271. Terne pitagoriche

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :

Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:

I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a² + b² = c². Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Valgono le seguenti condizioni:

•   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

•       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

•       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

•      L'ipotenusa DEVE essere dispari (altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove p è il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la misura del suo perimetro:  

R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: 

R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P                        A014498 - OEIS 

Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

 

Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)

Esercizio: dimostrare che   ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER