273. Formule trigonometriche

La trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli e lati.

Il compito principale della trigonometria consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo rettangolo (lati, angoli, ecc.) partendo da altre misure note (minimo tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno).

Le identità trigonometriche sono relazioni fondamentali tra le funzioni.

Le figure che seguono sono “dimostrazioni” delle formule principali, a volte elementari, a volte meno, che potete trovare, ad esempio, in wikimedia commons.

Duplicazione

Somma e sottrazione

Prostaferesi – (S. H. Kung, 1996)

Per queste relazioni rimando direttamente a

Weisstein, Eric W. Prosthaphaeresis Formulas. MathWorld-A Wolfram Web Resource

 

---

 

Come conseguenza del Teorema di Pitagora si ha la nota relazione

sen² α + cos² α = 1

---

Infine, si riportano 2 esempi interessanti della somma di 3 valori della funzione arcotangente e una dimostrazione del primo teorema di Euclide.

 

Arctan

Primo teorema di Euclide

Zibaldone Scientifico: 238. Atan

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per euclide

271. Terne pitagoriche

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :

Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:

I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a² + b² = c². Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Valgono le seguenti condizioni:

•   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

•       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

•       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

•      l'ipotenusa DEVE essere dispari (altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

•         dai punti precedenti segue che a+b+c e a+b-c DEVONO essere pari

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove p è il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la misura del suo perimetro:  

R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: 

R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P                        A014498 - OEIS 

Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

Più in generale vale: in ogni triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta e i 3 ex-raggi delle 3 circonferenze ex-inscritte sono numeri naturali

R = ½ (a+b–c);   R_a = ½ (a+c–b);   R_b = ½ (b+c–a);   R_c = ½ (a+b+c)

Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)

Esercizio: per le terne pitagoriche, dimostrare: ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER

267. Teorema del panino al prosciutto

Considerate una focaccina rotonda al prosciutto: una fetta di pane, una di prosciutto e un’altra fetta di pane. Per dividere a metà le 3 fette con un coltello, basta che il taglio passi per il centro delle circonferenze. E se le 3 fette non fossero correttamente impilate? O peggio, se aveste urtato il panino e una fetta di pane fosse rimasta sul tavolo, il prosciutto sulla sedia e l’altra fetta sul pavimento?

Anche in questo caso la geometria ci assicura che un singolo taglio (cioè, un singolo piano), potrà ancora dividere perfettamente in due tutti e tre i pezzi, lasciando esattamente metà del prosciutto e metà di ciascuna fetta di pane su entrambi i lati del taglio. Questo perché il “teorema del panino al prosciutto” asserisce che per tre oggetti qualsiasi (potenzialmente asimmetrici) in qualsiasi orientamento, c’è sempre un piano che può dividerli tutti simultaneamente in due parti uguali.

In due dimensioni, si possono disegnare due forme qualsiasi e ci sarà sempre una linea retta (unidimensionale) che taglia entrambe perfettamente a metà.

Per garantire un taglio uguale per tre oggetti, dobbiamo passare alle tre dimensioni e tagliare con un piano bidimensionale.

In uno spazio quadridimensionale, un panino al prosciutto con quattro ingredienti può essere diviso in due con un taglio tridimensionale. 

Per avere un'idea di come dimostrare il teorema del sandwich al prosciutto, si consideri una versione semplificata: due forme 2D, una un cerchio e l'altra con forma qualsiasi. Una linea che passi attraverso il centro di un cerchio lo dividerà in due (utilizziamo un cerchio per rendere le cose più facili). Scegliamo ora una linea attraverso il centro del cerchio che non intersechi l’altra figura. Il 100% della figura si trova, ad esempio, sotto la nostra linea. Ora ruotando lentamente la linea attorno al centro del cerchio, questa ne taglierà una percentuale sempre minore e, alla fine, arriverà allo 0%. Da questo possiamo dedurre che deve esserci un momento in cui il 50% della massa si trova sotto la linea. Stiamo passando gradualmente ma continuamente dal 100% allo 0%, il che significa che a un certo punto saremo esattamente al 50%.

