato per questo esame?"

Gödel sembrava colpito.

Secondo Morgenstern, lo scopo di Einstein nel chiedere questo era quello di innervosire Gödel, la cui reazione lo divertì.

In tribunale

I testimoni normalmente rimanevano fuori dalla stanza durante un esame di cittadinanza, ma poiché Einstein era coinvolto, e poiché il giudice, Phillip Forman, aveva prestato giuramento di cittadinanza a Einstein, tutti e tre gli uomini furono invitati a presentarsi.

Durante l'esame, Forman chiese a Gödel la storia del governo austriaco: 

Examiner:    "Now, Mr. Gödel, where do you come from?"
Gödel:         "Where I come from? Austria."
Examiner:    "What kind of government did you have in Austria?"
Gödel:         "It was a republic, but the constitution was such that it finally was changed into a dictatorship."
Examiner:    "Oh! This is very bad. This could not happen in this country."
Gödel:         "Oh, yes. I can prove it."

In sintesi: era una repubblica, ma la costituzione era tale che alla fine cambiò in una dittatura; il giudice commentò che ciò non poteva accadere negli Stati Uniti e Gödel rispose "Oh, sì, posso provarlo", ma il giudice rifiutò di approfondire la questione.

Per prepararsi al test di cittadinanza, sapendo che gli sarebbero state poste domande sulla Costituzione degli Stati Uniti, Gödel si era dedicato allo studio della storia americana e del diritto costituzionale. Più e più volte, aveva telefonato a Morgenstern con il panico crescente per l'esame. Morgenstern lo rassicurò che "al massimo potrebbero chiedersi che tipo di governo abbiamo". Ma Gödel si arrabbiò sempre di più. Alla fine, come ricordò in seguito Morgenstern, "mi disse piuttosto eccitato che guardando la Costituzione, con sua angoscia, aveva trovato alcune contraddizioni interne e che poteva mostrare come in modo perfettamente legale sarebbe stato possibile per qualcuno diventare un dittatore e instaurare un regime dittatoriale, mai voluto da coloro che hanno redatto la Costituzione". Aveva trovato un difetto logico.

Morgenstern parlò ad Einstein della teoria di Gödel; entrambi dissero a Gödel di non parlarne durante l'esame.

Quanto invece successo, quando arrivarono in aula, è stato mostrato prima.

Né Gödel né i suoi amici hanno mai spiegato quale fosse la teoria, che da allora è stata chiamata la falla di Gödel.

Kurt Gödel ha esaminato attentamente le più di quattromila parole della Costituzione degli Stati Uniti e ha individuato un difetto logico.

Gli Stati Uniti sono stati la prima nazione la cui costituzione ha previsto una propria revisione. Senza l'articolo V, la Costituzione avrebbe molto probabilmente fallito la ratifica. Tutti sapevano che la Costituzione era imperfetta; L'articolo V lasciava socchiusa una porta costituzionale per rendere essa "più perfetta".

In ogni caso, negli Stati Uniti, è estremamente difficile modificare la Costituzione.

La Costituzione degli Stati Uniti è stata riscritta tre volte: nel 1791, i primi dieci emendamenti; dopo la guerra civile e più recentemente, con la ratifica di alcuni emendamenti.

La falla di Gödel in realtà è una versione costituzionale dell'idea che, se il genio della lampada ti offrisse tre desideri, dovresti iniziare desiderando altri desideri.

Articolo V: la disposizione di modifica non vieta di modificare l'articolo V stesso.

È molto difficile ratificare un emendamento costituzionale, ma se un presidente riuscisse ad accumulare abbastanza potere e ad accumulare abbastanza seguaci, potrebbe ottenere la ratifica di un emendamento che riveda il meccanismo stesso dell'emendamento. Se un articolo V rivisto rendesse possibile a un Presidente di emendare la Costituzione per decreto (ad esempio, "Il Presidente, ogni volta che lo riterrà necessario, apporterà emendamenti a questa Costituzione, che saranno validi a tutti gli effetti, come parte di questa Costituzione"), potrebbe trasformare una democrazia in una dittatura senza far nulla di incostituzionale.

