228. Quasi

“Fare ricerca significa essere ignoranti per gran parte del tempo e fare spesso errori.”

Yves Meyer

 

Questo simpatico signore è Yves Meyer, professore emerito all’Ėcole Normale Supérieure Paris-Saclay. In passato è stato insignito del premio Salem (1970) e del premio Gauss (2010); quest’anno l’Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha deciso di attribuirgli il Premio Abel per il 2017. Se volete saperne di più, potete leggere qui:  http://www.abelprize.no/binfil/download.php?tid=69563

L’interesse di Meyer per quelle che potrebbero essere chiamate le strutture e le regolarità di oggetti matematici complessi lo indusse negli anni Sessanta a elaborare una teoria sui “set di modelli”, ovvero un modo per descrivere sequenze di oggetti che non hanno la regolarità perfetta e la simmetria del reticolo cristallino. Questo lavoro, che prese le mosse dalla teoria dei numeri, fornì la base teorica per i materiali chiamati quasi-cristalli, individuati per la prima volta nel 1982 nelle leghe metalliche, ma prefigurati già nel 1974 dalle tassellature semiregolari identificate dal fisico-matematico Roger Penrose. La scoperta dei quasi cristalli valse nel 2011 a Dan Schechtman, professore di scienze dei materiali, il premio Nobel per la chimica. Meyer continuò a coltivare il suo interesse per i quasi-cristalli, e nel 2010, insieme a Basarab Matei, contribuì a spiegare la loro struttura matematica.

http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104286996

 

Ho-Mg-Zn     Quasi-cristallo

Potrei proseguire parlando di questi argomenti, ma preferisco concentrarmi sui numeri di Pisot-Vijayaraghavan che possono essere usati per generare quasi-interi e studiare i quasi-cristalli: avendo la proprietà che la potenza n-esima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito.

In particolare il numero aureo  Φ (phi) possiede questa proprietà e non è difficile dimostrarlo  partendo dalla definizione del numero aureo stesso, ottenuto come prima soluzione dell’equazione: X² - X - 1 = 0   ,   X₁ = 1,6180339887..  
La seconda soluzione è invece  X₂ = - 0,6180339887.., da cui, per la proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado, si ottiene X₁ X₂ = - 1   e  X₁ + X₂ = 1    con semplici passaggi algebrici si vede che il generico prodotto  (X₁)ⁿ (X₂)ⁿ = (-1)ⁿ  mentre la generica somma  (X₁)ⁿ + (X₂)ⁿ   non è altro che la Sequenza di Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, …) che ha una stretta relazione con la Serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Dal fatto che il secondo termine tende a zero, si ha che il numero aureo è un quasi-intero al crescere di n. Nel seguente grafico viene riportata la differenza tra la potenza n-esima del numero aureo e l’intero più vicino:

E non è finita qui. Se mettete i valori assoluti di questi valori in un grafico con ordinate in scala logaritmica:

Per chiarimenti potete consultare il sito di Mauro Fiorentini:

http://www.bitman.name/math/article/791/

 

La radice quadrata di 5 appare, quasi ovviamente, nei pentagoni e come visto nel numero aureo, ma la cosa matemagica è che le 2 sequenze, che sono messe in relazione dalla radice quadrata di 5 (quindi irrazionale) possano essere entrambe quasi intere e entrambe in stile Fibonacci.

Questo è il primo post della “Trilogia dei Penrose”, nel prossimo si parlerà di dardi ed aquiloni e poi probabilmente di vite parallele.

