274. Gruppi sanguigni

Ogni individuo è diverso da altri in quanto possiede caratteristiche antigeniche e anticorpali differenti. Ad esempio, il sangue umano possiede caratteristiche dissimili per persone differenti. Il più delle volte, i primi tentativi di effettuare trasfusioni di sangue provocarono gravi incidenti in quanto gli eritrociti del sangue del donatore, una volta trasfusi, subivano agglutinazione ed emolisi da parte del sangue del ricevente.

Nel 1910 Karl Landsteiner scoprì sulla membrana plasmatica dei globuli rossi umani la presenza di 2 antigeni (A e B) e di 2 anticorpi (anti A e anti B) nel plasma. In base a tale scoperta vennero classificati i 4 principali gruppi sanguigni (A, B, AB, 0) che appartengono al sistema AB0. I soggetti del gruppo A sono caratterizzati dalla presenza dell’agglutinogeno A sulla membrana eritrocitaria e dell’agglutinina anti B nel plasma; viceversa per il gruppo B. Quelli di gruppo AB hanno entrambi gli agglutinogeni sulla membrana eritrocitaria e nessuna agglutinina nel plasma. Infine, quelli del gruppo 0 non hanno agglutinogeni sulla membrana eritrocitaria, ma entrambe le agglutinine nel plasma.

La scoperta dei gruppi sanguigni gli valse il premio Nobel per la medicina e la fisiologia nel 1930.

Negli europei i gruppi sanguigni più frequenti sono A e 0, il B è abbastanza raro e l’AB raro.

Quando si effettua una trasfusione si deve tener presente che gli eritrociti trasfusi non siano agglutinati dal plasma del ricevente e pertanto un sangue di gruppo A può essere trasfuso solo ad individui di gruppo A o AB che non possiede agglutinine nel plasma. In modo analogo, il gruppo B ad individui di gruppo B o AB. Un sangue di gruppo 0, non possedendo agglutinogeni, può essere trasfuso a tutti gli altri gruppi (donatore universale), ma potrà ricevere sangue solo da persone di gruppo 0, mentre un sangue di gruppo AB, non possedendo agglutinine plasmatiche, può ricevere il sangue da tutti gli altri gruppi (ricevitore universale).

Nel 1940, lo stesso Landsteiner insieme al collega Alexander Wiener, mescolando del sangue umano con un siero contenente anticorpi contro gli eritrociti di scimmia, della specie Macacus Rhesus, osservarono che tale siero agglutinava i globuli rossi umani e ciò significava che in essi era presente un antigene che l’uomo ha ereditato dalla scimmia. Tale antigene fu chiamato fattore Rh (un'abbreviazione di "Rhesus") ed i soggetti i cui eritrociti presentano tale fattore sono chiamati Rh positivi o Rh⁺, mentre quelli i cui globuli rossi non lo posseggono sono chiamati Rh negativi o Rh^-. Un sangue Rh^- può essere trasfuso sia ad una persona di gruppo Rh⁺ che Rh^- , ma non è possibile il contrario, in quanto, trasfondendo un sangue Rh⁺ ad un individuo Rh^- , quest’ultimo si immunizzerà sviluppando anticorpi contro il fattore Rh, i quali, dopo una successiva trasfusione, causeranno emolisi degli eritrociti Rh⁺.

La scoperta del fattore Rh ha consentito di far luce su una grave anemia emolitica del neonato, l’eritroblastosi fetale. La malattia si manifesta solo nel caso in cui una madre Rh^- partorisca un figlio Rh⁺. Non entro nei dettagli, ma per impedire questo è sufficiente somministrare alla madre anticorpi anti Rh entro 72 ore dalla nascita del bambino.

Le regole riportate sopra possono essere riassunte nella seguente tabella

Dove si vede, ad esempio, che il gruppo A^- può donare ad A⁺, A^-, AB⁺, AB^- e può ricevere sangue da A^-, 0^-, mentre il gruppo 0^- può donare a tutti e può ricevere sangue solo da 0^-.