Dopo l'udienza

Torniamo a quanto scritto da Morgenstern nel suo memorandum, dopo l'udienza: "Partimmo, tornammo a Princeton, e quando arrivammo all'angolo di Mercer Street, chiesi a Einstein se volesse andare all'Istituto o a casa". Risposta: "Portami a casa, il mio lavoro non vale più nulla". […] "Poi via di nuovo a casa di Einstein". Quando raggiunsero la casa,  Einstein si voltò verso Gödel e disse:

 

Einstein:      "Ora Gödel, questo è stato il tuo penultimo esame"
Gödel:         "Santo cielo, ce n'è ancora un altro in arrivo?"
Einstein:      "L'esame successivo è quando entri nella tomba"
Gödel:         "Ma Einstein, non devo entrare nella tomba" 

Einstein:      "È solo uno scherzo!"

"Detto questo, se ne andò. Ho accompagnato Gödel a casa. Tutti erano sollevati che questa formidabile faccenda fosse finita: Gödel aveva di nuovo la testa libera per affrontare problemi di filosofia e di logica". — Oskar Morgenstern

Gödel’s Constitutional Quarrel. The Gödel Essays | by Jdennysmess | Medium

XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America - Wikipedia

Oskar Morgenstern's account of Kurt Gödel's naturalization

Falla di Gödel - Wikipedia

In conclusione, aggiungo una nota in merito alle regole di rielezione alla carica di Presidente degli Stati Uniti.

Franklin Delano Roosevelt  (30 gennaio 1882 –  12 aprile 1945) fu eletto 4 volte ed ebbe una durata del mandato di 12 anni, dal 4 marzo 1933, al 12 aprile 1945.

Roosevelt trascorse i mesi precedenti alla Convenzione nazionale democratica del 1940 rifiutandosi di comunicare se avrebbe richiesto un terzo mandato. Quando iniziò la convention, inviò un messaggio dicendo che si sarebbe candidato solo se fosse stato scelto, affermando che i delegati erano liberi di votare per chi volevano. Questo messaggio fu interpretato come la volontà di essere nominato e fu rinominato al primo scrutinio. Roosevelt ottenne una vittoria decisiva sul repubblicano Wendell Willkie, diventando l'unico presidente a superare gli otto anni di mandato. La sua decisione di cercare un terzo mandato dominò la campagna elettorale. Willkie si oppose al mandato presidenziale a tempo indeterminato, mentre i democratici citarono la Guerra in Europa come motivo per rompere con i precedenti.

Quattro anni dopo, Roosevelt affrontò il repubblicano Thomas E. Dewey nelle elezioni del 1944. Verso la fine della campagna elettorale, Dewey annunciò il suo sostegno a un emendamento costituzionale per limitare i presidenti a due mandati. Secondo Dewey, “quattro mandati, o sedici anni, un riferimento diretto al mandato del presidente di lì a quattro anni, sono la minaccia più pericolosa alla nostra libertà mai proposta”. Con discrezione sollevò anche la questione dell'età del presidente. Roosevelt emanava energia e carisma sufficienti per conservare la fiducia degli elettori e fu eletto per un quarto mandato.

Sebbene durante la campagna elettorale avesse smentito le voci sulla sua cattiva salute, la salute di Roosevelt stava peggiorando. Il 12 aprile 1945, solo 82 giorni dopo il suo quarto insediamento, fu colpito da un'emorragia cerebrale e morì, succeduto dal vicepresidente Harry Truman. Alle elezioni di metà mandato del 1946, 18 mesi dopo, i repubblicani presero il controllo della Camera e del Senato. Poiché molti di loro avevano fatto campagna elettorale sulla questione del mandato presidenziale, dichiarandosi a favore di un emendamento costituzionale che limitasse la durata del mandato presidenziale, la questione ebbe la priorità nell'80° Congresso quando si riunì nel gennaio 1947.

Il XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America limita il numero di volte in cui una persona può essere eletta alla carica di Presidente degli Stati Uniti a due mandati e stabilisce ulteriori condizioni di eleggibilità per i Presidenti che succedono ai mandati non scaduti dei loro predecessori. Il Congresso approvò il Ventiduesimo Emendamento il 21 marzo 1947 e lo sottopose alle legislature statali per la ratifica. Il processo si è concluso il 27 febbraio 1951, quando 36 stati su 48 hanno ratificato l'emendamento e le sue disposizioni sono entrate in vigore in quella data.

Roosevelt sostenne anche, a partire dal 1942, lo sviluppo e la costruzione delle prime bombe atomiche della storia dell'umanità che verranno impiegate dal suo successore Harry Truman sulle città di Hiroshima e Nagasaki.

Zibaldone Scientifico: 197. Tempo: 9.192.631.770

221. Una proprietà della Catenaria

La successione di Didone al trono di Belo, re di Tiro, di cui era figlia primogenita, fu contrastata dal fratello Pigmalione, che le uccise segretamente il marito Sicheo e prese il potere al suo posto. Probabilmente con lo scopo di evitare la guerra civile, Didone lasciò Tiro con un largo seguito e cominciò una lunga peregrinazione, le cui tappe principali furono Cipro e Malta.

Approdata infine sulle coste libiche, Didone ottenne dal re Iarba il permesso di stabilirvisi, prendendo tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di bue". L'antico soprannome di Cartagine, infatti, era "Birsa", che in greco significa "pelle di bue". Didone scelse una penisola, tagliò astutamente la pelle di toro in tante striscioline e le mise in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città di Cartagine e riuscì a occupare un terreno di circa ventidue stadi quadrati (uno stadio equivale a circa 185,27 m). Da questa leggenda è nato il cosiddetto problema di Didone.

Cartagine

Didone è una figura mitologica, fondatrice e prima regina di Cartagine. Secondo la narrazione virgiliana si innamorò dell'eroe troiano Enea, figlio di Anchise, quando si rifugiò a Cartagine prima di arrivare nel Lazio, e lo sposò. Disperata per la partenza improvvisa di Enea, costretto dal Fato, Didone si uccise con la spada di Enea.

Con la corda composta dalle striscioline, la principessa fece congiungere le rive dai lati opposti dell’altura, acquisendo così la proprietà della collina ed un comodo sbocco sul mare; inoltre viene specificato che Didone fece disporre la corda a forma di semicerchio in modo da racchiudere la maggior area possibile. Questo racconto alimentò la curiosità dei matematici: infatti porta con sé la questione del perché Didone avesse scelto proprio la forma semicircolare per delimitare quella che riteneva essere la maggior superficie possibile. Il problema, chiamato spesso problema isoperimetrico, si può riformulare chiedendo quale sia la figura geometrica che a parità di perimetro ha area maggiore. La soluzione è intuitivamente il cerchio. Per dimostrare questo risultato si dovette attendere il 1838 quando Jakob Steiner ci riuscì mediante un processo noto come simmetrizzazione di Steiner. Successivamente la sua dimostrazione fu perfezionata e resa più rigorosa da altri matematici come Karl Weierstrass.

Si tratta di ottenere il massimo risultato con un dato sforzo o viceversa un risultato desiderato con il minimo sforzo. Da questa doppia formulazione dello stesso problema, vediamo che non vi è alcuna differenza essenziale fra massimo e minimo, cioè possiamo semplicemente parlare di valori estremi. Un campo in cui il principio di minimo si è mostrato utile è la statica, la scienza dell’equilibrio. Un corpo che si muove su una superficie liscia sotto l’influenza della forza di gravità, si ferma in equilibrio stabile nel punto più basso. Se abbiamo un sistema meccanico formato da diversi corpi, come ad esempio una collana di perle, il centro di gravità del sistema all’equilibrio sarà situato il più in basso possibile. In altre parole, per trovare l’equilibrio stabile, si deve cercare la posizione in cui l’altezza del baricentro sia un minimo. Il prodotto di questa altezza per la forza di gravità è chiamato energia potenziale. Una catena, costituita da moltissime parti e sospesa agli estremi, assume una forma definita dalla condizione che l’altezza del suo baricentro sia un minimo. Abbiamo a che fare con un problema variazionale e fra le infinite curve di ugual lunghezza, quella con il baricentro più basso viene chiamata catenaria.

