“La
storia non si ripete, ma fa rima”
Mark Twain
Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi matematica che si occupa della
ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali,
ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle
loro proprietà. Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa
forma: un esempio è la curva Brachistocrona
(dal greco, brachistos - il più
breve, chronos - tempo).
Il teorema chiave del calcolo delle
variazioni classico è l'equazione di Eulero-Lagrange, che corrisponde ad una condizione di stazionarietà per il
funzionale. Come nel caso della ricerca dei massimi e dei minimi di una
funzione, l'analisi delle piccole variazioni attorno a una presunta soluzione
porta a una condizione del primo ordine. Non è però possibile dire direttamente
se è stato trovato un massimo, un minimo, o nessuno dei due. I metodi
variazionali sono importanti in fisica teorica: nella meccanica lagrangiana e
nell'applicazione del principio di minima azione alla fisica quantistica.
Questa premessa (tratta da Wikipedia, l'enciclopedia libera) fornisce
un’idea dell’ambito matematico in cui è possibile risolvere il problema che
vedremo ora, di ricavare una curva che soddisfi determinate condizioni; l’effetto Mpemba, che vedremo in seguito,
non ha un legame diretto con questa prima parte, ma, parafrasando la citazione
di Mark Twain, in qualche modo fa rima.
Problema della Tautocrona:
nel 1659 Christiaan Huygens, incoraggiato
da Pascal, aveva dimostrato che la Cicloide è la soluzione al problema di
trovare una curva per la quale il tempo impiegato da una particella, soggetta
alla sola forza di gravità, a scivolare senza attrito lungo la curva sino al
suo punto più basso, è indipendente dal punto di partenza.
Basterebbe questa proprietà a rendere la Cicloide, una curva “celebre”.
Basterebbe questa proprietà a rendere la Cicloide, una curva “celebre”.
In geometria, la Cicloide è una curva piana tracciata da un punto fisso su una
circonferenza che rotola lungo una retta; ad esempio, il disegno composto dalla
valvola della camera d’aria di una bicicletta in movimento.
 |
| https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid |
Le dimensioni di una Cicloide sono
legate a quella della circonferenza generatrice; per vedere le relazioni esatte
potete consultare Wikipedia o Wolfram, per semplicità mi limito al caso di una
generatrice di raggio 1:
x = t – sin t
y
= 1 – cos t
- l'altezza massima dell'arco è pari a 2;
- la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro, ovvero 8;
- la base sottostante l'arco è pari alla circonferenza, ovvero 2 pi (6,28);
- l'area compresa fra la cicloide e la base è tre volte l'area del cerchio (3 pi).
Quest’ultima
proprietà era già stata ricavata da Galileo Galilei, che, non riuscendo a
calcolarla, ritagliò una sagoma di metallo e la pesò, confrontandola poi con la
sagoma della circonferenza generatrice.
Problema della Brachistocrona:
nel 1696, Johann Bernoulli pose una
domanda ai lettori degli Acta Erudidorum.
Supponiamo di avere 2 punti A e B, con A posizionato ad una altezza maggiore di
B (ma non sulla stessa verticale). L’idea è di costruire uno scivolo curvo da A
a B e farci scivolare sopra una biglia. Domanda: quale curva dobbiamo
utilizzare, se vogliamo raggiungere B nel minor tempo possibile? Molti
matematici furono in grado di fornire la risposta corretta, inclusi Newton, Leibniz,
Bernoulli stesso e suo fratello Jakob.
La soluzione, anche in questo caso, è la
Cicloide.
La curva che permette alla particella di
andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata Brachistocrona, ossia (curva del) tempo
più corto, e, come anticipato nella premessa, la sua determinazione è un
esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.
Quando Pascal la ripropose ci fu una
vera esplosione di interessi e di studi intorno alla curva, spesso così appassionati
e accesi che la Cicloide fu definita “la
bella Elena” della geometria. Il pendolo
cicloidale è un tipo di moto periodico ideato da Christiaan Huygens intorno al 1659 con una interessante proprietà:
le sue oscillazioni sono isocrone indipendentemente dalla loro ampiezza. Questo
vale nel caso del pendolo semplice solo per ampiezze abbastanza piccole.
Huygens dimostrò invece che un punto materiale che oscilla seguendo una
traiettoria cicloidale sotto l'azione della gravità ha un periodo costante che
dipende unicamente dalle dimensioni della Cicloide.
Nelle 3 figure (tratte dal video https://www.youtube.com/watch?v=qtpaauuGx-Y)
sono presenti 6 curve: 3 di queste (curve 3, 4 e 5) sono archi di Cicloide,
mentre le prime 2 hanno una pendenza iniziale maggiore e l’ultima ha pendenza
costante (piano inclinato). Inoltre, le palline poste sulle Cicloidi partono da
posizioni differenti. Quello che si verifica è che le palline
poste sulle 3 Cicloidi arrivano prima (Brachistocrona) e contemporaneamente (Tautocrona).
