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mercoledì 31 gennaio 2024

262. Spirali

Una spirale, in matematica, è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale, avvicinandosi (o allontanandosi) progressivamente.

In coordinate polari l’equazione più semplice si esprime come r = ϑ

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

La spirale archimedea:      r = a ϑ

La spirale di Fermat:          r = a ϑ1/2

La spirale iperbolica:          r = a / ϑ

Il lituo:                                 r = a ϑ-1/2

La spirale logaritmica:        r = a e

La spirale di Cornu o clotoide 

Per una lista più completa vedete qui: List of spirals - Wikipedia

Cominciamo dal famosissimo nautilus, un mollusco cefalopode, la sua sezione longitudinale della casa del Nautilus è la perfetta rappresentazione di una spirale logaritmica, ovvero una spirale che ripete all’infinito le proporzioni della sezione aurea, proprietà fondamentale per molti fenomeni di accrescimento.

Esistono poi altre tipologie di spirali, tra cui la spirale di Archimede, la cui distanza tra una spira e la successiva è costante; ne sono un esempio le ammoniti.

Nel regno vegetale: nel disco centrale dei girasoli si avvitano due spirali, una in senso orario e l’altra in senso antiorario.


L’elenco potrebbe continuare per diversi ordini di grandezza dall’infinitamente piccolo, quali la doppia elica del DNA, all’infinitamente grande, quali le galassie dell’universo, passando per uraganivortici marini.


Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi o nell'ordinamento delle scaglie dell'ananas o nella disposizione delle foglie dell'aloe.

Nei gasteropodi: lumache, chiocciole.

Nell’apparato uditivo la chiocciola o coclea ha questa forma. che permette di percepire le vibrazioni prodotte dalle onde sonore.

Un esempio particolare di spirale logaritmica è la spirale Aurea dove la struttura, ingrandita, o rimpicciolita, conserva lo stesso aspetto; questa può essere bene approssimata dalla spirale di Fibonacci.



Passiamo ora ad alcuni casi dove 2 o più spirali si avvolgono insieme.

Il condensatore elettrolitico, ad esempio, è composto da due lamelle definite armature. Queste sono divise da un materiale dielettrico o isolante e hanno polarità negative e positive. Quindi il condensatore è molto simile a una batteria e può mantenere una carica accumulata. Infine, questa struttura viene arrotolata per contenerne le dimensioni.


È probabile che gli studi di Leonardo da Vinci, che all'epoca della costruzione del castello di Chambord si trovava presso la corte di Francesco I, abbiano influenzato alcuni elementi architettonici: infatti alcuni suoi disegni rappresentano dei progetti di scale a doppia elica, che permettevano agli abitanti del palazzo di salire e scendere le scale senza mai incontrarsi, come succede nelle scale mobili di metropolitane e centri commerciali.


Ho tenuto per ultimo l’esempio più interessante: il disco multi-solco (o multisided record), un tipo di disco in vinile che ha più di un solco per lato. Questa tecnica permette di codificare tracce nascoste su LP, 45 giri e 78 giri, su un disco dotato di multi-solco, se l'ascoltatore riproduce la traccia principale o quella nascosta dipende solo da dove viene inserita la puntina.


L'esempio più citato è l’album Matching Tie and Handkerchief dei Monty Python, pubblicato nel 1973. Un lato dell'album (entrambi i lati erano etichettati "Lato 2") era "standard"; l'altro conteneva una coppia di solchi, ciascuno dei quali conteneva materiale diverso.


Un altro esempio memorabile di registrazione multi-solco è il disco flessibile del 1980 intitolato It's a Super-Spectacular Day pubblicato nel Super Special della mitica rivista MAD. Il disco riproduceva una sezione introduttiva standard sull'inizio di una giornata meravigliosa e "super-spettacolare", quindi produceva uno dei numerosi finali "cattivi" comici di quella giornata, coinvolgendo argomenti come il rapimento alieno, i brufoli, la violenza di strada e gli orrori di una suocera in visita. A metà disco, dopo l'allegra intro, i solchi extra prendevano il sopravvento. C'erano 8 scenari in totale e quello riprodotto dipendeva dal solco con cui la puntina entrava in contatto in modo totalmente casuale.