The Strangely Serious Implications of Math's 'Ham Sandwich Theorem' | Scientific American

In questo caso esiste una linea che divide in due simultaneamente le nostre forme (sebbene non ci dica dove si trova quella linea). Si basa sul fatto che ogni linea che passa per il centro di un cerchio lo divide in due; quindi, possiamo ruotare liberamente la nostra linea e concentrarci sulla figura senza preoccuparci di trascurare il cerchio. Due forme asimmetriche richiedono una versione più sottile della nostra tecnica, e l’estensione alle tre dimensioni implica argomenti più sofisticati.

Il teorema del panino al prosciutto, noto anche come teorema di Stone-Tukey, afferma che dati n oggetti in uno spazio n-dimensionale, di forme, dimensioni e posizioni qualsiasi, esiste sempre un iperpiano (n-1)-dimensionale in grado di bisecarli tutti simultaneamente. Esempi pratici del teorema:

- Fisica: tre nuvole di gas nello spazio, il teorema assicura che esiste sempre un piano che divide esattamente metà della massa di ciascuna nuvola su ciascun lato del piano.

- Statistica: tre distribuzioni di dati in uno spazio tridimensionale, il teorema garantisce che esiste un piano che divide equamente i dati di ciascuna distribuzione.

Si tratta di un importante risultato topologico noto anche come corollario al teorema di Borsuk-Ulam: per ogni funzione continua che mappa la superficie di una sfera in uno spazio Euclideo, esistono due punti diametralmente opposti sulla sfera che vengono mappati nello stesso punto.

Un esempio classico si ha in dimensione 2 (sulla superficie di una sfera); supponiamo che la funzione rappresenti temperatura e pressione atmosferica in ogni punto della Terra. Il teorema di Borsuk-Ulam implica che esiste sempre una coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie terrestre che hanno esattamente stessa temperatura e pressione.

Il teorema di Borsuk-Ulam è strettamente connesso con il teorema del punto fisso di Brouwer. Entrambi appartengono al campo della topologia e condividono alcune idee fondamentali legate alla simmetria e alla continuità.

Un classico esempio del teorema del punto fisso di Brouwer (caso bidimensionale come un disco): data una funzione continua che "deforma" il disco senza sollevarlo dai suoi bordi, ci sarà sempre almeno un punto che rimane fisso.

I due teoremi sono collegati perché entrambi riflettono il comportamento di mappe continue e sono radicati in concetti di simmetria e compattezza.

Entrambi i teoremi hanno importanti applicazioni comuni nella matematica e nell'economia, dove concetti come l'esistenza di punti fissi (Brouwer) o l'equilibrio tra elementi (Borsuk-Ulam) sono utilizzati per risolvere problemi di ottimizzazione o di equità e sono esempi di come le proprietà topologiche degli spazi continui impongano restrizioni sulle mappe, garantendo l'esistenza di punti con proprietà particolari, come punti fissi o coppie di punti antipodali che si comportano allo stesso modo.

Il teorema di Brouwer ha risvolti semplici ma sorprendenti:

- mescolando una tazzina di caffè, in ogni momento almeno un punto del caffè si trova nel punto iniziale (anche se non possiamo sapere quale con esattezza),

- se si mette per terra una cartina stradale del posto in cui ci si trova (con qualsiasi scala), almeno un punto della cartina coinciderà con il luogo che rappresenta.

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)

 

Utilizzando una versione intuitiva del teorema di Borsuk-Ulam si può dimostrare che, per un escursionista che in un fine settimana sale ad un rifugio il sabato e torna per lo stesso sentiero la domenica partendo alla stessa ora, c'è sempre un punto in cui l’escursionista si troverà nello stesso posto alla stessa ora in entrambi i giorni.

Quindi la domanda è: esiste un momento in cui, in entrambi i viaggi, lo scalatore si trova esattamente nello stesso punto del sentiero alla stessa ora?

La risposta è sì. Possiamo immaginare di confrontare il percorso di salita e il percorso di discesa come due funzioni continue che descrivono la posizione dello scalatore lungo il sentiero in base al tempo.

La funzione, che misura la distanza tra la posizione dello scalatore durante la salita e quella durante la discesa in un dato momento della giornata, è continua e all'inizio della giornata (al momento della partenza) la distanza tra le posizioni è massima (uno sta al piede della montagna e l'altro alla cima). Alla fine della giornata (all'ora di arrivo), la distanza è ancora massima, ma opposta (uno è in cima e l'altro è al piede).