Non so voi, ma a me il fatto che esista
una curva con queste caratteristiche e che si possa ricavarla partendo da semplici
presupposti a cui deve soddisfare, riesce sempre a stupirmi; cioè
mi sembra controintuitivo il fatto che l’istante di arrivo sia indipendente dal
punto di partenza sulla curva. Lo stesso stupore lo provo nel caso dell'effetto Mpemba, riscoperto casualmente
nel 1969 dallo studente tanzaniano Erasto
Mpemba (in realtà questo effetto venne già descritto nel IV secolo a.C. da Aristotele). E la rima è che, anche qui,
si ottiene una cosa poco intuitiva, perché arriva prima chi parte da più
lontano (con la distanza misurata dalla differenza di temperatura).
Nel 1963 il tredicenne Mpemba
frequentava le scuole medie di Magambe, in Tanzania, quando si accorse di un
fenomeno bizzarro, un’anomalia che ancora oggi non è possibile spiegare con
certezza: a lui e ai suoi compagni di classe piaceva il gelato, che preparavano
in casa con latte portato a bollore, zuccherato e messo poi in freezer dopo
averlo fatto raffreddare fino a temperatura ambiente. Nel frigo c’era poco
spazio e ogni volta che si faceva il gelato c’era la corsa per infilare i
recipienti per primi. Un giorno, mentre aspettava con il pentolino sul fuoco,
Mpemba si accorse che un suo compagno stava miscelando lo zucchero nel latte
freddo per fare prima. Era rimasto un solo spazio nel freezer e non poteva
aspettare. Decise quindi di mettere il latte zuccherato ancora bollente nel
frigo, rischiando inoltre di danneggiare l’elettrodomestico. Un’ora e mezzo
dopo, i ragazzi trovarono qualcosa di strano: il gelato di Mpemba era pronto,
mentre gli altri preparati regolarmente, il liquido non era ancora
completamente solidificato.
Effetto Mpemba:
si osserva sperimentalmente che, a parità di condizioni, l’acqua calda congela
prima di quella fredda.
Attenzione: il fatto che serva meno
tempo, non implica che serva meno energia, ma solo che il trasferimento di
calore è più efficiente.
Esiste anche l’effetto opposto: effetto
Leidenfrost, un fenomeno fisico che si può osservare quando una sostanza
liquida entra in contatto con una superficie avente temperatura
significativamente più alta del suo punto di ebollizione. Lo strato più esterno
del liquido evapora, producendo uno strato gassoso isolante che impedisce al
resto di raggiungere rapidamente la temperatura di ebollizione. Se invece la
temperatura è elevata ma resta un po' al di sotto del punto di Leidenfrost l'evaporazione avviene quasi istantaneamente.
Un effetto simile si ottiene versando dell'azoto liquido su un pavimento a
temperatura ambiente.
Sto leggendo l’interessante “Il libro dell’acqua” di Alok Jha che
parla di questo effetto e di molte altre cose. Lo citerò ancora in un prossimo
post, per ora mi limito a commentare un’altra particolare e fondamentale
caratteristica dell’acqua.
Di norma quando si passa dallo stato
liquido a quello solido, si ha un aumento del peso specifico. Per l’acqua questo
non vale: in altre parole il ghiaccio galleggia.
Cosa accadrebbe se il ghiaccio non
galleggiasse?
La risposta è che questa caratteristica
unica risulta indispensabile affinché la vita possa evolversi. Se l'acqua fosse
come tutte le altre sostanze, il ghiaccio sarebbe più denso dell'acqua liquida
e formandosi nei mari e nei laghi affonderebbe. La pressione sui fondali, dove
il ghiaccio si andrebbe raccogliendo, contribuirebbe a mantenere allo stato
solido quest'acqua e anno dopo anno se ne formerebbe di nuovo in superficie per
poi affondare ancora. Il risultato sarebbe un progressivo congelamento dell'acqua
presente in molte zone della Terra, con la conseguente distruzione di tutte le
forme di vita presenti sui fondali marini. Inoltre, lo strato di ghiaccio
superficiale galleggiante, quando si forma, isola l'oceano sottostante prevenendone
il congelamento e la grande pressione degli abissi mantiene liquida anche la freddissima
acqua sui fondali. In tale modo essa è disponibile come indispensabile solvente
per le creature che vi abitano, e la vita che nell’acqua ha avuto origine, nel
cosiddetto brodo primordiale, ha potuto proliferare giungendo sino a creature
complesse quali siamo noi. La risposta alla domanda iniziale è quindi che se il
ghiaccio non galleggiasse, probabilmente non saremmo qui a parlarne.
Nessun commento:
Posta un commento