List of spirals - Wikipedia

Multisided record - Wikipedia

Fate as the DJ: Parallel Grooves | Kempa.com

https://www.reddit.com/r/Vinyl_Jazz/comments/k1pt41/parallel_grooves/?rdt=63556

Castello di Chambord - Wikipedia

Mathematical Spirals | Renaissance Universal (wordpress.com)

ajams7(2)66-76.pdf (arpgweb.com)

Zibaldone Scientifico: 222. Paralipomeni e DNA (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 225. Spirale di Teodoro (zibalsc.blogspot.com)

                                                       Lossodromia - Wikipedia

 

martedì 2 gennaio 2018

238. Atan


Il termine pendenza è usato per indicare il grado di ripidità (o di inclinazione) di una strada, ed è indicata dalla segnaletica verticale con cartelli di pericolo che ne indicano la pendenza con una percentuale. Un valore maggiore della pendenza corrisponde a una maggiore ripidità del tratto di strada.
Un tratto orizzontale ha una pendenza che vale 0% (tangente = 0), un tratto di strada in salita che forma un angolo di 45° con l'orizzontale ha una pendenza del 100% (tangente = 1); cioè ad ogni spostamento orizzontale di 100 metri, ne corrisponde uno verticale di pari valore.

                     


La pendenza della strada è definita come la tangente dell'angolo θ di inclinazione:
m = tan θ

Se si vuole risalire al valore dell'angolo θ a partire dal valore della pendenza m, basta applicare la formula di conversione:    θ = arctan m

In trigonometria, l’arcotangente (che viene indicata con arctan o atan) è definita come inversa della funzione tangente.



In un triangolo rettangolo l'ampiezza di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il cateto opposto e il cateto adiacente.

Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, non è difficile dimostrare la relazione:

Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco, che sono conosciute come formule di tipo Machin.

William Shanks, nel 1873, calcolò il valore di pi greco con 707 cifre decimali, facendo uso della formula di John Machin del 1706:

Questo risultato fu in seguito controllato da D.F.Ferguson e J.W.Wrench jr. avvalendosi rispettivamente della formula di Machin e della seguente formula di Sidney Luxton Loney:


Calcolarono entrambi 808 cifre decimali ottenendo lo stesso risultato. Si è avuta così la conferma che le ultime cifre del valore ricavato da Shanks (a partire dalla 528a) erano errate.

E ora una bella formula ricavata dal grande matematico Eulero nel 1738:


Formula di Eulero

Da quest’ultima (utilizzando la prima formula di questo post) si può ricavare:


Una bella dimostrazione grafica di questa elegante formula consiste nel mostrare che la somma degli angoli rosso, verde e blu è proprio pi greco (N.B. nella seconda immagine, il triangolo blu-verde è isoscele e quindi simile al triangolo piccolo rosso-nero della prima immagine).




 


 














https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities










martedì 4 aprile 2017

228. Quasi


“Fare ricerca significa essere ignoranti per gran parte del tempo e fare spesso errori.”

Yves Meyer

 


Questo simpatico signore è Yves Meyer, professore emerito all’Ėcole Normale Supérieure Paris-Saclay. In passato è stato insignito del premio Salem (1970) e del premio Gauss (2010); quest’anno l’Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha deciso di attribuirgli il Premio Abel per il 2017. Se volete saperne di più, potete leggere qui:  http://www.abelprize.no/binfil/download.php?tid=69563