 

https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_plastica

https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Pisot-Vijayaraghavan

https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_metallici

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

http://mathworld.wolfram.com/PisotNumber.html

http://www.abelprize.no/c69461/binfil/download.php?tid=69542

https://www.johndcook.com/blog/2017/03/22/golden-powers-are-nearly-integers/?utm_source=feedburner&utm_medium=email&utm_campaign=Feed%3A+TheEndeavour+%28The+Endeavour%29

http://anthelion.blog22.fc2.com/blog-category-2.html
http://zibalsc.blogspot.it/2016/02/203-fattoriale-fibonacci-e-conigli.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/90-ottantanove-bis.html

222. Paralipomeni e DNA

Cominciamo con un'aggiunta di cose precedentemente tralasciate (paralipomeni - dal greco paraleipómena, appunto omettere o tralasciare).

Nel post 221 abbiamo visto come Didone, prendendo tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di bue", riuscì ad ottenere il terreno per fondare Cartagine, tagliando la pelle di un toro in tante striscioline e mettendole in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città, riuscendo a occupare un terreno di poco meno di 1 km². Da un rapido conto si può vedere che tagliando in striscioline larghe 2 mm, una pelle di toro di 4 m², unendole una all’altra, si ottiene una lunghezza totale di 2 km. Se Didone avesse fatto strisce più sottili avrebbe potuto prendere più terreno.

Andiamo ora nel diciannovesimo secolo.

Era il 1868 e il chimico, medico e fisiologo tedesco Friedrich Miescher, da alcune cellule di pus, preleva quello che tempo dopo si sarebbe chiamato acido nucleico. Passano 20 anni. Albrecht Kossel, biologo svizzero, ne scopre i costituenti: acido fosforico, zucchero e basi azotate. Negli anni venti si scopre che quando lo zucchero è desossiribosio, si ha l’acido desossiribonucleico o DNA. Tralascio alcuni studi, anche se importanti, e arrivo al 1944, quando Erwin Schrödinger (quello della famosa equazione) pubblica il famoso libro “Che cos’è la vita” dove vengono elaborate e raccolte le lezioni da lui tenute al Trinity College nel febbraio del 1943. La questione centrale è “come la cellula sia governata da un codice inscritto nei geni” e Schrödinger suggerisce l’ipotesi che la molecola del gene deve essere un cristallo aperiodico, formato da una sequenza di elementi isomerici che costituiscono il codice ereditario. Tale codice contiene il piano di sviluppo dell’organismo.

Dieci anni più tardi, nel 1953, Francis Crick, James Watson, Rosalind Franklin e Maurice Wilkin scopriranno la struttura del DNA. La struttura a doppia spirale del DNA e il meccanismo di duplicazione nel corso della divisione cellulare (mitosi) permettono a ciascuna delle 2 spirali di generare la sua controparte fabbricando le basi necessarie. Anche il famoso chimico Linus Pauling aveva intrapreso la stessa strada, ma senza portare a termine le ricerche. Pauling era stato professore di Crick e Watson; a quel tempo aveva già scoperto molte strutture della chimica organica. Come aneddoto ricordo che il ruolo ispiratore di Pauling fu comunque riconosciuto dalla giuria del premio Nobel che, nello stesso anno in cui premiò Crick e Watson, attribuì anche a lui il premio Nobel (ma per la Pace).

Il peso medio di ogni coppia di basi (Adenina-Timina o Citosina-Guanina) è di 650 dalton (1 dalton è definito come la massa di un atomo di Idrogeno, 1.67 x 10^-24 grammi). Una molecola di DNA ha un corredo di circa 3.3 miliardi di paia di basi e un peso medio di 3.3 x 10⁹ x 650 Dalton = 2.15 X 10¹² Dalton =  3.59 x 10^-12 grammi.

Se stiriamo le 2 spirali ponendole in serie, l’estensione sarà poco meno di 2 metri. Allineando tutte le molecole di DNA, contenute nelle cellule di un corpo umano, copriremmo 600 volte la distanza Terra-Sole andata e ritorno!

In un adulto di 80 kg ci sono circa 8 x 10²⁷ atomi. In media, l’87% degli atomi sono Idrogeno o Ossigeno. In una tipica cellula umana ci sono circa 10¹⁴ atomi, ed è interessante notare che il numero di cellule nel corpo umano è anch’esso circa 10¹⁴.

In modo analogo in una galassia media ci sono circa 2 x 10¹¹ stelle e nell’Universo sono stimate circa 2 x 10¹¹ galassie. Questo sembra più di una semplice coincidenza.

http://chemistry.about.com/od/biochemistry/a/How-Many-Atoms-Are-In-The-Human-Body.htm

http://slideplayer.com/slide/9244093/

www.sanger.ac.uk

 

217. Lo pneumatico

Tutto cominciò con un triciclo. Lo scozzese John Boyd Dunlop (1840 – 1921) dopo essersi laureato in veterinaria, tra le altre cose, fu anche inventore e chirurgo. Nel 1867 si trasferì in Irlanda, dove, vent’anni dopo, guardando pedalare il proprio figlio su una strada sassosa, ebbe l’idea di inventare lo pneumatico. 

 

L’anno successivo depositò il brevetto e nel 1889 fondò la società produttrice degli pneumatici Dunlop: Pneumatic Tyre and Booths Cycle Agency. Una squadra di ciclisti inglesi che montava gomme Dunlop, contribuì a rendere l’invenzione famosa nel mondo e le gomme piene furono sostituite nelle biciclette e nelle automobili.

Due anni dopo la concessione, Dunlop fu informato ufficialmente che gli era stato revocato il brevetto in seguito a verifiche più approfondite. Era infatti emerso che già quarant'anni prima l'inventore Robert William Thomson (1822 – 1873) di Stonehaven (anche lui scozzese), aveva già brevettato un'idea analoga in Francia nel 1846 e negli Stati Uniti nel 1847. Forse Thomson era troppo in anticipo e morì a 51 anni senza riuscire a vedere i futuri sviluppi che avrebbe avuto la sua invenzione. O forse perché non era ancora stata inventata la vulcanizzazione, che serve a dare elasticità e durezza a caucciù e gomme sintetiche, rendendole insensibili alle variazioni di temperatura. Questo processo consiste sostanzialmente nel far reagire a caldo gomma e zolfo con altri catalizzatori, e fu scoperta nel 1855 dall’americano Charles Goodyear (anche lui rimasto famoso nel settore, l'azienda Goodyear Tire and Rubber Company è stata chiamata così in suo omaggio). I legami chimici tra le catene di molecole “a ponte di zolfo”, creano un reticolo stabile, che impedisce alla gomma di rammollire e di deformarsi se la temperatura sale. A seconda della quantità di zolfo impiegato, si ottengono gomme più o meno dure.

Ma come funziona lo pneumatico e come riesce a rimanere gonfio sotto il peso di un ciclista o quello di un automobile?

La prima risposta è semplice: è pieno di aria compressa (o altro gas).

Quello che è meno immediato è che atomi e molecole urtando tra loro e contro le pareti ad alta velocità riescono a “reggere” il peso di ciò che portano in giro. Questi proiettili sono molto piccoli, ma sono veramente tanti, ma tanti tanti. Non è semplice immaginare numeri simili e non approfondirò oltre l’argomento; riporto solo l’inizio del capitolo 39 “The Kinetic Theory of Gases” delle famose lezioni “The Feynman Lectures on Physics, Volume I”:

“Innanzitutto, sappiamo che un gas esercita una pressione. Se le nostre orecchie fossero più sensibili, sentiremmo un rumore continuo. Per fortuna l'evoluzione dell'orecchio non si è sviluppata a quel punto. La ragione è che il timpano è a contatto con l'aria, e l'aria è costituita da un sacco di molecole in movimento continuo e queste sbattono contro i timpani, causando un irregolare boom, boom, boom, che non si sente solo perché gli atomi sono così piccoli, e la sensibilità dell'orecchio insufficiente per accorgersene. Il risultato di questo bombardamento perpetuo è di spingere il tamburo lontano, ma naturalmente c'è un bombardamento perpetuo uguale di atomi sull'altro lato del timpano, in modo tale che la forza netta risultante sia zero. Se dovessimo rimuovere l'aria da uno dei due lati, o modificare le quantità relative di aria, il timpano sarebbe poi spinto da una parte o dall'altra, perché la quantità di bombardamenti su un lato sarebbe superiore a quella sull’altro. A volte si prova questo effetto di disagio quando si va troppo in fretta in un ascensore o durante la fase di atterraggio di un aereo, soprattutto se abbiamo anche un brutto raffreddore (quando abbiamo un raffreddore, l’infiammazione chiude il canale che collega l'aria all'interno del timpano con l’aria esterna che attraversa la gola, in modo che le due pressioni non possono facilmente bilanciarsi)”. 

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_39.html

 

Le molecole che compongono l’aria che respiriamo hanno una velocità media dell’ordine di 2000 km all’ora, anche se non riusciamo a percepirlo.

Tornando al nostro pneumatico, se la ruota non è montata, senza schiacciarla non riusciamo a capire se è gonfia o no. Se però vogliamo utilizzarla dobbiamo gonfiarla, cioè dobbiamo aumentare la pressione al suo interno.

L’unica formula che voglio mostrare è l’equazione di stato dei gas perfetti:

pV = nRT

dove le variabili sono nell’ordine: pressione, volume, quantità di sostanza, costante dei gas e temperatura assoluta.

Nel caso dello pneumatico V,R e T di norma non cambiano, mentre p aumenta in funzione di n, cioè se si aumenta la quantità di gas, aumenta in proporzione la pressione. Facciamo qualche esempio. Per le gomme di una bicicletta una buona regola generale è gonfiare di 1 atmosfera per ogni 10 kg di peso (es: se pesi 70 kg le gonfi a 7 atm); che non è poco, se si pensa che la pressione delle ruote delle auto è compresa tra 2 e 2,5 atmosfere. Vediamo perché e poniamoci prima un paio di domande: che pressione esercita un copertone sull’asfalto e qual è l’area della sua impronta? Le risposte non sono poi così difficili.

Primo, per essere in equilibrio, la pressione esercitata dall’asfalto sullo pneumatico deve equilibrare la pressione interna, per cui 7 atm per la bici e 2,2 per l’auto.

Secondo, la pressione si ottiene come forza per unità di superficie, p = F/S, e ipotizzando una massa di 70 kg (bici + uomo) e 1400 kg (auto + uomo), si ottiene che con le pressioni scritte sopra le relative superfici sono:

 

In questo sito potete trovare come varia l’impronta dello pneumatico in relazione alla pressione.

      

In fisica psi è l'acronimo di pound per square inch, che significa libbre per pollice quadrato, ed è l'unità di misura della pressione nel sistema anglosassone.

1 atm  = 14,69 psi  = 760 torr  = 760 mmHg   = 10,33 mH₂O  = 101325 Pa  = 1,013 bar   = 103,32 kgf/m²    = 1,0332 kgf/cm²   = 0,101325 N/mm²

https://it.wikipedia.org/wiki/Atmosfera_(unit%C3%A0_di_misura)

Essendo inversamente proporzionali, aumentando la pressione si diminuisce l’area dell’impronta lasciata sull’asfalto e viceversa. Per questo motivo si sgonfiano leggermente le gomme per aumentarne l’aderenza in caso di nevicate e si dovrebbe  aumentare la pressione d'estate di 0,2 - 0,3 bar quando si è a pieno carico.

Esistono semplici esempi di pressioni molto elevate, come un chiodo sull’asfalto che fora un copertone o la pressione esercitata dal tacco a spillo di una scarpa (di una donna di 50 kg), che arriva a superare le 100 atmosfere.

 

http://inventors.about.com/od/famousinventions/fl/John-Dunlop-Charles-Goodyear-and-the-History-of-Tires.htm

https://en.wikipedia.org/wiki/Radial_force_variation

https://en.wikipedia.org/wiki/Tire

http://physics.stackexchange.com/questions/132892/does-car-tire-pressure-change-with-weight-of-car-load

http://hypertextbook.com/facts/2003/JackGreen.shtml

http://expeditionportal.com/the-lowdown-off-road-tire-pressures/

http://bicycles.stackexchange.com/questions/21227/how-much-does-rider-weight-increase-tire-pressure

http://www.bdc-forum.it/showthread.php?t=95367

https://nicolazurlo.wordpress.com/2012/05/29/compito/

 

193. Azoto

E’ estate, una calda estate. E allora fa sempre piacere uscire a prendere un po’ d’aria e può capitare di chiedersi perché quest’aria ha una certa composizione e così tanto Azoto.

Oppure, in una di queste giornate dove il tasso di umidità è al limite della sopportazione, di pensare a quale sia la percentuale di vapore acqueo e quanta acqua può venir “prodotta” da un condizionatore.

Nel post 93. Clorofilla ed Emoglobina si sono prese in considerazione le abbondanze degli elementi chimici nell’Universo, nella crosta terrestre, nell’acqua di mare e nel corpo umano.

La crosta terrestre è l’unica dove l’Ossigeno è al primo posto (47%) e il Silicio al secondo (28%); negli altri casi è sempre l’Idrogeno il più abbondante e il Silicio si trova solo nella crosta terrestre.

Dell’Azoto si ha qualche traccia significativa solo nel corpo umano.

 

Se ora prendiamo in considerazione l’atmosfera terrestre abbiamo una situazione ancora una volta completamente differente:

l’aria è composta dal 78,1% di Azoto, dal 20,9% di Ossigeno, dallo 0,95% di Argon ed in percentuali sempre inferiori:

Anidride Carbonica, Neon, Elio, Metano, Krypton, Idrogeno, ecc.

 

 

Leonardo da Vinci definiva l’atmosfera una specie di fluido pesante, compressibile e resistente, che avvolge la sfera della terra e dell'acqua; il peso e la pressione che essa esercita su tutti i corpi alla superficie della Terra furono riconosciuti da Galileo Galilei.

Il vapore acqueo nell'aria è di solito meno dell'1% in volume, ma può raggiungere il 4% nei climi umidi; è ovvio che la quantità di vapor d'acqua saturo presente nell'aria dipende dalla temperatura.

Attenzione: quando parliamo di vapore acqueo, non stiamo prendendo in considerazione le nuvole… In meteorologia una nuvola è costituita da minute particelle d'acqua condensata e/o cristalli di ghiaccio, sospese per galleggiamento nell'atmosfera e solitamente non a contatto con il suolo.

Nell'antichità erano conosciuti solo pochi elementi: Carbonio, Oro, Argento, Rame, Zolfo, Stagno, Piombo, Mercurio, Antimonio e Ferro; mentre Arsenico e Zinco erano note prima del XV secolo; infine, all’epoca della rivoluzione francese erano conosciuti (in ordine di scoperta):

 

Fosforo                                  1669

Cobalto                                  1737

Platino                                   1748

Nichel                                    1751

Bismuto                                 1753

Idrogeno                               1766

Azoto                                    1772

Cloro                                      1774

Manganese                           1774

Ossigeno                              1774

Molibdeno                             1782

Tellurio                                   1783

Tungsteno                             1783

https://en.wikipedia.org/wiki/Abundance_of_the_chemical_elements

 

Elementi chimici noti nel 1790

Il rame è forse il più antico metallo conosciuto, così importante da dare il nome ad un periodo durato diversi millenni: l’età del rame.

L'età del bronzo indica invece il periodo successivo caratterizzato dall'utilizzo sistematico ed esteso della metallurgia del bronzo che, per quanto riguarda l'Europa, si estende dal 3500 a.C. al 1200 a.C. circa.

Il termine bronzo identifica la lega rame/stagno.

Tornando ad Azoto e Ossigeno, questi furono identificati all’incirca nello stesso periodo 1772 e 1774.

Daniel Rutherford chiamò l’Azoto “aria nociva”, mentre altri lo soprannominarono “aria bruciata”. Antoine Lavoisier (padre della chimica moderna) gli diede il nome di Azoto (dal greco azotos, senza vita).

Il nome inglese Nitrogen significa “formante nitro” e deriva dal fatto che il nitrato di potassio (sale di potassio dell'acido nitrico, comunemente noto anche con il nome di salnitro o nitro) è un minerale comune che contiene Azoto.

La risposta al perché l’Azoto sia l’elemento principale dell’aria con 4 parti su 5 si può trovare nelle seguenti argomentazioni:

o   è un gas volatile

o   e’ inerte con i materiali che compongono la crosta terrestre

o   e’ molto stabile in presenza di radiazione solare
 

Nella composizione dell’Universo, Ossigeno e Azoto hanno all’incirca la stessa percentuale (anche se insieme arrivano solo all’1%), ma l’Ossigeno è sicuramente meno inerte dell’Azoto (come riportato sopra, dove si può notare quanto Ossigeno ci sia nella crosta terrestre).

L’Azoto è un gas inerte, in condizioni opportune ha la fondamentale funzione di fertilizzare il suolo, ed è indispensabile ai vegetali quanto la vitamina C lo è per noi. Raramente reagisce con altre sostanze e la difficoltà di farlo partecipare a reazioni importanti lo rese una delle sostanze più studiate da diverse generazioni di chimici.

Per "catturare" l’Azoto si procede in questo modo:

o   si porta il gas ad alte temperature
o   lo si mette a contatto con l’idrogeno
o   si aumenta la pressione a centinaia di atmosfere
o   si aggiunge l’Osmio che funge da catalizzatore

A questo punto l’aria si è trasformata in Ammoniaca, NH₃.

Questa sostanza viene utilizzata per molti scopi ed è alla base di tutti i fertilizzanti.

L’Azoto liquefa a 77,35 K (−195,82 °C) e solidifica a 63,14 K (−210,03 °C).

Se liquefassimo l’aria di un appartamento medio, otterremmo circa 400 litri di Azoto liquido, mentre l’acqua raccolta dipende dalla percentuale dell’umidità e dalla temperatura:

 

 

Con una temperatura che supera i 30 gradi e percentuali di umidità dell’ordine dell’80%, si potrebbero avere tra i 5 e i 10 litri d’acqua (senza considerare l’apporto dato da esseri umani e animali presenti).

Malgrado la sua particolare attitudine di gas inerte, l’Azoto è presente in molte sostanze. In natura come nitrato di Potassio KNO₃ (salnitro) e nitrato di Sodio NaNO₃ (nitro del Cile). E’ un costituente di proteine e acidi nucleici.

 

I più importanti ossidi di Azoto sono il monossido NO e il diossido NO₂.

 

Non è possibile elencare tutte le sostanze in cui è presente l’Azoto e mi limiterò ad alcune delle più note:

 

Acido nitrico                       HNO₃          (con l’acido cloridrico forma l’acqua regia)

 

Cianuro                               CN^-   

 

Nicotina                               C₁₀H₁₄N₂               

 

Trinitrotoluene                   CH₃C₆H₂(NO₂)₃     (noto anche come tritolo o TNT)

 

Nitroglicerina                     C₃H₅(ONO₂)₃      

 

 

Inoltre: Caffeina, Morfina, Serotonina, Adrenalina, Idrazina, ecc.

 

 

http://venus.unive.it/miche/cicli_ecosis/0033.htm 

https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_chemical_element_discoveries
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1918/
http://zibalsc.blogspot.it/2014/06/153-acqua-ed-aria.html