285. Forme armoniche - crinkle crankle wall

Quando pensiamo ad un muro, la prima cosa che ci viene in mente è una costruzione in mattoni più dritta possibile. Si sa che la linea retta è il percorso minimo tra 2 punti; per cui si decidono gli estremi, si piantano 2 paletti, si tira una corda e si comincia a costruire.

Nella contea di Suffolk, UK, è presente anche un altro esempio di muro:

Il muro crinkle crankle o anche muro a serpentina risale all’Antico Egitto e, tra le altre cose, permette di risparmiare mattoni.

Ha una forma sinusoidale che fornisce stabilità alla struttura senza l’utilizzo di pilastri o contrafforti a distanze regolari.

A parità di altezza, il numero di mattoni utilizzati nel muro è proporzionale al prodotto della sua lunghezza per il suo spessore. Supponiamo che il muro abbia una forma sinusoidale e consideriamo una sezione di muro lunga 2π. Se il muro ha la forma della funzione sen(x), allora la lunghezza di questa curva si trova calcolando il seguente integrale:

Se A = 0 abbiamo una linea retta, cioè un muro piatto con lunghezza 2π = 6,2832, mentre se A = 1 l’integrale vale 7,6404; il loro rapporto vale circa 1,22, cioè il 22% in più.

Ma la forma sinusoidale irrobustisce notevolmente il muro e permette quindi di utilizzare una sola fila di mattoni invece che 2, dimezzandone lo spessore, cioè lungo il 122% e largo il 50%, in totale si usa solo un numero di mattoni pari al 61%.

 

Finché il valore è inferiore al 100% si risparmierà materiale.

Ma per quale valore dell’ampiezza A si ha il 100% (cioè lo stesso numero di mattoni)?

Con A = 2,6 la lunghezza vale circa 6,2822 (quasi 2π)

A = 1  (in rosso)      -      A = 2,6  (in blu)

Se siete interessati, qui sotto potete trovare una bella lista di “crinkle crankle walls” con relative foto:

Crinkle-Crankle Walls Of Suffolk : EDitorial 4-Jan-2016

Crinkle crankle wall - Wikipedia

Il muro Crinkle-Crankle spiegato | Blog | Proprietà ALCO

Crinkle-Crankle Wall, Reclaimed Bricks in Ipswich | RBC – Reclaimed Brick Company

Crinkle crankle wall calculus

Crinkle crankle wall, Fulbourn © Bob Jones :: Geograph Britain and Ireland

L'incrollabile utilità dei serpeggianti muri d'Inghilterra - Il blog di Jacopo Ranieri

Easton - Google Maps

Out and about looking at Crinkle Crankle Walls / Historical Association

Slangenmuur - Wikipedia

Ha-ha - Wikipedia

crinkle crankle wall math - Cerca con Google

This Wall Uses Fewer Bricks Than A Straight Wall

Zibaldone Scientifico: 284. Prologo: Sinusoidi e forme armoniche

 

Grazie a Giorgio per il suggerimento

 

284. Prologo: Sinusoidi e forme armoniche

Viene considerata “armonica” un’oscillazione pura priva di distorsioni, cioè che vibra a una singola frequenza senza armoniche superiori.

Ad esempio la sinusoide, una funzione periodica oscillante, regolare e continua; nella forma più semplice   y = sen(x)

o in generale  y(t) = A sen(ωt + φ) ;  con ampiezza A, velocità angolare 𝜔 e fase φ.

Sen(x) oscilla tra +1 e -1; partendo da 0, cresce fino a 1, torna a 0, scende a –1, per tornare a 0 in 2π; è periodica e si ripete ogni 2π.

Secondo il teorema di Fourier, qualsiasi onda può essere scomposta come somma di funzioni seno e coseno.

L’area di una semionda è semplice da calcolare: l’integrale di sen(x) è -cos(x), da cui si può ricavare che l’area della semionda vale semplicemente 2.

Questa proprietà è degna di nota, una figura con base irrazionale π e altezza 1 ha come area un valore intero.

In quanto integrale ellittico, non è invece immediato calcolare la lunghezza del grafico, ma si può comunque ricavarla approssimando la funzione con una spezzata, ad esempio il segmento da 0 a 60 gradi ha lunghezza 1,36, mentre da 60 a 90 vale 0,54; in totale 1,9. Ottima approssimazione visto che il valore reale è circa 1,9101.

Per un semiperiodo (da 0 a π) vale circa 3,8202.

In tabella vengono mostrati alcuni esempi dei valori delle aree e delle lunghezze comprese tra limiti espressi in gradi:

Di seguito qualche esempio significativo mostrato in figura:

Zibaldone Scientifico: 285. Forme armoniche - crinkle crankle wall

283. Frazioni continue

La "Introductio in Analysin Infinitorum", pubblicata da Leonhard Euler (Eulero) nel 1748, pone al centro del lavoro l’investigazione dell’infinito, facendo ricorso esclusivamente a risorse algebriche e raccoglie diversi lavori su argomenti riguardanti algebra, funzioni trigonometriche e logaritmiche, serie infinite e frazioni continue.

