293. Palindromi

e di botto ebbe otto bidè

Un palindromo (una parola, una frase o un numero) rimane invariato letto da sinistra a destra o da destra a sinistra, più semplicemente la sua lettura speculare è identica, ad esempio: Anilina, Angela lava la legna o 29192.

Ci sono molti esempi di frasi famose in tutte le lingue:

A Legnano corro con Angela

A Milano, non a Lima

Aceto nell’enoteca

Ameni cinema

Amo ridere di Roma

Amo Roma

Angolo bar a Bologna

Ave Eva

E la sete sale

E non è Zenone

È rotto dottore

È sera, vado, tra poco parto da Varese

Era pacifica, pare

Ero maniaca in amore

I timidi miti

I tipici bicipiti

I topi non avevano nipoti

Io vado da voi

O mordo tua nuora o aro un autodromo

Ora baro

Ora corro, caro

Otto sagaci cagasotto

Urge reggere gru

Pull up if I pull up

Must sell at tallest sum

L’âge légal

Etna: lave dévalante

Ein Esel lese nie

Bei Liese sei lieb

Somos o no somos

Sé verlas al revés

In finlandese la parola "saippuakivikauppias" è lunga 19 lettere e significa “venditore di pietra da sapone” (o venditore di soda caustica).

Ci sono anche nomi o parole palindrome: Ada, afa, Anna, dvd, erre, esose, esse, ingegni, onorarono, oro, ossesso, osso, Otto, radar, SOS, TNT.

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Torniamo ai numeri

Il primo esempio che mostro è stato proposto da G.L. Honaker e C. Caldwell, "Palindromic prime pyramids," J. Recreational Math., 30:3 (1999-2000)

Dove ogni numero è primo e palindromo:

 

Un altro è il seguente:

1 x 1 = 1 è palindromo, ma anche 11 x 11 = 121 e 111 x 111 = 12321

questo fino a 111.111.111 x 111.111.111 = 12345678987654321

A002477 - OEIS

Il precedente link indica che questa sequenza è inserita nella 

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) (Enciclopedia in rete delle successioni di interi), un archivio accessibile da web.

Ne ho già parlato nel post Zibaldone Scientifico: 196. Inganni con alcuni interessanti esempi, ma dopo una breve descrizione di OEIS, in questo post si procederà con un estratto di successioni di numeri che possono essere messi in relazione con palindromi.

OEIS costituisce la più grande raccolta di successioni e il riferimento più autorevole per il settore; per ogni successione sono riportati i primi termini, le motivazioni matematiche, i link collegati ed è possibile generare un grafico o riprodurne una rappresentazione musicale. È inoltre presente un motore di ricerca interno per parola chiave o a partire da una sottosuccessione.

Neil Sloane iniziò a raccogliere successioni di interi da studente nel 1964.

Nel ‘73 e nel ‘95 pubblicò le successioni più interessanti nei due libri:

A Handbook of Integer Sequences     2400 successioni

The Encyclopedia of Integer Sequences  5487 successioni

Al raggiungimento delle 16.000 successioni Sloane rese disponibile la raccolta on-line; in un primo momento (1995) come servizio e-mail e poco dopo (1996) come servizio web.

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A002113  palindromi in base 10

A002385  primi palindromi  2, …, 11, 101, 131, …  (solo 11 ha un numero pari di cifre)

A002778  numeri il cui quadrato è palindromo   0, 1, 2, 3, 11, 22, 26, 101, 111, …

A002779  quadrati palindromi   0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, …

A002780  numeri il cui cubo è palindromo   0, 1, 2, 7, 11, 101, 111, …

A002781  cubi palindromi   0, 1, 8, 343, 1331, …

A007632  numeri palindromi in base 2 e 10

A056810  numeri la cui quarta potenza è palindroma

A186080  quarte potenze palindrome in base 10

A099145  numeri in base 10 palindromi in base 7 e 8

A060792  numeri palindromi in base 2 e 3

A003098  numeri triangolari palindromi

A035137  numeri che non sono somma di 2 palindromi (0 è palindromo)

A016115  numero di primi palindromi con n cifre

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Esiste anche una interessante congettura sui palindromi che non è stata ancora dimostrata, ed è così formulata:

 “Considerare un numero e invertire le  cifre che lo compongono. Sommare quindi a quello iniziale il numero così ottenuto. Se la somma non è un palindromo, ripetere il procedimento. È vero che reiterando il procedimento, a partire da un numero qualunque, si ottiene un palindromo?”

Applichiamo il procedimento al numero 87:
1. Invertendo sue cifre, otteniamo 78
2. effettuiamo la somma tra 87 e 78, ottenendo 87 + 78 = 165 non palindromo
3. ripetiamo il procedimento invertendo le cifre di 165, ottenendo 561
4. sommiamo 165 + 561 = 726 non palindromo
5. ripetiamo ancora e sommiamo 726 + 627 = 1353 non palindromo
6. e ancora 1353 + 3531 = 4884  è un palindromo

In pochi passaggi abbiamo ottenuto il numero palindromo 4884 a partire dal numero originale 87.

Applicando il procedimento ad altri numeri, nella maggior parte dei casi si otterrà un palindromo.