Essendo questa una funzione continua, per il teorema degli zeri si conclude che deve esistere almeno un momento della giornata in cui la distanza è zero. Cioè, in un certo istante, lo scalatore si trova nello stesso punto del percorso sia durante la salita che durante la discesa.

Quindi, indipendentemente dalla velocità con cui lo scalatore sale o scende, ci sarà sempre un punto lungo il sentiero in cui egli si troverà alla stessa ora sia durante il primo giorno (salita) che il secondo giorno (discesa).

Ancora più semplice, se due persone partono contemporaneamente dai due estremi, da qualche parte si incontreranno sicuramente. 

TESI TRIENNALE GIACOMO SARAGONI.pdf (unibo.it)

Teorema del panino al prosciutto - Wikipedia

Category:Fixed points (mathematics) - Wikipedia

Ham Sandwich Theorem -- from Wolfram MathWorld

Sandwich problem / Etudes // Mathematical Etudes

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)

Domanda: Che cosa è meglio, l’eterna felicità o un panino al prosciutto?

Sembrerebbe che fosse meglio l’eterna felicità, ma in realtà non è così!
Dopo tutto, niente è meglio dell’eterna felicità e un panino al prosciutto è certamente meglio di niente.
Quindi un panino al prosciutto è meglio dell’eterna felicità.

Tratto da Raymond M. Smullyan - Qual è il titolo di questo libro? – Zanichelli

263. 4D

Questa volta provo a raccontare come cercare di immaginare un oggetto che si estende oltre la terza dimensione. Un bell’esercizio per cominciare, è capire come sarebbe la vita per un essere bidimensionale e come potrebbe immaginare una terza dimensione.

Un noto precedente è Flatlandia l’opera di Abbott, che non conobbe al momento della pubblicazione una gran fortuna; solo in seguito si vide riscoperta. Flatlandia fu riproposta all’attenzione del pubblico da una lettera pubblicata su «Nature» il 12 febbraio 1920 col titolo Euclide, Newton e Einstein. La lettera diceva fra l’altro:

“... Trent’anni o più or sono, il Dr. Edwin Abbott compose un piccolo jeu d’esprit intitolato Flatlandia. All’epoca della sua pubblicazione il libro non attirò tutta l’attenzione che avrebbe meritato. Il Dr. Abbott raffigura degli esseri intelligenti la cui esperienza è confinata a un piano, o a un altro spazio bidimensionale, e che non hanno facoltà di rendersi conto di quanto possa esistere al di fuori di quello spazio, né mezzi di uscire dalla superficie sulla quale vivono. Egli domanda quindi al lettore, che ha il concetto della terza dimensione, di immaginare una sfera che scenda sulla pianura della Flatlandia, attraversandola. Come considereranno un simile fenomeno gli abitanti?”

Verso la quarta dimensione e oltre

Uno spazio a dimensione zero può essere rappresentato da un punto, ad 1 dimensione da una linea e a 2 dimensioni può essere rappresentato da un piano.

Tre dimensioni su una superficie piana si possono disegnare con 2 quadrati e 4 linee diagonali che collegano i vertici. 

Possiamo immaginare un cubo, ma in realtà non è un cubo, come la pipa di Magritte che non è una pipa. Un cubo quadridimensionale (chiamato ipercubo o tesseratto), può essere “disegnato” in 3D con due cubi, collegando i vertici con 8 linee diagonali e questo ci può aiutare a capire il tipo di progressione in corso.

Premesso che è difficile "vedere" la quarta dimensione, l’uso del classico citato sopra può comunque essere un buon punto di partenza.

Nel 1884 Edwin Abbot nel suo libro parla di A. Square e del suo mondo, Flatlandia, che è semplicemente un piano piatto bidimensionale e A. Square è un ragazzo di forma quadrata che vive lì. Si può muovere in 2 dimensioni. Può andare a sinistra/destra e avanti/indietro; tuttavia, poiché è limitato al suo piano bidimensionale di Flatlandia, non può salire/scendere “fuori” dal piano.