Esiste una bella rappresentazione di questa tabella in questa forma

Che può anche essere mostrata così

In perfetta analogia con il Triangolo di Sierpinski

Gruppo sanguigno - Wikipedia

Karl Landsteiner – Facts - NobelPrize.org

Sistema AB0 - Wikipedia

AB0 E FATTORE RH: COME SI EREDITA IL GRUPPO SANGUIGNO - Avis

Gruppo sanguigno: che cos'è? - Humanitas

Diffusione dei gruppi sanguigni - Fondazione Gimema –

Gruppi sanguigni: cosa sono, come si stabilisce la compatibilità e qual è il proprio

Nel sangue umano scorre matematica - Medylab

Zibaldone Scientifico: 243. Sezione di una spugna di Menger

The Rockefeller University » Nobel Prize in Physiology or Medicine

The Blood Typing Game

What happens if you get a blood transfusion

264. Caos & Feigenbaum

 Solo la gente mediocre non giudica dalle apparenze.

Il vero mistero del mondo è ciò che si vede, non l'invisibile… 

 Oscar Wilde, Il ritratto di Dorian Gray

Verso la metà degli anni ’70 venivano introdotte le prime calcolatrici scientifiche e molti calcoli complicati potevano così essere eseguiti in modo semplice e veloce. Una delle più economiche era la TI-30 che rimase in produzione dal 1976 per diversi anni, con una vendita di circa 15 milioni di unità.

Ne comprai una anch’io. Uno dei “giochi” era di inserire un numero e digitare la stessa funzione per molte volte: ad esempio inserendo 0.5 e pigiando il tasto cos, a un certo punto arriveremo a 0.7390851332… e successivamente otterremo sempre lo stesso valore. Questo vale anche inserendo un qualsiasi altro valore iniziale.

La cosa, di per sé, sembra solo una peculiarità della funzione coseno.

Ma non è così.

Negli stessi anni Mitchell Feigenbaum “giocava” anche lui con una calcolatrice e scopriva cose ben più interessanti. Se avessi moltiplicato per una costante k prima di schiacciare cos, mi sarei potuto accorgere, ad esempio, che per k > 1.33 non si ha una convergenza ad un singolo valore, ma un’oscillazione tra 2 valori.

Facciamo un passo indietro.

Tra il XVIII e il XIX secolo Thomas Malthus e successivamente Pierre Verhulst ipotizzarono che la popolazione di una specie in un certo anno fosse una funzione della popolazione dell’anno precedente.

Se la popolazione aumenta troppo, la mancanza di risorse tende a farla diminuire, ma se cala sotto un certo livello, tenderà ad aumentare nell’anno successivo.

La formula che rappresenta questa idea è nota con il nome di equazione logistica: 

x_n+1 = r x_n ( 1 – x_n )

 Feigenbaum studiò questa funzione e, nell'agosto del 1975, trovò per la prima volta 4.669, con 3 soli decimali a causa del limite dell'accuratezza della sua calcolatrice HP65, dopo aver passato un po’ di tempo a cercare di capire se si trattasse di una semplice combinazione di numeri "noti", non trovò nulla.

Ora il numero è "noto" e viene chiamato numero di Feigenbaum.

Il primo numero di Feigenbaum è definito come il limite del rapporto fra 2 intervalli successivi di biforcazione: δ = 4,66920160910299067185320382…

Indipendentemente dalla scelta di x₀ la successione converge a un’orbita stabile. I valori di questi punti di accumulazione si possono leggere sull’asse verticale del diagramma di Feigenbaum. A partire da r = 3.57 circa, comincia a succedere qualcosa di strano: il caos. Non ci sono più dei periodi riconoscibili e piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali producono valori estremamente diversi nella successione. Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Infatti esiste un legame tra il diagramma di Feigenbaum e l’insieme di Mandelbrot (che nasce dall’interazione z_n+1 = z_n² + c).

 

 

 Sull’asse reale gli sdoppiamenti dei periodi corrispondono ai valori del diagramma di Feigenbaum. 

http://www.fabioruini.eu/unimore/ttps/Mappa%20logistica.pdf

 Per differenti r, si possono osservare i seguenti comportamenti per n grandi.

Questo comportamento non dipende dal valore iniziale, ma solo da r :

·       Con r = 0 la popolazione diventa nulla alla prima iterazione.