In effetti solo pochissimi numeri (nei limiti dei calcoli effettuati) non diventano palindromi. E questo lascia insoluta la congettura indicata. 

Il più piccolo numero che non diventa palindromo è 196.

 

The Prime Glossary: palindromic prime

How many primes are there?

Numeric Palindromes

squared palindrom - OEIS

Mauro Fiorentini - Palindromi (numeri)

Numeri Palindromi - Matem@ticaMente

Scrivere un numero come somma di palindromi – Notiziole di .mau.

palindromi con le operazioni – Notiziole di .mau.

Palindromic Prime -- from Wolfram MathWorld

Palindromic prime - Wikipedia

Primo palindromo - Wikipedia

Palindromic number - Wikipedia

Numero palindromo - Wikipedia

Palindromic Number -- from Wolfram MathWorld

Palindromic Numbers — Complete List & Properties | NumberMath

292. Myriorama con 24 figurine

Myriorama originariamente si riferiva a un insieme di biglietti illustrati che i bambini del XIX secolo potevano sistemare e riorganizzare, formando immagini diverse e la parola myriorama è stata inventata per indicare una miriade di immagini.

I primi myriorama erano biglietti con persone, edifici e altre immagini su sfondi compatibili, e potevano essere disposti in qualsiasi ordine, permettendo di creare una grande varietà di paesaggi. Jean-Pierre Brès, scrittore francese di libri per bambini ne pubblicò una versione precoce all'inizio del XIX secolo, e John Clark di Londra riprese l'idea e progettò un insieme di carte che chiamò appunto myriorama. 

Myriorama (cards) - Wikipedia

 

Nel 1977 la Ria Holler di Monaco, che riportava “Made in W-Germany”, mise in commercio questa versione di dimensioni 6 cm x 6 cm che contiene 24 figurine

La cosa che attirava subito l’attenzione era la scritta (da un lato in tedesco e dall’altro in italiano) che a caratteri cubitali riportava

1686553615927922354187744  combinazioni

Per aiutare a capire come è stato effettuato il calcolo, viene mostrata anche la formula:

 una sommatoria di fattoriali + 24 fattoriale (o 24!)

Per chi non lo conoscesse, il fattoriale di un numero n è il prodotto dei numeri interi da 1 a n.  Ad esempio, 4! = 24 cioè 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Se non avete voglia di leggere la spiegazione che segue, andate subito alla fine, perché potrete trovare un'altra sorprendente formula (poco conosciuta) che arriva allo stesso  risultato in modo semplice e diretto.

Torniamo ora a quanto scritto sulla confezione delle figurine.

Per cominciare immaginiamo di avere solo 3 figurine: A, B e C

Se le usiamo tutte avremo 3! = 6 combinazioni:

ABC   ACB   BAC   BCA   CAB   CBA

e se ne usiamo 2 avremo ancora 3! = 6 combinazioni:

AB   BA   AC   CA   BC   CB

infine, possiamo prendere una singola figurina:  A   B   C

In totale 6 + 6 + 3 = 15 combinazioni o anche 3! + 3!/1! + 3!/2!

Con 4 figurine avremo: 4! + 4!/1! + 4!/2! + 4!/3!

Infine, con 24 si ha:  24! + 24!/1! + 24!/2! + … + 24!/22! + 24!/23!

Che sono gli stessi termini contenuti nella formula sulla confezione.

Se cominciando da 24! = 620.448.401.733.239.439.360.000 (che compare 2 volte) e sommiamo tutti i termini otteniamo proprio:

1.686.553.615.927.922.354.187.744

24! è circa uguale al Numero di Avogadro 6,022 x 10²³

Veniamo ora alla formula “sorprendente” citata all’inizio.

La generica formula:  n! + n!/1! + n!/2! + … + n!/(n-2)! + n!/(n-1)!   può essere riscritta come:

n! x (1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/(n-2)! + 1/(n-1)!)

La sommatoria tra parentesi è lo sviluppo in serie di e (2,71828… ) troncato all’n-esimo termine e se lo sostituiamo con e avremo la semplice (ma sorprendente) formula

                                                            n! ∙ e

Per la precisione ci sono 2 differenze da correggere:

la prima è che i termini successivi sovrastimano il risultato, ma di un valore sempre inferiore a 1 e che decresce come 1/n,

la seconda differenza è che questo calcolo comprende anche la combinazione vuota, cioè la combinazione senza nessuna figurina che non deve essere considerata.

Per cui avremo che

24! x e = 1.686.553.615.927.922.354.187.745,041597…

e quindi il valore corretto è

⌊ 24! ∙ e ⌋ – 1 = 1.686.553.615.927.922.354.187.744

dove ⌊ x ⌋ è la parte intera di x.

 

Qui di seguito alcune formule che possono tornare utili:

Infine, voglio precisare che è stato sempre utilizzato il termine “combinazioni” come riportato sulla confezione, mentre era a volte più corretto usare “disposizioni”; riporto quindi una tabella con la spiegazione dei vari casi:

Myriorama (cards) - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 196. Inganni

A000142 - OEIS

A007526 - OEIS

 

Nella seguente tabella sono riportati il numero di combinazioni e il fattoriale per i valori di n da 1 a 24