Nei 2 post (e allegato) precedenti si è visto come sia semplice la forma delle equazioni
di campo di Einstein nel vuoto (che permettono di calcolare i moti di
tutti gli oggetti sottoposti ad un campo gravitazionale):
Rμν = 0
Per capire la matematica
bisogna a volte scavare più a fondo nelle parti più segrete (o se volete più
nascoste), come per le opere di Arnaldo Pomodoro.
Una sfera ha una forma
affascinante e contemporaneamente semplice: in coordinate sferiche, un cerchio,
una sfera o una ipersfera si rappresentano con R = costante.
Ma le sfere di Pomodoro ci
fanno intravedere che al loro interno esiste una realtà più complessa.
Rompono una simmetria
perfetta e ci portano ad immaginare che sotto la superficie liscia esista un
mondo da scoprire.
Lo scultore, scomparso recentemente,
era nato nel 1926 nel Montefeltro e dagli anni ’60 sviluppò forme geometriche che
si vedono spesso in molte piazze o musei. Sfere, dischi o cubi vengono
squarciati per mostrare quanto nascondono. Una delle prime sfere (di 3,5
metri di diametro) fu commissionata per l’Expo di Montreal del 1967 e si trova
ora di fronte alla Farnesina.
Tornando al tensore di Ricci, nel post 166 sono state
riportate le parole di Einstein:
“Se nella teoria della Relatività
Generale esiste un’equazione analoga a quella di Poisson, deve
trattarsi di un’equazione tensoriale per il tensore gµν del potenziale
gravitazionale; il tensore energetico della materia dovrà poi figurare in essa
a secondo membro, mentre a primo membro dovrà figurare un tensore differenziale
nelle gµν. Dobbiamo ora
ricercare tale tensore differenziale, il quale risulta completamente
determinato dalle 3 condizioni seguenti:
1)
non
deve contenere alcuna derivata delle gµν
di ordine superiore al secondo;
2)
deve
essere lineare e omogeneo nelle derivate seconde;
3)
la
sua divergenza deve essere identicamente nulla.
Le prime 2 condizioni sono tratte
naturalmente dall’equazione di Poisson.”
La terza condizione è necessaria per
poter soddisfare il principio di conservazione dell’energia.
Dal tensore metrico gµν e dalle sue derivate
prime possono essere costruite delle grandezze (connessione affine) che
non hanno però le caratteristiche di un tensore in quanto possono essere
annullate scegliendo un opportuno sistema di riferimento. Senza entrare troppo
nei dettagli, queste rappresentano il campo gravitazionale, che può venire
annullato localmente scegliendo un sistema in caduta libera.
Ricordo che un tensore è un
oggetto matematico che generalizza i concetti di scalare e vettore. In fisica,
i tensori descrivono quantità che sono indipendenti dal sistema di riferimento.
Il tensore di Ricci è un concetto
fondamentale nella geometria differenziale e nella teoria della Relatività Generale.
È una forma matematica che misura come la geometria di uno spazio curvo si
comporta localmente e descrive come si deformano i volumi nello spazio curvo.
Per capire il tensore di Ricci, dobbiamo
partire dal concetto di curvatura: lo spazio-tempo può essere curvo, cioè non
piatto come lo spazio euclideo. Questa curvatura è descritta da un oggetto
chiamato tensore di Riemann: un tensore di ordine 4 che contiene tutte
le informazioni sulla curvatura locale. Il tensore di Ricci è una forma
semplificata della curvatura, ottenuta contraendo (cioè sommando) rispetto a 2 indici
del tensore di Riemann:
Rμν
= Rλμλν
Il numero di componenti del tensore di
Ricci dipende dalla dimensione dello spazio su cui è definito; è un tensore
simmetrico di rango 2 (2 indici) definito su uno spazio di dimensione n.
È simmetrico: Rμν = Rνμ
e il
numero di componenti indipendenti è uguale a n(n+1)/2
Dimensione n Componenti
indipendenti di Rμν
2 2 (2+1) / 2 = 3
3 3 (3+1) / 2 = 6
4 (spazio-tempo) 4 (4+1) / 2 = 10
5 5 (5+1) / 2 = 15
Nota: anche se il tensore di Riemann
in 4 dimensioni ha 256 componenti (4 indici, ognuno da 0 a 3, cioè 4 alla
quarta), solo 20 sono indipendenti a causa delle simmetrie.