Da Wikipedia - In matematica, la catenaria è una particolare curva piana iperbolica (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento è quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.

L'equazione della catenaria può essere espressa matematicamente tramite il coseno iperbolico: 

 

http://www.wikiwand.com/en/Catenary

 

Il problema era già stato considerato da Leonardo da Vinci nel XV secolo. Galileo Galilei credette che la parabola potesse essere l’equazione giusta, ma in seguito nel 1669 il matematico tedesco Joachim Jungius dimostrò che non era così. Ma furono Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens e Johann Bernoulli a ricavare nel 1691 l’equazione corretta, che, al contrario della parabola, era una curva non algebrica. Galilei non aveva però sbagliato del tutto; nella catenaria la distribuzione del peso della catena è uniforme per ogni lunghezza di arco, mentre nei ponti sospesi, dove alla catena sono appesi i tiranti che sostengono il ponte, la distribuzione del peso è uniforme per unità orizzontale di lunghezza e la curva è in questo caso una parabola. Nel caso di una vela gonfiata dal vento si ottiene la stessa curva, solo che viene chiamata velaria. Abbiamo già detto in un precedente post, che tra le proprietà della catenaria c’è quella di essere l’evoluta di una trattrice.

Si può provare che la catenaria è la curva cercata da Eulero che soddisfa la condizione: la superficie ottenuta dalla rotazione della catenaria è detta catenoide ed è la superficie di area minima che ha come bordo due circonferenze nello spazio poste su piani paralleli.

Catenoide

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Se si considera una linea retta parallela all’asse delle x (con equazione y = k), I’area compresa nell’intervallo [a,b] è semplicemente quella del rettangolo di lati “k” e “b-a”. Si può anche dire che l’area è proporzionale alla lunghezza del segmento della curva (in questo caso della retta).

Ebbene, esiste un’altra curva che possiede la stessa proprietà: la catenaria.

a = A = b = B

 

http://mathworld.wolfram.com/Catenary.html

http://www.matapp.unimib.it/

http://www.matapp.unimib.it/~leonardo/materiale.html

http://www.johndcook.com/blog/2016/10/27/a-curious-property-of-catenaries/?utm_source=feedburner&utm_medium=email&utm_campaign=Feed%3A+TheEndeavour+%28The+Endeavour%29

http://blog.mathteachersresource.com/?cat=62&paged=3

http://utenti.quipo.it/base5/analisi/catenaria.htm

https://mathproblems123.wordpress.com/2010/11/06/catenary-amazing-properties/

http://thenewkesari.blogspot.ch/

http://zibalsc.blogspot.it/2016/05/208-cicloidi-ed-acqua.html

 

220. Everest

Il monte Everest è la vetta più alta della Terra (8.848 m). Il nome fu introdotto nel 1865 dall'inglese Andrew Waugh (1810 – 1878), governatore generale dell'India, in onore di Sir George Everest (1790 – 1866), suo predecessore nel posto di ispettore generale dell'India, che lavorò per molti anni come responsabile di geografi e cartografi britannici in India. George aveva molti fratelli e nipoti. Una di queste nipoti era Mary Everest (1832 – 1916) figlia dell’eccentrico reverendo Thomas Roupell Everest. Da bambina Mary aveva mostrato una certa attitudine per la matematica ed i suoi genitori decisero di farla seguire da un tutor di 17 anni più anziano, al quale era legata da profonda amicizia. All’età di 23 anni, dopo la morte del padre, era caduta in miseria e alla proposta di matrimonio del tutor accettò di sposarsi. Ebbero 5 figlie, ma il matrimonio durò appena 9 anni. Nell’autunno del 1864, il marito aveva percorso 5 chilometri a piedi sotto la pioggia, mentre si recava ad insegnare all’University College Cork (UCC) in Irlanda. La cosa tragica è che probabilmente la sua morte fu affrettata dalle pericolose teorie della moglie, che a quanto pare lo “curava per similia” facendolo coricare tra lenzuola inzuppate nell’acqua fredda. Se ne andava così per una polmonite, all’età di 49 anni, George Boole (1815 – 1864) considerato il fondatore della logica matematica.