Per analogia, noi umani siamo limitati al nostro “piano” e ci è impossibile muoverci liberamente nella quarta dimensione.

Ci tengo a sottolineare che sto parlando di dimensioni “spaziali”, per cui la dimensione “temporale” non viene presa in considerazione.

Torniamo di nuovo ad A. Square. Lui può vedere solo ciò che si trova nel suo piano, e questo significa che, se una sfera tridimensionale dovesse passare attraverso Flatlandia, A. Square non vedrebbe la sfera, ma solo "fette" bidimensionali. Andando oltre, immagina che se una sfera passasse a metà della Flatlandia ma si fermasse nel mezzo, la sfera intersecherebbe Flatlandia come un solo cerchio e A. Square potrebbe vederlo. Inoltre, se mentre la sfera si avvicina a Flatlandia, A. Square osservasse come la sfera si muove lentamente attraverso il suo piano. Cosa vedrebbe? Ricordiamo che A. Square può vedere solo fette 2D della sfera (o cerchi), quindi ciò che A. Square percepirebbe, sarebbe un cerchio che appare all'improvviso, poi cresce e quindi raggiunge una dimensione massima quando la sfera è a metà strada. Successivamente, il cerchio si restringerebbe fino a scomparire.

Ciò significa che gli oggetti 3D potrebbero essere spiegati a un essere 2D come un mucchio di "fette impilate" una sopra l'altra. Immaginate di prendere un mucchio di cerchi con diametri opportuni e impilateli. Formerebbero una struttura dell'immagine 3D reale. Allo stesso modo, se un’ipersfera 4D intersecasse il nostro spazio, vedremmo apparire dal nulla una sfera 3D che crescerebbe finché l'ipersfera non fosse a metà strada, poi si ridurrebbe al nulla. In teoria, potremmo impilare queste sfere per formare un'ipersfera, ma non possiamo “impilarle”, perché dovremmo “estenderla” nella quarta dimensione.

Se guardiamo un quadrato dall'alto su un piano bidimensionale, possiamo vedere l'intero oggetto con una vista d’insieme. Potremmo anche infilare il dito all'interno dell'oggetto senza toccarne i lati. Questa sarebbe un'esperienza strana per A. Square. La sua casa è un grande quadrato e non può semplicemente mettere il dito al centro della casa senza prima "entrare" da una porta su uno dei lati. Allo stesso modo, gli esseri quadridimensionali hanno la capacità di visualizzare un intero cubo con una vista d’insieme (cioè, tutte le 6 facce contemporaneamente e potremmo quindi parlare di “cubismo”). Gli esseri umani possono visualizzare solo metà del cubo in un dato istante. Inoltre, gli esseri quadridimensionali potrebbero facilmente mettere il dito all'interno di un cubo chiuso senza penetrarne i lati.

Altre curiosità riguardano le immagini speculari. Se in Flatlandia capovolgessimo A. Square, sarebbe l'immagine speculare di sé stesso.

È un po’ più complicato immaginare che un essere umano diventi un’immagine speculare di sé stesso capovolgendolo nella quarta dimensione.

Facciamo ora un esercizio.

Un cubo formato da 27 cubetti (3x3x3), come appare un cubo di Rubik, in 2D sarebbe un quadrato di 9 quadratini (3x3) e per immaginare il cubo, A. Square potrebbe pensarlo come 3 strati di quadrati “impilati”. Allo stesso modo noi possiamo pensare un ipercubo (3x3x3x3) come 3 strati di cubi “impilati”.

Proviamo ora a “disegnare” le stesse strutture “forate”.

Partiamo da una struttura estesa in 1 dimensione, 3 segmenti, ma per rappresentarli meglio, 3 cubi allineati:

Passiamo ora al 2D e aggiungiamo un’altra struttura identica con interposti 2 cubi (2¹):

In 3D aggiungeremo un altro quadrato forato con interposti 4 cubi (2²):

Per il 4D dovremmo aggiungere un altro cubo forato e 8 cubi (2³), qui metto solo l’ipercubo non assemblato (per un totale di 48 cubetti):

In generale in n dimensioni: 2^(n-1) (n+2) → 1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, …  A001792 - OEIS

Un cubo che attraversa un piano con una faccia parallela ad esso avrà come sezione un quadrato. Se invece lo attraversa con una diagonale maggiore perpendicolare ad esso, partendo da un vertice, si otterrà nell'ordine: un punto, dei triangoli e degli esagoni. In particolare, a metà percorso (baricentro del cubo) si avrà un esagono regolare.