L’interesse di Meyer per quelle che potrebbero essere chiamate le strutture e le regolarità di oggetti matematici complessi lo indusse negli anni Sessanta a elaborare una teoria sui “set di modelli”, ovvero un modo per descrivere sequenze di oggetti che non hanno la regolarità perfetta e la simmetria del reticolo cristallino. Questo lavoro, che prese le mosse dalla teoria dei numeri, fornì la base teorica per i materiali chiamati quasi-cristalli, individuati per la prima volta nel 1982 nelle leghe metalliche, ma prefigurati già nel 1974 dalle tassellature semiregolari identificate dal fisico-matematico Roger Penrose. La scoperta dei quasi cristalli valse nel 2011 a Dan Schechtman, professore di scienze dei materiali, il premio Nobel per la chimica. Meyer continuò a coltivare il suo interesse per i quasi-cristalli, e nel 2010, insieme a Basarab Matei, contribuì a spiegare la loro struttura matematica.


 

Ho-Mg-Zn     Quasi-cristallo


Potrei proseguire parlando di questi argomenti, ma preferisco concentrarmi sui numeri di Pisot-Vijayaraghavan che possono essere usati per generare quasi-interi e studiare i quasi-cristalli: avendo la proprietà che la potenza n-esima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito.

In particolare il numero aureo  Φ (phi) possiede questa proprietà e non è difficile dimostrarlo  partendo dalla definizione del numero aureo stesso, ottenuto come prima soluzione dell’equazione: X2 - X - 1 = 0   ,   X1 = 1,6180339887..  
La seconda soluzione è invece  X2 = - 0,6180339887.., da cui, per la proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado, si ottiene X1 X2 = - 1   e  X1 + X2 = 1    con semplici passaggi algebrici si vede che il generico prodotto  (X1)n (X2)n = (-1)n  mentre la generica somma  (X1)n + (X2)n   non è altro che la Sequenza di Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, …) che ha una stretta relazione con la Serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Dal fatto che il secondo termine tende a zero, si ha che il numero aureo è un quasi-intero al crescere di n. Nel seguente grafico viene riportata la differenza tra la potenza n-esima del numero aureo e l’intero più vicino:






E non è finita qui. Se mettete i valori assoluti di questi valori in un grafico con ordinate in scala logaritmica:




Per chiarimenti potete consultare il sito di Mauro Fiorentini:









 
La radice quadrata di 5 appare, quasi ovviamente, nei pentagoni e come visto nel numero aureo, ma la cosa matemagica è che le 2 sequenze, che sono messe in relazione dalla radice quadrata di 5 (quindi irrazionale) possano essere entrambe quasi intere e entrambe in stile Fibonacci.



Questo è il primo post della “Trilogia dei Penrose”, nel prossimo si parlerà di dardi ed aquiloni e poi probabilmente di vite parallele.

 








domenica 7 febbraio 2016

203. Fattoriale, Fibonacci e Conigli


                                           Al mondo ci sono tre tipi di persone:  
                                           quelli che sanno contare e quelli che non sanno contare.

                Ian Stewart

1 + 2 + 3 + 4 + ... + N, cioè la somma degli interi da 1 ad N è relativamente facile da calcolare (come visto in 163. Gauss & Faulhaber):       





Se invece proviamo a calcolare il prodotto di 1 x 2 x 3 x 4 x ... x N, otteniamo la sequenza 1, 2, 6, 24, ..., N!. Si definisce Fattoriale il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali ad un dato numero N, e viene indicato con N!.

In questo caso però non è possibile ottenere una formula esatta, ma il matematico scozzese James Stirling (1692-1770) riuscì a ricavare una buona approssimazione:



Si può dimostrare che cresce più velocemente di un esponenziale e meno di nn.

an   Fattoriale   nn

La funzione Gamma di Eulero è una funzione continua, che estende il concetto di fattoriale ai numeri reali



o nel campo dei numeri complessi




















Tornando al Fattoriale, riporto la tabella di Wikipedia con i primi elementi: 



Una notevole coincidenza del Fattoriale di 10 risulta essere:

 
10!  =  6 settimane    (in secondi)
 

Cioè in 6 settimane ci sono esattamente 3.628.800 secondi.