LaVitaFelice.it

In questo post ci concentreremo su queste ultime ed in particolare su alcune delle tante frazioni continue relative a Pi Greco.

In occasione del Pi Day è usanza parlare del Pi Greco e cose da dire ce ne sono sempre molte.

Per cominciare, sappiamo che è un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come quoziente di due interi, ed inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico); ciò significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui Pi è radice; quindi, è impossibile esprimere Pi usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.

Ma la cosa incredibile è che le formule esposte da Eulero nella sua pubblicazione hanno un aspetto molto semplice.

Dopo aver discusso di serie infinite e di prodotti di infiniti fattori, affronta l’argomento delle frazioni continue, Eulero scrive:

          357. Chiamo ora funzione continua una frazione di tal genere: il suo denominatore consta di un numero intero e di una frazione, il cui denominatore di nuovo è la somma di un intero e di una frazione che a sua volta è realizzata in maniera simile, ovvero questa caratteristica procede all’infinito oppure si ferma da qualche parte. In tal modo quindi frazione continua sarà l’espressione seguente:

nella prima forma i numeratori delle frazioni sono unità, nella seconda forma invece i numeratori sono numeri qualsiasi.

Per comodità si può anche usare questa forma sintetica:

La frazione regolare (prima forma) per Pi comincia così:

dove non si vede una particolare regolarità nel denominatore e i termini vanno calcolati di volta in volta.

Lord Brouncker (1620-1686) fornisce nel 1659 (senza provarla) questa elegante frazione continua, mostrata di seguito insieme al prodotto infinito di Wallis e alla serie di Leibniz:

Nel 1775 Eulero riesce a dare una prova della sua validità.

Come si può notare, queste formule hanno un aspetto semplice e regolare.

 

1655: John Wallis (1616-1703) trova un prodotto infinito razionale per Pi; William Brouncker (1620-1684) lo converte poi in una frazione continua.

1665: Isaac Newton scopre il calcolo infinitesimale e calcola Pi fino alla 16ª cifra decimale.

1671: James Gregory scopre le serie delle arcotangenti.

1674: Gottfried Leibniz (1646-1716) scopre la serie delle arcotangenti per Pi.

1748: Eulero pubblica l'Introductio in Analysin Infinitorum contenente il cosiddetto Teorema di Eulero e molte serie per Pi.

 

Queste 3 formule viste prima (Wallis, Brouncker, Leibniz) sono profondamente collegate.

Connessione Wallis e Brouncker

Nel 1655, John Wallis pubblica nell'Arithmetica Infinitorum il suo prodotto infinito per 4/Pi, Wallis mostra il risultato a Lord Brouncker, il quale, ispirato dal lavoro dell'amico, trasforma il prodotto in una frazione continua generalizzata. Wallis pubblica la formula di Brouncker nel suo libro, pur non conoscendo l'esatto metodo di derivazione usato da quest'ultimo.

 

Connessione Brouncker e Leibniz

Sebbene la serie di Leibniz (scoperta indipendentemente anche da James Gregory) sia apparsa qualche decennio dopo, esiste un legame matematico diretto:

Trasformazione di Eulero: Leonhard Euler dimostra nel XVIII secolo che la frazione continua di Brouncker può essere derivata direttamente dalla serie di Leibniz applicando un metodo di trasformazione che converte una serie infinita in una frazione continua equivalente.

Entrambe le formule condividono la stessa scarsa efficienza computazionale e convergono quindi molto lentamente; per ottenere 10 cifre decimali, sono necessari circa 5 miliardi di termini sia per la serie di Leibniz che per la frazione continua di Brouncker.

Eulero mostra come trasformare serie infinite in frazioni continue:

Ad esempio:

Riporto anche la notevole formula:

Pi history - MacTutor History of Mathematics

Formula della frazione continua di Eulero - Wikipedia

Mauro Fiorentini - Frazioni continue

Rogers–Ramanujan continued fraction - Wikipedia

Serie (matematica) - Wikipedia

Storia della matematica - Wikipedia

Continued Fraction -- from Wolfram MathWorld

Trott Constants -- from Wolfram MathWorld

List of formulae involving π - Wikipedia

Pi - Wikipedia

L'univers de Pi - Méthodes Analytiques

Continued Fractions - An introduction

Le Frazioni Continue e l’Approssimazione dei Numeri Reali - GameLudere

Zibaldone Scientifico: 121. Irrazionale

Zibaldone Scientifico: 175. Prodotti Infiniti

In viaggio con Pi Greco.

Nel bell'articolo di Thomas J. Osler - LORD BROUNCKER’S FORGOTTEN SEQUENCE OF CONTINUED FRACTIONS FOR PI, vengono mostrate alcune formule ricavate da Brouncker:

282. Groenlandia

Quanto è grande la Groenlandia?   Risposta:  2.166.086 km²

Ma per farsi un’idea più precisa possiamo dire che è circa 7 volte l’Italia (302.069 km²) o anche che è circa 90 volte la Sardegna (24.106 km²).

Come già spiegato nel precedente post Mappe, le normali Carte Geografiche (come Google Maps) sono basate sulla Proiezione di Mercatore.

Proiezione di Mercatore

Lo sviluppo e l'utilità di questo tipo di carte deriva dal fatto che tutte le linee con angolo di rotta costante sono rappresentate su una mappa di Mercatore da segmenti rettilinei, sono le linee lossodromiche — quelle che determinano un angolo costante con i meridiani.

La proiezione di Mercatore rappresenta il passo più rilevante della cartografia nautica del XVI secolo e, come in ogni proiezione cilindrica, paralleli e meridiani sono rappresentati da linee rette perpendicolari tra loro. Realizzando però un'inevitabile distorsione della mappa, che aumenta con la distanza dall'equatore, tale che in ogni posizione, la scala delle distanze est-ovest è la stessa della scala nord-sud, rendendo la proiezione conforme. Una mappa di Mercatore pertanto non può mai coprire pienamente le aree in prossimità dei poli, in quanto ivi la scala delle distanze assume valori infiniti. Essendo una proiezione conforme, gli angoli sono preservati a partire da ogni posizione, mentre la scala delle distanze varia da punto a punto, distorcendo la forma degli oggetti geografici (basti pensare che tutti i paralleli risultano di uguale lunghezza).

In particolare, le aree prossime ai poli sono più affette dalla distorsione, rendendo un’immagine del pianeta tanto più distorta quanto più ci si avvicini ai poli.

La Groenlandia (2.166.086 km²) è rappresenta con un'area equivalente a quella dell'intero territorio dell'Africa (30.221.000 km²), quando in realtà l'area di questa è circa 14 volte quella della Groenlandia.

Infine l’area della sola Algeria (2.381.741 km²)  è maggiore di quella della Groenlandia.

Algeria  2.381.741 km²   -   Groenlandia  2.166.086 km²

Per visualizzare la distorsione viene utilizzato l’indicatore di Tissot dove ogni indicatore di forma ellittica rappresenta un’area circolare con 500 km di raggio.

 

  

Nelle mappe conformi, dove ogni punto preserva gli angoli proiettati dal modello geometrico, gli indicatori di Tissot sono tutti cerchi di dimensioni variabili in base alla posizione. Esiste una corrispondenza uno a uno tra l'indicatore di Tissot e il tensore metrico della conversione delle coordinate di proiezione della mappa.

Per una visualizzazione con deformazione ridotta si può utilizzare la proiezione di Fuller, conosciuta anche come Mappa Dymaxion, una rappresentazione cartografica del mondo ideata dall'architetto e inventore Buckminster Fuller nel 1943.

In pratica, la superficie terrestre viene proiettata sulle facce di un solido geometrico, solitamente un icosaedro (un poliedro con 20 facce triangolari), che viene poi "sviluppato" o disteso in piano. In questo caso la proiezione mantiene la precisione delle proporzioni e le forme delle aree. La mappa è progettata per essere dispiegata in modo che tutti i continenti appaiano interconnessi, senza interruzioni significative nelle masse terrestri, ed inoltre non ha un orientamento predefinito nord-sud, eliminando le convenzioni tipiche delle mappe eurocentriche.

Nota: Buckminster Fuller è noto anche per un nuovo stato allotropico del carbonio, quello dei fullereni, una particolare molecola di quell'allotropo (buckminsterfullerene) ha ricevuto il suo nome. Questo è legato al fatto che il carbonio a livello molecolare assume in natura, nei fullereni, una struttura cava, sferica o cilindrica, del tutto analoga alle sue strutture.

 

Zibaldone Scientifico: 111. Mappe

Zibaldone Scientifico: 239. Geodetiche su un poliedro

Proiezione di Fuller - Wikipedia

Richard Buckminster Fuller - Wikipedia

Dymaxion Chronofile - Wikipedia

281. La linea più corta

Problema: dividere in 2 parti uguali la superficie di un triangolo equilatero di lato unitario con la linea di minima lunghezza.

Le rette più semplici per sezionare il triangolo sono AH e EF. La prima, in blu, lo divide in 2 parti uguali e (come noto) è lunga 0,866; mentre la seconda, in verde, è più corta: 0,707.

Però nessuna delle 2 è di lunghezza minima. L’arco di circonferenza MN è il più corto: 0,673.

Questo può essere mostrato facilmente se si immagina un esagono (6 triangoli uguali con centro in A) di cui questo triangolo è quello posto in basso.

A questo punto la circonferenza (rossa) ha la proprietà di essere la curva di lunghezza minima che racchiude un’area data.

Questo vale per i singoli settori dell’esagono e può essere dimostrato che anche per un triangolo qualsiasi si hanno sempre archi di circonferenza.

Un altro esempio interessante è il seguente, dove per costruzione l’arco di circonferenza ha la stessa lunghezza dell’ipotenusa del triangolo (ma io faccio fatica a vederlo)

Ho provato a porre il quesito a 2 motori di ricerca: in un caso ho ottenuto risposte corrette, mentre l’altro ha scritto che esistono tagli rettilinei e anche dopo aver chiesto se esistessero sezioni curve ho ottenuto questo: