262. Spirali

Una spirale, in matematica, è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale, avvicinandosi (o allontanandosi) progressivamente.

In coordinate polari l’equazione più semplice si esprime come r = ϑ

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

La spirale archimedea:      r = a ϑ

La spirale di Fermat:          r = a ϑ^1/2

La spirale iperbolica:          r = a / ϑ

Il lituo:                                 r = a ϑ^-1/2

La spirale logaritmica:        r = a e^kϑ

La spirale di Cornu o clotoide 

Per una lista più completa vedete qui: List of spirals - Wikipedia

Cominciamo dal famosissimo nautilus, un mollusco cefalopode, la sua sezione longitudinale della casa del Nautilus è la perfetta rappresentazione di una spirale logaritmica, ovvero una spirale che ripete all’infinito le proporzioni della sezione aurea, proprietà fondamentale per molti fenomeni di accrescimento.

Esistono poi altre tipologie di spirali, tra cui la spirale di Archimede, la cui distanza tra una spira e la successiva è costante; ne sono un esempio le ammoniti.

Nel regno vegetale: nel disco centrale dei girasoli si avvitano due spirali, una in senso orario e l’altra in senso antiorario.

L’elenco potrebbe continuare per diversi ordini di grandezza dall’infinitamente piccolo, quali la doppia elica del DNA, all’infinitamente grande, quali le galassie dell’universo, passando per uragani e vortici marini.

Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi o nell'ordinamento delle scaglie dell'ananas o nella disposizione delle foglie dell'aloe.

Nei gasteropodi: lumache, chiocciole.

Nell’apparato uditivo la chiocciola o coclea ha questa forma. che permette di percepire le vibrazioni prodotte dalle onde sonore.

Un esempio particolare di spirale logaritmica è la spirale Aurea dove la struttura, ingrandita, o rimpicciolita, conserva lo stesso aspetto; questa può essere bene approssimata dalla spirale di Fibonacci.

Passiamo ora ad alcuni casi dove 2 o più spirali si avvolgono insieme.

Il condensatore elettrolitico, ad esempio, è composto da due lamelle definite armature. Queste sono divise da un materiale dielettrico o isolante e hanno polarità negative e positive. Quindi il condensatore è molto simile a una batteria e può mantenere una carica accumulata. Infine, questa struttura viene arrotolata per contenerne le dimensioni.

È probabile che gli studi di Leonardo da Vinci, che all'epoca della costruzione del castello di Chambord si trovava presso la corte di Francesco I, abbiano influenzato alcuni elementi architettonici: infatti alcuni suoi disegni rappresentano dei progetti di scale a doppia elica, che permettevano agli abitanti del palazzo di salire e scendere le scale senza mai incontrarsi, come succede nelle scale mobili di metropolitane e centri commerciali.

Ho tenuto per ultimo l’esempio più interessante: il disco multi-solco (o multisided record), un tipo di disco in vinile che ha più di un solco per lato. Questa tecnica permette di codificare tracce nascoste su LP, 45 giri e 78 giri, su un disco dotato di multi-solco, se l'ascoltatore riproduce la traccia principale o quella nascosta dipende solo da dove viene inserita la puntina.

L'esempio più citato è l’album Matching Tie and Handkerchief dei Monty Python, pubblicato nel 1973. Un lato dell'album (entrambi i lati erano etichettati "Lato 2") era "standard"; l'altro conteneva una coppia di solchi, ciascuno dei quali conteneva materiale diverso.

Un altro esempio memorabile di registrazione multi-solco è il disco flessibile del 1980 intitolato It's a Super-Spectacular Day pubblicato nel Super Special della mitica rivista MAD. Il disco riproduceva una sezione introduttiva standard sull'inizio di una giornata meravigliosa e "super-spettacolare", quindi produceva uno dei numerosi finali "cattivi" comici di quella giornata, coinvolgendo argomenti come il rapimento alieno, i brufoli, la violenza di strada e gli orrori di una suocera in visita. A metà disco, dopo l'allegra intro, i solchi extra prendevano il sopravvento. C'erano 8 scenari in totale e quello riprodotto dipendeva dal solco con cui la puntina entrava in contatto in modo totalmente casuale.

List of spirals - Wikipedia

Multisided record - Wikipedia

Fate as the DJ: Parallel Grooves | Kempa.com

https://www.reddit.com/r/Vinyl_Jazz/comments/k1pt41/parallel_grooves/?rdt=63556

Castello di Chambord - Wikipedia

Mathematical Spirals | Renaissance Universal (wordpress.com)

ajams7(2)66-76.pdf (arpgweb.com)

Zibaldone Scientifico: 222. Paralipomeni e DNA (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 225. Spirale di Teodoro (zibalsc.blogspot.com)

                                                       Lossodromia - Wikipedia

 

250. Rebus

 Cercando di te in un vecchio caffè

 ho visto uno specchio e dentro

 ho visto il mare e dentro al mare

 una piccola barca per me.

 Per farmi arrivare a un altro caffè

 con dentro uno specchio che dentro

 si vede il mare e dentro al mare

 una piccola barca pronta per me.

 Ah che rebus, ah che rebus

 Da, da da

 Ma poi questo giro in cerca di te

 è turistico, ahimè, e mi accorgo che

 chi affitta le barche è anche

 il padrone di tutti i caffè

 e paga di qua e paga di là

 noleggia una barca e prendi un caffè

 ah, è meglio star qui a guardare

 i pianeti nuotare davanti a me

 Nell’oscurità del rebus

 Ah che rebus

 Da, da, da

Paolo Conte - Rebus

La dicitura "effetto Droste" venne coniata alla fine degli anni settanta del Novecento dal poeta e giornalista Nico Scheepmaker, il quale prese spunto dalla marca olandese di cacao Droste, sulla cui scatola era presente l'immagine di un'infermiera che teneva in mano un vassoio con una tazza e una scatola della stessa marca; questa pubblicità fu creata da Jan Misset nel 1904.

Un'immagine in cui è presente l'effetto Droste possiede una piccola immagine di sé stessa, localizzata dove dovrebbe trovarsi se si trattasse di un'immagine reale. 

Questa piccola immagine inoltre contiene a sua volta una versione ancora più ridotta di sé stessa, e così via. Si continua fino a quando la risoluzione permette di distinguere un cambiamento.

Nell’agosto del 1909 l'artista americano Coles Phillips, noto per le sue eleganti immagini di donne e per un uso esclusivo dello spazio negativo nei dipinti che ha creato per le pubblicità e le copertine di riviste popolari, creò questa copertina per la rivista Life:

Il lavoro di Phillips divenne rapidamente popolare tra i lettori di Life. Nel maggio del 1908, creò una copertina per la rivista che presentava il suo primo disegno da "fadeaway girl" con una figura il cui abbigliamento corrispondeva e scompariva sullo sfondo. Phillips ha sviluppato questa idea in molte copertine successive.

L'uso dello spazio negativo di Phillips ha permesso allo spettatore di "riempire" l'immagine; ha anche ridotto i costi di stampa per la rivista.

Il disegno ricorsivo è stato utilizzato da Maurits Cornelis Escher in Galleria di stampe (1956), dove partendo dallo sguardo di un visitatore ritratto a osservare il paesaggio di un quadro appeso nella galleria, lo sguardo prosegue passando dal dipinto al paesaggio reale ritrovandosi, dopo un percorso circolare, a osservare la nuca del visitatore attraverso la vetrata della galleria stessa, in una successione potenzialmente infinita.

Nel doppio album dei Pink Floyd “Ummagumma” (1969) sulla sinistra si vede un quadro dove è raffigurata la stessa scena, ma con scambio di posto degli stessi musicisti.

Per quanto concerne la copertina frontale si nota un collage, a detta dello stesso autore Storm Thorgerson dello studio Hipgnosis, composto in maniera quasi amatoriale, di più foto scattate nella stessa stanza, ma con una sorta di rotazione dei membri del gruppo nelle varie postazioni.

https://it.wikipedia.org/wiki/Ummagumma

Echoes: The Best of Pink Floyd è una raccolta pubblicata nel 2001. La copertina dell'album (anch’essa ideata da Storm Thorgerson) si basa su un gioco di immagini innestate una dentro l'altra: vi è la cornice di una finestra d'angolo che dà sull'esterno, cioè l'altro muro dell'angolo, nel quale a sua volta si apre un'altra finestra che permette di avere lo scorcio di un interno, subito interrotto da un muro nel quale vi è una nuova finestra che dà su un paesaggio (diverso a seconda dei lati della copertina). 

In questi spazi trovano collocazione personaggi e oggetti che fanno riferimento alle copertine dei precedenti album dei Pink Floyd.

https://it.wikipedia.org/wiki/Echoes:_The_Best_of_Pink_Floyd

Per esempio si ritrovano:

·         un uomo in fiamme, come sulla copertina di Wish You Were Here

·         le statuine di un maiale e di una mucca, che simboleggiano le copertine di Animals e Atom Heart Mother

·         un uomo con lampadine attaccate all'abito, dalla copertina dell'album live Delicate Sound of Thunder

·         quattro maschere che riproducono i volti dei componenti del gruppo, come sulla copertina di Is There Anybody Out There?: The Wall Live 1980-1981

·         mattoni bianchi e lo stemma dei due martelli incrociati, che rappresentano The Wall

·         una bicicletta, che si riferisce alla canzone Bike di The Piper at the Gates of Dawn

·         un'ascia, riferita alla canzone Careful with That Axe, Eugene

·         una boccia per pesci, citazione dal testo di Wish You Were Here

·         un uomo in divisa militare, che richiama l'album The Final Cut

·         un letto d'ospedale, come sulla copertina di A Momentary Lapse of Reason

·         le maschere della copertina di The Division Bell

·         un prisma dalla copertina di The Dark Side of The Moon

·         un modellino di un aereo appeso al soffitto, che rimanda allo schianto dell'aereo sul  muro nella canzone In the flesh? contenuta nell'album The Wall

·       un quadro che riprende la cover del loro primo album The Piper At The Gates Of Dawn

·      un uomo in costume da bagno azzurro, lo stesso uomo utilizzato nelle immagini all'interno dell'album Wish You Were Here

·     un bersaglio a cerchi bianchi e rossi che si trova negli occhi delle statue sulla copertina di The Division Bell

·         un quadro che riprende la cover del loro album Meddle

                                  

http://www.latinacittaaperta.info/2018/05/03/escher-e-la-cioccolata/

http://misterpalomar.blogspot.com/2011/03/la-matematica-di-ummagumma-parte-1_17.html?_sm_au_=iQWkJHWnJnwJn6w5cLpsvK618Vf61

http://www.coelum.com/articoli/rudi-mathematici/questo-titolo-ha-25-caratteri-approfondimenti-sul-quesito-e-soluzione

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

…………

………..

………...

230. Vite parallele: Escher - Penrose

Le Vite parallele di Plutarco sono una serie di biografie di uomini celebri scritte sulla fine del I secolo d.C. e riunite in coppie per mostrare vizi o virtù morali comuni ad entrambi e consistono di ventidue coppie di biografie, di norma narranti le vite di un uomo greco e di uno romano. Il “parallelo” con il titolo di questo post finisce qui; infatti le vite a cui si fa riferimento, sono di 2 persone nate e scomparse a pochi giorni di distanza l’uno dall’altro. Il comune interesse per le “Strutture Paradossali”, li accomunò verso la fine degli anni ’50, anche se con motivazioni differenti: psicologiche, grafiche o matematiche.

Lionel Sharples Penrose è stato uno psichiatra e genetista britannico.
     11 giugno 1898, Londra            -   12 maggio 1972, Londra, Regno Unito

Maurits Cornelis Escher è stato un incisore e grafico olandese.
     17 giugno 1898, Leeuwarden   -   27 marzo 1972, Laren, Paesi Bassi

http://wellcomelibrary.org/collections/digital-collections/makers-of-modern-genetics/digitised-archives/lionel-penrose/

http://www.gallery.ca/escher/mindscapes/50.htm

http://www.mcescher.com/gallery/impossible-constructions/

http://zibalsc.blogspot.it/2016/07/211-il-limite-del-cerchio_10.html
https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/TassellaturePenrose/TassellaturePenrose.htm
https://www.matematicamente.it/staticfiles/approfondimenti/C.Sintini-Tassellatura.pdf

I contatti di Escher con la comunità scientifica, in particolare quelli che seguirono il suo intervento allo Stedelijk Museum di Amsterdam nel settembre 1954 durante il Congresso Internazionale dei Matematici, giocarono un ruolo importante nella sua progressione verso la rappresentazione di mondi impossibili.

Oltre all'incontro con il matematico canadese H.S.M. Coxeter, questa mostra portò ad un fruttuoso scambio di idee con Roger Penrose, che frequentava la conferenza come studente e fu molto impressionato da quanto esposto da Escher. Opere come Relativity (1953) esercitarono un'influenza determinante sullo sviluppo di figure che possono essere disegnati ma non possono esistere in 3 dimensioni.

Roger Penrose inviò a Escher "Oggetti impossibili: uno speciale tipo di Visual Illusion", un articolo da lui pubblicato con il padre, L.S. Penrose, nel British Journal of Psychology, nel febbraio 1958, che rendeva omaggio ai lavori di Escher.

Escher fu colpito da 2 illustrazioni che accompagnavano la discussione di oggetti impossibili: una rampa di scale che portano verso il basso e verso l'alto, allo stesso tempo e un triangolo impossibile. Ispirato dalle illustrazioni dei Penrose, Escher realizzò 2 famose litografie, Salire e Scendere (1960) e Cascata (1961).

Salire e scendere, Marzo 1960, litografia 285 x 355

L’illusione dei monaci che salgono e scendono in continuazione lungo una scala, forma un percorso chiuso basato su una costruzione paradossale che Escher trovò in un articolo di L.S. Penrose.


Salire e scendere

Cascata, Novembre 1961, litografia 300 x 380

L’acqua della cascata della cascata che mette in moto la ruota del mulino scorre lungo un canale tra 2 torri sino a quando raggiunge un punto in cui cade di nuovo. L’illusione è basata sul triangolo proposto da Roger Penrose, figlio dell’inventore della “scala continua” (Salire e scendere).

Cascata

Qui di seguito, la lettera inviata da M.C. Escher a L.S. Penrose nel 1961. La litografia a cui fa riferimento Escher è proprio Cascata.