In 1 ora ci sono 3600 secondi e in 1 settimana ci sono 168 ore (24 x 7)

3600 = 4 x 9 x 2 x 5 x 10     e    168 = 3 x 8 x 7

Riordinando i vari fattori abbiamo:  2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 9 x 10  (manca solo il 6).

Quindi se prendiamo 6 settimane abbiamo tutti i valori fino a 10.

Continuando con i valori successivi, 11!  secondi sono più di un anno e 20!  secondi sono superiori a 5 volte l’età dell’Universo.

Come si vede il Fattoriale cresce abbastanza in fretta (o forse l’età dell’Universo espressa in secondi non è poi così elevata); ad esempio il Numero di Avogadro è maggiore di qualche ordine di grandezza e comunque niente in confronto a come crescono i Grandi Numeri.

Ma veniamo ora al tema proposto dai Rudi Mathematici o Rudi Matematici per il Carnevale della Matematica del mese di Febbraio.

La Successione di Fibonacci che abbiamo già visto in alcuni post precedenti (ad es. 89. Ottantanove e successivo) cresce asintoticamente come un esponenziale.

Sequenza di Fibonacci   Fattoriale   nn

 




















Nel 1202 Leonardo da Pisa pubblicò il libro Liber Abbaci o “Libro del calcolo”, un testo di aritmetica che si centrava su calcoli finanziari. Sembra che uno degli esercizi fosse un’invenzione dell’autore e poneva questa domanda: 

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia

Riporto di seguito la traduzione che potete trovare nel sito: 


Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno:
per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.
 
Poiché la suddetta coppia si riproduce nel primo mese, devi raddoppiarla: nel primo mese le coppie saranno 2.
Di queste, la prima, nel secondo mese ne genera un'altra: quindi nel secondo mese ci sono 3 coppie.
Di queste, durante il mese, due si riproducono e nel terzo mese, generano 2 coppie: quindi, nel terzo mese, ci sono 5 coppie di conigli.
Di queste, durante il mese, 3 si riproducono e nel quarto mese ci sono 8 coppie.
Di queste, al quinto mese, 5 coppie ne generano altre 5 che aggiunte alle 8 coppie esistenti fanno 13 coppie.
Di queste, le 5 generate nel mese precedente non generano nel sesto mese, ma le altre 8 si riproducono, quindi nel sesto mese ci sono 21 coppie.
Aggiungendo a queste altre 13 coppie generate nel settimo mese, ci saranno in quel mese 34 coppie.
Aggiungendo a queste altre 21 coppie generate nell'ottavo mese, ci saranno in quel mese 55 coppie.
Aggiungendo a queste, altre 34 coppie generate nel nono mese, ci saranno in quel mese 89 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 55 coppie generate, nel decimo ci saranno 144 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 89 coppie generate nell' undicesimo mese, ci saranno in quel mese 233 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste anche 144 coppie generate nell'ultimo mese, ci saranno 377 coppie. 

Tante sono le coppie generate dalla coppia iniziale in quel luogo in capo ad un anno.

Puoi inoltre vedere in questo margine (vedi sotto) come abbiamo operato: abbiamo sommato il primo numero con il secondo, cioè 1 e 2; il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto con il quinto e così via finché abbiamo sommato il decimo con l'undicesimo, cioè 144 con 233 ed abbiamo ottenuto la somma dei suddetti conigli, cioè 377; e così si può fare per un numero infinito di mesi.” 


https://it.wikipedia.org/wiki/Discussione:Successione_di_Fibonacci


Qualche secolo dopo la sua morte, a Leonardo da Pisa fu dato il soprannome Fibonacci, “figlio di Bonaccio”.

La successione, che prende il suo nome, è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F1 = 1 e F2 = 1. Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:

Fn = Fn-1 + Fn-2          (per ogni n>2)

Gli elementi Fn sono anche detti numeri di Fibonacci.
I primi termini della successione di Fibonacci sono:
 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...