·       Con r da 0 a 1 si ottiene sempre 0 dopo alcune iterazioni.

·       Con r tra 1 e 3, viene stabilito un certo limite. Questi limiti sono chiamati attrattori.

·       Con r tra 3 e 1 + √6 (circa 3,45), la sequenza commuta tra due attrattori per quasi tutti i valori iniziali (tranne 0, 1 e 1 - 1/r).

·       Con r tra 1 + √6  e circa 3,54, la sequenza commuta tra quattro attrattori per quasi tutti i valori iniziali.

·       Se r è maggiore di 3,54, arrivano 8 attrattori, quindi 16, 32 ecc.

·       Verso 3.57 inizia il caos.

Questa transizione dal comportamento convergente al raddoppio periodico al comportamento caotico è generalmente tipica dei sistemi non lineari che mostrano un comportamento caotico o non caotico in funzione di un parametro r.

Le transizioni per raddoppiare il periodo sono chiamate punti di biforcazione.

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Riassumendo.

La prima costante di Feigenbaum è definita come il limite del rapporto fra due intervalli successivi di biforcazione.

Nel caso della mappa logistica, inizialmente studiata da Feigenbaum:

δ = 4,66920160910299067185320382…

Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Tutti i sistemi caotici che seguono questa legge biforcano alla stessa velocità. La prima costante di Feigenbaum può essere usata per predire quando il caos sopraggiungerà nel sistema.

Per definire la seconda costante di Feigenbaum, per ciascun attrattore ciclico della cascata di biforcazioni si deve considerare il punto più vicino a x_m, indicato con d_n nel caso dell'attrattore di 2ⁿ punti. Si costruisce così la successione d_n e si definisce:

Sempre nel caso della mappa logistica:

α = 2,502907875095892822283902873218…

Il rapporto tra due intervalli di biforcazione successivi tende a δ, mentre il rapporto tra il più piccolo attrattore ad una biforcazione e il più piccolo attrattore alla biforcazione successiva tende ad α.

Queste costanti si applicano a una larga classe di sistemi dinamici.

Si ritiene, infatti non è stato ancora dimostrato, che esse siano trascendenti. 

https://www.researchgate.net/figure/Feigenbaum-graphs-from-the-Logistic-map-The-main-figure-portrays-the-family-of_fig5_51641487

Mitchell Feigenbaum (1944 - 2019) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

Chronology for 1970 - 1980 - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html

http://zibalsc.blogspot.it/2013/12/130-colosseo-e-stadi-ergodici.html

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per mandelbrot (zibalsc.blogspot.com)

http://www.bitman.name/math/article/485

https://www.google.it/search?q=web+diagram+logistic+map&client=tablet-android-samsung&prmd=ivn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjp0Zj9scvXAhUCQBQKHdr9AukQ_AUIEigB&biw=1280&bih=800#imgrc=DaUMimX7h5jiTM:&spf=1511134893215

http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

https://physics.info/

https://hypertextbook.com/chaos/

246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni

Nel post precedente si è visto come, partendo dal setaccio di Wallis, si possa arrivare ad un simil-frattale in 3D (cubico) e assemblando 8 di questi cubi si ha lo stesso volume di una sfera di raggio unitario. Qui di seguito verrà illustrato in modo analitico come costruire un setaccio in 2D, 3D, ecc.

Per il 2D abbiamo un quadrato diviso in 9 parti uguali:

 

Il numero di elementi (o cardinalità) del prodotto cartesiano di 2 insiemi è il prodotto del numero di elementi dei 2 insiemi. Generalizzando, il numero di elementi del prodotto cartesiano di n insiemi è il prodotto del numero di elementi di ogni insieme.

Possiamo dare una rappresentazione tabulare, che consiste nello scrivere tutte le coppie possibili racchiuse tra parentesi graffe:

{(1 , 1) ; (1 , 2) ; (1 , 3) ; (2 , 1) ; (2 , 2) ; (2 , 3) ; (3 , 1) ; (3 , 2) ; (3 , 3)}

oppure tramite tabella a doppia entrata, ottenuta con gli elementi del primo insieme messi in colonna e quelli del secondo nella prima riga; le caselle contengono le varie coppie che si ottengono:

Come si vede l’unico quadrato tolto corrisponde a (2 , 2).