La vita di George Boole

Nasce a Lincoln, in Inghilterra, il 2 novembre 1815 e cresce in povertà, studiando da autodidatta greco, latino, francese, tedesco e italiano. Studia anche matematica sui testi di Giuseppe Luigi Lagrange e Pierre-Simon de Laplace. In seguito si dedica allo studio di metodi algebrici per la risoluzione di equazioni differenziali e la pubblicazione dei suoi risultati gli fa ottenere la medaglia della Royal Society.

Nel 1849 riceve la nomina alla cattedra di matematica al Queen's College di Cork, in Irlanda, dove insegnerà per tutto il resto della vita. Ed è proprio a Cork che George Boole si spegne l'8 dicembre 1864.

I più grandi meriti che vengono attribuiti a George Boole sono l'applicazione del calcolo simbolico alla logica. Con il suo "The Mathematical Analysis of Logic" (1847), Boole propone l'associazione tra logica e matematica al posto di quella fra logica e metafisica; in sostanza pone la logica sullo stesso piano della scienza, delle leggi dei simboli, attraverso i quali si esprimono i pensieri. La sua opera più importante è "An Investigation of the Laws of Thought" (1854), indirizzata alle leggi del pensiero, con la quale viene proposta una nuova impostazione della logica, riconducendo le composizioni degli enunciati a semplici operazioni algebriche, dopo aver rilevato le analogie fra oggetti dell'algebra e oggetti della logica (algebra booleana).

La sua terza figlia, Alicia Boole, fu anch'essa un'importante matematica: a lei si deve il termine "politopo", per riferirsi ad un solido convesso a 3 o più dimensioni come equivalente dei poligoni; i poligoni si possono quindi anche chiamare 2-politopi e i poliedri 3-politopi  (vedi 218. 1, 2, 3,tanti).

In piedi le 5 figlie: Margaret (1858-1935), Ethel Lilian (1864-1960), Alice (1860-1940), Lucy (1862-1905) e Mary Ellen (1856-1908).  Davanti: Julian & Geoffry I. Taylor, Mary Everest Boole, Leonard Stott, George Hinton e Mary Stott (seduta in braccio a Mary Everest Boole). Foto: Whitely of London, copyright UCC.

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Gli operatori dell'algebra booleana possono essere rappresentati in vari modi, ma spesso sono scritti semplicemente come AND, OR e NOT che è la scrittura che viene utilizzata per parlare degli operatori booleani.

Le diverse simbologie per rappresentare gli operatori sono scelte in base al campo in cui si lavora: i matematici usano spesso il simbolo + per l'OR, e X o * per l'AND, in quanto per alcuni versi questi operatori lavorano in modo analogo alla somma e alla moltiplicazione. La negazione NOT viene rappresentata spesso da una linea disegnata sopra l'argomento della negazione, cioè dell'espressione che deve essere negata.

Boole individuò un sistema per formulare questo tipo di ragionamenti per mezzo di un’algebra delle classi: le classi venivano indicate come lettere (ad esempio, x) così come già venivano utilizzate per rappresentare numeri nell’algebra ordinaria. Se x ed y rappresentavano due classi, Boole indicava con xy la classe degli oggetti che stavano sia in x che in y: in qualche modo, stava assimilando questa nuova operazione fra classi alla moltiplicazione numerica. Sussisteva, però, una differenza sostanziale: se x è la classe dei gatti rossi, allora xx è ancora la classe dei gatti rossi. Ossia, nella nuova algebra che stava nascendo era sempre valida l’equazione  xx = x; questo assioma segna un distacco dall’algebra ordinaria.

