Il mio amico G. vedendo il disegno
della pianta di Castel del Monte ha
pensato ad una struttura frattale.
Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) introdusse la parola frattale nel 1975 per descrivere
qualsiasi forma che continui ad avere una struttura “intricata” per quanto la si ingrandisca.
Un
frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia
interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque
ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.
Definizione più criptica: un frattale è un oggetto la cui dimensione frattale è maggiore di
quella topologica.
E’ un oggetto “infinitamente complicato” e, per quanto venga ingrandito, non si
riesce mai a ridurne la complessità. Molti frattali posseggono anche la
particolare proprietà di essere auto-similari:
al loro interno esistono repliche dell’oggetto considerato.
Il grado di complessità può essere
rappresentato da un numero detto dimensione
frattale.
Esistono due metodi per generare una struttura frattale:
il primo è ingrandire un oggetto
unitario,il secondo è costruire la sotto sequenza di divisione della struttura originale.
Se si prende un oggetto unitario con
dimensione lineare pari a 1 nella dimensione euclidea D, e ingrandiamo la sua
dimensione lineare di un fattore L
in ogni direzione spaziale, esso prende un numero pari a N = LD
di oggetti simili, per ricostruire l'oggetto originale.
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| http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension |
La dimensione frattale è quindi
definita da:
La curva di Koch è uno degli esempi più famosi di curva auto-similare
e apparve per la prima volta in un documento del 1904 del matematico svedese Helge von Koch.
Si costruisce dividendo un segmento in
tre parti uguali e sostituendo la parte centrale con due segmenti identici che
costituiscono i due lati di un triangolo equilatero; l’algoritmo continua
ripetendo questa sostituzione all’infinito per ogni nuovo segmento generato.
Ad ogni passaggio la lunghezza aumenta
di un terzo (rapporto 4/3); facendo tendere il numero dei passaggi all’infinito
anche la lunghezza diverge e, se vogliamo trovare una metrica per “misurare” i
vari frattali, dobbiamo trovare nuove definizioni.
Nella figura si possono vedere i primi passaggi per costruire la curva:
La dimensione della Curva di Koch (come anche della Polvere di Cantor) è:
log(4)
/ log(3) = 1.2619
Ci sono decine di modi per definire la
dimensione di un frattale. Quella più usata dai matematici è la definizione data
nel 1918 da Felix Hausdorff.
I frattali non sono necessariamente curve, ma possono essere anche superfici o solidi molto “intricati”.
La dimensione frattale delle vere coste è vicina a 1,25 (simile a quella della
curva di Koch).
Torniamo ora a Castel del monte. Per semplificare il calcolo consideriamo un
castello a pianta quadrata con torri quadrate; questo tipo di frattale “Boundary of theT-Square fractal” potete trovarlo nel lungo elenco:
I passaggi principali per costruire il
T-Square
sono:
1 – Partiamo con un quadrato di lato 2
x 2 (di perimetro 8)
2 – Raddoppiamo il lato e aggiungiamo
la struttura precedente ai 4 angoli
nota:
¼ di ogni torre si sovrappone alla nuova struttura
3 – Continuiamo a raddoppiare la
struttura centrale aggiungendo ogni volta 4 strutture precedenti come torri.
La lunghezza del perimetro al primo
passaggio passa da 8 a 32, poi a 112 e di seguito a 368, 1.168,
3.632, 11.152, 33.968, 102.928, 310.832, 936.592, 2.817.968, 8.470.288, 25.443.632,
76.396.432, ...
Per un numero di passaggi sempre maggiore, il rapporto tra due valori consecutivi ad ogni raddoppio tende a 3.
Quindi, per calcolare la dimensione frattale, basta calcolare il rapporto tra i logaritmi:
D = log(3)
/ log(2) = 1.5849
Per chi fosse
interessato ad approfondire l’argomento, è interessante notare che il Triangolo di Sierpinski ha la stessa
dimensione del Contorno di un frattale
T-square.
http://www.batmath.it/matematica/a_fiocchineve/pg1.htm
http://zibalsc.blogspot.it/2014/04/146-argomenti-complessi.html
http://zibalsc.blogspot.it/2014/09/162-grandi-numeri.html
http://myweb.lmu.edu/bmellor/courses/Symmetry/FractalDimension-Spring2013.pdf
http://scienceblogs.com/goodmath/2007/08/01/geometric-lsystems/
http://it.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot
Post magistrale! Grazie, M.! Il tuo amico G.
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