Nel caso del simil-frattale in 3D possiamo fare un ragionamento analogo e i 7 cubi rimossi saranno:

(1, 2, 2) ; (3, 2, 2) ; (2, 1, 2) ; (2, 2, 2); (2, 3, 2) ; (2, 2, 1) ; (2, 2, 3)

Nella seguente tabella viene rassunto (per ogni dimensione) quanti raggruppamenti di numeri 2 possiamo trovare; ad es. in 3D abbiamo 8 terne con zero 2, 12 con un solo 2, 6 con 2 elementi uguali a 2 e 1 con tutti i numeri uguali a 2 (che corrisponde al cubo centrale):

le combinazioni con almeno 2 elementi uguali a 2 sono 6 + 1 = 7, su un totale di 27 cubi (riportato nell’ultima colonna) e per un cubo di lato 3.

Possiamo fare lo stesso ragionamento per un cubo di lato 5:

qui è stata aggiunta l’ultima colonna che riporta il numero di cubi rimasti.

Nota: i coefficienti che appaiono in tabella, possono essere facilmente calcolati utilizzando la formula del binomio di Newton  -  in questo caso ( 4 + 1 )ⁿ  -

Ora, nel precedente post si è visto che in 2D per un valore iniziale pari a 4, moltiplicato nell’ordine per 8/9, 24/25, 48/49, 80/81, …, (n² – 1) / n²  
si ha la formula derivata dal prodotto di Wallis:

che può essere schematizzata così:

Mentre in 3D si ha questo risultato:

dove i numeri in grigio rappresentano i vari denominatori. 

Tralascio i passaggi e riporto quanto calcolato con Wolfram|Alpha:

che può essere riassunto:

Nelle formule appare la funzione Gamma di Eulero che estende il concetto di fattoriale (anche ai numeri complessi). In coda al post ne riporto il grafico e alcune notevoli formule che la riguardano.

Qui mi interessa solo notare che la parte destra delle formule che contiene l’indice n tende a 1 al tendere di n all’infinito.

Per cui ciò che rimane delle 3 formule è pi greco ed il numero che si trova al denominatore. Ricordando che ogni formula deve essere moltiplicata per il numero di “quadranti”, la prima (2D) 2² = 4, la seconda (3D) per 2³ = 8 e la terza (4D) per 16.

Ottenendo così i “Volumi” delle sfere n-dimensionali:

Questa non è ancora una vera e propria dimostrazione, ma ne contiene tutti gli elementi e si potrebbe anche utilizzare come metodo alternativo per calcolare il Volume di una iper-sfera.

La prima stesura di questo post verrà probabilmente rivista in seguito …

https://www.wolframalpha.com/input/?i=product+(2k%2F(2k%2B1))%5E4+((2k%2B5)%2F(2k%2B1)),+k%3D1+to+infinity

https://math.stackexchange.com/questions/1783732/is-a-hypersphere-of-non-integer-dimension-a-fractal

https://math.stackexchange.com/search?q=fractal+sphere+gamma

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245. Wallis e la Quadratura del Cerchio

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca, il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.

Nel 1882, Ferdinand Lindemann, dell’Università di Monaco, dimostrò che pi greco è trascendente, tirando così per sempre una riga sul problema della quadratura del cerchio; dalla prova fornita da Lindemann, risulta che è impossibile costruire, soltanto con riga e compasso, un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato, un problema che ha tormentato intere generazioni di matematici fin da prima di Euclide. Lindemann dimostrò che pi greco non è un numero algebrico.

Qualunque problema di geometria che può essere risolto soltanto con la riga e con il compasso, quando è posto sotto la sua forma algebrica equivalente, conduce a una o più equazioni algebriche con coefficienti interi razionali che possono risolversi per mezzo di successive estrazioni di radici quadrate. Siccome π non soddisfa nessuna di queste equazioni, non si può arrivare alla quadratura del cerchio con gli strumenti in questione.