Il passo successivo fu trovare un’analogia con le equazioni dell’algebra, dove xx = x è vera se e soltanto se x = 0 oppure x = 1. Dunque, l’algebra della logica coincide con l’algebra ordinaria limitata ai due soli valori 0 e 1. I due valori 0 e 1 andavano, quindi, interpretati come classi. Per capire, però, in che modo consideriamo le moltiplicazioni per 0 e per 1 nell’algebra ordinaria: qualunque sia il valore di x,

0 ^. x = 0        1 ^. x = x

Se interpretiamo le due identità sopra nel linguaggio delle classi, esse sono vere quando indichiamo con:

• 0 la classe che non contiene alcunché, che oggi chiamiamo insieme vuoto,
• 1 la classe che contiene qualunque entità cui possiamo pensare, che potremmo chiamare universe.

Rimaneva ancora da interpretare, nella nuova algebra, l’altra operazione definita nell’algebra ordinaria: l’addizione. Boole stabilì che x+y rappresentava la classe contenente tutto ciò che è contenuto in x o in y.

Boole individuò nella sua algebra anche l’operazione inversa dell’addizione: x - y denota la classe contenente tutto ciò che è contenuto in x ma non è contenuto in y.

In particolare, 1 - x, la classe complemento di x, rappresenta tutto ciò che non è contenuto in x. Allora, x + (1 - x) = 1; ossia, qualunque oggetto deve essere in una classe o nel suo complemento: una rilettura del principio del terzo escluso di Aristotele.

Utilizziamo, ora, la notazione x² per indicare xx e vediamo come possiamo interpretare la regola fondamentale di Boole xx = x : tale regola può venire scritta come x² = x da cui, applicando il primo principio di equivalenza delle equazioni dell’algebra ordinaria, otteniamo x² - x = 0. Possiamo quindi raccogliere a fattor comune e ottenere x (1 - x) = 0; ossia, niente può sia appartenere che non appartenere a una classe. Per Boole questo fu un risultato entusiasmante, che rafforzò la sua convinzione di essere sulla strada giusta: infatti, questa equazione esprimeva proprio quel principio di non contraddizione che Aristotele ha descritto come l’assioma fondamentale di tutta la filosofia.

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http://www.treccani.it/enciclopedia/terzo-escluso-principio-del_(Dizionario-di-filosofia)/

http://smartnoob.blogspot.it/2013/05/boolean-algebra-digital-logic.html

 

 

La logica da Aristotele a Godel

 

Con la fisica moderna (la meccanica quantistica) si è però passati da una logica aristotelica o del terzo escluso, ad una eraclitea (antidialettica) che invece lo include sostituendo il principio di non contraddizione con quello di complementare contraddittorietà; potendo un quanto essere e non essere contemporaneamente due rappresentazioni opposte di una stessa realtà: particella ed onda. Cosa che poi rappresenta il vero paradosso del divenire della realtà in generale quando "nello stesso fiume scendiamo e non scendiamo; siamo e non siamo" (Eraclito).

 

Da Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Logica

 

 

http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2010/11/02/2-novembre-1815-buon-compleanno-george/

http://www.rudimathematici.com/archivio/094.pdf

 

http://keespopinga.blogspot.ch/2013/06/george-boole-vittima-del-pensiero.html

http://scienzaemusica.blogspot.ch/2013/11/george-boole-e-la-sua-algebra-della.html

http://www.ildiogene.it/EncyPages/Ency=Boole.html

https://it.wikipedia.org/wiki/George_Boole

http://georgeboole.com/news/fullstory-666059-en.html

http://pballew.blogspot.ch/2014/10/those-amazing-boole-girls.html

https://www.darwinproject.ac.uk/mary-everest-boole

http://tecalibri.altervista.org/D/DAVIS-MA_calcolatore.htm