Invece un ipercubo che attraversa il nostro spazio (con la diagonale maggiore perpendicolare) verrà visto in questo modo (vediamo qui 15 istantanee):

Zibaldone Scientifico: 94. Sezioni di ipercubo (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 131. Tesseratto (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 52. Cubo di Rubik (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 154. I (Noti) Solidi Platonici (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 243. Sezione di una spugna di Menger (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni (zibalsc.blogspot.com)

Introduzione a una quarta dimensione spaziale (dainoequinoziale.it)

Sezioni ipercubiche ortoassiali - Wikipedia

Espace à quatre dimensions — Wikipédia (wikipedia.org)

256. Curve ad ampiezza costante

Il cerchio ha la stessa larghezza (diametro) in tutte le direzioni, questo significa che se lo posizioniamo tra 2 rette parallele possiamo ruotarlo mantenendo sempre le rette tangenti al cerchio.

Intuitivamente sembra che questa sia l’unica figura con tale proprietà, ma non è così.

Ad esempio, ogni poligono regolare con un numero dispari di lati arrotondati può avere la stessa proprietà. Ogni lato è un arco di circonferenza con centro nel vertice opposto. Un semplice esempio è fornito dalla forma di alcuni plettri.

Osservando le vetrate del Duomo di Milano, si può notare che alcuni disegni delle finestre hanno questa forma geometrica.

Anche diverse monete hanno tali caratteristiche, questo le rende adatte ad essere utilizzate nei distributori automatici e allo stesso tempo le rende distinguibili al tatto da altre monete con diversa forma e valore.

Il triangolo con questa forma si chiama Triangolo di Reuleaux dal nome dell’ingegnere e matematico tedesco Franz Reuleaux (1829-1905) è la più semplice delle curve ad ampiezza costante.

Il Teorema di Barbier afferma che le curve di larghezza costante hanno lo stesso perimetro, quindi uguale a quello del cerchio con lo stesso diametro, mentre l'area del triangolo di Reuleaux si calcola considerando che la figura è formata dal triangolo equilatero di lato s (tratteggiato nella rappresentazione grafica) e dalle tre rimanenti porzioni esterne. Si ottiene quindi:

L’area del cerchio con stesso diametro s è maggiore e vale:

Si può dimostrare che, a parità di diametro, il cerchio ha sempre l’area maggiore rispetto alle altre curve ad ampiezza costante.

 

Poiché tutte le curve con la stessa larghezza costante hanno lo stesso perimetro, si potrebbe supporre che tutti i solidi della stessa larghezza costante abbiano la stessa area superficiale. Questo non è vero. È stato tuttavia dimostrato da Hermann Minkowski (1864-1909) che tutte le ombre dei solidi di larghezza costante (quando i raggi che proiettano sono paralleli e l'ombra cade su un piano perpendicolare ai raggi) sono curve con lo stesso diametro costante e che tutte queste ombre hanno perimetri uguali.

 

https://it.wikipedia.org/wiki/Curva_ad_ampiezza_costante

http://www.bazardelbizzarro.net/buchi_quadrati.html

matematicamedie: Il triangolo di Reuleaux

What Is The Reuleaux Triangle? » Science ABC

Rotolamento di un triangolo curvilineo – GeoGebra

Barbier's theorem - Wikipedia

Reuleaux polygon - Wikipedia

Curve of constant width - Wikipedia

Reuleaux triangle - Wikipedia

Octant projection - Wikipedia

Figura geometrica avente diametri uguali – vialattea.net

https://www.kickstarter.com/projects/mathmeetsmachine/make-100-revolution-evolution-3d-reuleaux-polygons-set?lang=ja

Circular Reuleaux triangle / Etudes // Mathematical Etudes

La ruota quadrata : nascita del problema e una sua analisi - Mathone

Blaschke–Lebesgue theorem - Wikipedia