Il tensore di Ricci ha
solo 10 componenti indipendenti in 4 dimensioni.
Per mostrare la complessità di questi
due tensori, inizio dalla definizione del tensore di Riemann:
Dove le grandezze Г sono le connessioni affini citate sopra, la virgola indica la derivata rispetto all’indice
successivo e si è usata la convenzione di Einstein
per la sommatoria degli indici ripetuti 2 volte.
Non è importante seguire i passaggi, e
quindi, per non complicare troppo il discorso, mostro solo 2 estratti di Teoria
dei campi di Landau/Lifsits,
dove si vede la forma covariante (indici tutti in basso) del tensore di
curvatura di Riemann e, come ottenere il tensore di Ricci per contrazione di 2
indici:
Come esempio riporto solo la contrazione
della prima parte della (92,1) con il primo termine in parentesi:
Che esplicitato risulta la sommatoria
di 16 termini:
Potete
immaginare ora cosa intendevo all’inizio quando dicevo che scavando più a fondo
la semplice Rμν = 0 si arriva ad un risultato difficile anche da scrivere.
Ecco, tutto questo (e molto altro come ad esempio le
equazioni di Newton) è contenuto in questi pochi caratteri.
Nota: nel primo articolo di Einstein non si trova in forma esplicita l’equazione
di campo della Relatività Generale, come nel primo articolo di 10 anni
prima sulla Relatività Ristretta non si trova la più famosa E=mc2.
Quest’ultima è stata ricavata in un successivo lavoro di
Einstein, mentre l’equazione di campo è stata scritta per un particolare
sistema di riferimento per semplificare i calcoli e compare in questa forma:
Ammetto che ci ho messo un po’ a
capirlo,
Lecture Notes on General Relativity - S. Carroll
Popinga: Levi-Civita e il trasporto parallelo
Christoffel symbols - Wikipedia
Einstein Field Equations Fully
Written Out: What Do They Look Like Expanded? – Profound Physics
Christoffel Symbols: A Complete
Guide With Examples – Profound Physics
Zibaldone Scientifico: 166. La formula più bella
Zibaldone Scientifico: 167. La formula più bella – Allegato 1
Zibaldone Scientifico: 13. Equazioni del moto
Zibaldone Scientifico: 143. Curvatura e Gravitazione
Albert Einstein, Il significato della relatività,
Bollati Boringhieri
Albert Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri
L. D. Landau – E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori
Riuniti
Max Jammer, Storia del concetto di spazio, Feltrinelli
C. W. Misner - K. S. Thorne - J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman and
Company
Steven Weinberg, Gravitation and
Cosmology, J.Wiley
Fabio
Toscano, Il genio e il gentiluomo, Sironi
Johann Friedrich Carl Gauss
(Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855)
Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, 17
settembre 1826 – Selasca, 20 luglio 1866)
Elwin Bruno Christoffel (Monschau, 10 novembre 1829 –
Strasburgo, 15 marzo 1900)
Gregorio Ricci Curbastro (Lugo, 12 gennaio 1853 –
Bologna, 6 agosto 1925)
Jules Henri Poincaré (Nancy, 29 aprile 1854 – Parigi,
17 luglio 1912)
Luigi Bianchi (Parma, 18 gennaio 1856 – Pisa, 6 giugno
1928)
David Hilbert (Königsberg, 23 gennaio 1862 – Gottinga,
14 febbraio 1943)
Hermann Minkowski (Aleksotas, 22 giugno 1864 –
Gottinga, 12 gennaio 1909)
Élie Joseph Cartan (Dolomieu, 9 aprile 1869 – Parigi,
6 maggio 1951)
Tullio Levi-Civita (Padova, 29 marzo 1873 – Roma, 29
dicembre 1941)
Karl Schwarzschild (Francoforte sul Meno, 9 ottobre
1873 – Potsdam, 11 maggio 1916)
Marcel Grossmann (Budapest, 9 aprile 1878 – Zurigo, 7
settembre 1936)
Albert Einstein (Ulm, 14 marzo 1879 – Princeton, 18
aprile 1955)
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