Nota: con riga e compasso è ovviamente possibile “costruire” gli interi positivi come distanze intere dall’origine data. Ogni numero razionale è costruibile, e ciò grazie al bel teorema di Talete sui triangoli simili; inoltre si può dimostrare che la radice quadrata di qualsiasi numero costruibile è essa stessa costruibile.

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

Nel precedente post abbiamo visto il tappeto di Sierpinski, un frattale ottenuto a partire da un quadrato, descritto dal matematico polacco Wacław Sierpiński nel 1916. Ad ogni passaggio si dividono i quadrati che costituiscono la figura in 9 quadrati più piccoli e si rimuove il quadrato centrale. In questo modo per ogni passo l’area si riduce di 8/9, per cui la dimensione frattale del tappeto è log 8 / log 3 , pari a 1,892789...

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Vediamo ora un altro oggetto che “potrebbe” sembrare simile al precedente.

Il setaccio di Wallis è così costruito :

si inizia con un quadrato 2 x 2 e si divide in 4 quadrati;

si divide ogni nuovo sottoquadro per  9 e si rimuove il quadrato centrale (8/9);

si divide ogni nuovo sottoquadro per 25 e si rimuove il quadrato centrale (24/25);

si divide ogni nuovo sottoquadro per 49 e si rimuove il quadrato centrale (48/49);

si divide ogni nuovo sottoquadro per 81 e si rimuove il quadrato centrale (80/81)

e così via. 

Ecco come appare dopo alcuni passaggi :

Ho detto “potrebbe” perché il setaccio di Wallis è un simil-frattale, ad ogni passo la regola cambia e quindi l’autosimilarità non è mantenuta. Però, mentre nel caso del tappeto l’area (misura di Lebesgue) è nulla, per il setaccio l’area ha un valore ben noto.

Il valore iniziale è per definizione 4, poi nell’ordine si moltiplica per 8/9, 24/25, 48/49, 80/81, …, (n² – 1) / n²

Questo è il famoso prodotto di Wallis :

che può anche essere riscritto in questo modo :

La meraviglia sta nel fatto che le aree del setaccio di Wallis e del Cerchio sono uguali. 

Vediamo altre 2 visualizzazioni :

nella prima figura si comincia da 1 solo quadrato e si mette in relazione con il relativo cerchio inscritto, mentre lo stesso oggetto viene poi scomposto e ricomposto per evidenziare meglio l’equivalenza di cerchio e setaccio.

Con riga e compasso si riesce quindi a costruire un “quadrato” equivalente al cerchio, basta avere pazienza e il tempo necessario … se non è esattamente una quadratura, in qualche modo ci assomiglia.

Un altro modo potrebbe essere il seguente: prendete un quadrato di lato 2, togliete un quadrato concentrico di area 4/3, aggiungetene uno di area 4/5 e continuate così all’infinito … avrete così ottenuto la serie di Gregory–Leibniz moltiplicata per 4,  cioè  pi greco.

L'area colorata di giallo ha una misura pari a pi greco

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Poniamoci ora questa domanda :

esiste una spugna di Menger equivalente al setaccio di Wallis?

Si parte da un cubo di lato 1 e si divide il lato in 3 parti (27 cubi come per il cubo di Rubik), si rimuove il cubo centrale e i 6 cubi centrali ad ogni faccia (restano così 20 cubi), nel passo successivo si divide il lato di ogni nuovo cubo per 5 rimuovendo il cubo centrale e i cubi che si estendono dal centro, poi si ripete lo stesso procedimento con 7, 9, 11 e i numeri dispari successivi.

Meraviglia delle meraviglie, 8 di questi cubi hanno lo stesso volume di una sfera di raggio unitario

oppure in modo equivalente

il cubo di lato 1 ha lo stesso volume della sfera di diametro unitario

 

http://zibalsc.blogspot.com/2015/01/175-prodotti-infiniti.html?_sm_au_=iQWvnf7D1rtDk883

https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/a-few-of-my-favorite-spaces-the-wallis-sieve/?redirect=1

https://demonstrations.wolfram.com/WallisSievePiApproximation/

https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/822984

https://mathsedideas.blogspot.com/2018/02/on-pi-day.html?_sm_au_=iQWkRvfFNHZnNJj6