276. La formula più bella – Allegato 2

Nei 2 post (e allegato) precedenti si è visto come sia semplice la forma delle equazioni di campo di Einstein nel vuoto (che permettono di calcolare i moti di tutti gli oggetti sottoposti ad un campo gravitazionale):

R_μν = 0

 

Per capire la matematica bisogna a volte scavare più a fondo nelle parti più segrete (o se volete più nascoste), come per le opere di Arnaldo Pomodoro.

Una sfera ha una forma affascinante e contemporaneamente semplice: in coordinate sferiche, un cerchio, una sfera o una ipersfera si rappresentano con R = costante.

Ma le sfere di Pomodoro ci fanno intravedere che al loro interno esiste una realtà più complessa.

Rompono una simmetria perfetta e ci portano ad immaginare che sotto la superficie liscia esista un mondo da scoprire.

Lo scultore, scomparso recentemente, era nato nel 1926 nel Montefeltro e dagli anni ’60 sviluppò forme geometriche che si vedono spesso in molte piazze o musei. Sfere, dischi o cubi vengono squarciati per mostrare quanto nascondono. Credo che la prima sfera (di 3,5 metri di diametro) sia stata commissionata per l’Expo di Montreal del 1967 e si trova ora di fronte alla Farnesina.

 

Tornando al tensore di Ricci, nel post 166 sono state riportate le parole di Einstein:

“Se nella teoria della Relatività Generale esiste un’equazione analoga a quella di Poisson, deve trattarsi di un’equazione tensoriale per il tensore g_µν del potenziale gravitazionale; il tensore energetico della materia dovrà poi figurare in essa a secondo membro, mentre a primo membro dovrà figurare un tensore differenziale nelle g_µν. Dobbiamo ora ricercare tale tensore differenziale, il quale risulta completamente determinato dalle 3 condizioni seguenti:

1)    non deve contenere alcuna derivata delle g_µν di ordine superiore al secondo;

2)    deve essere lineare e omogeneo nelle derivate seconde;

3)    la sua divergenza deve essere identicamente nulla.

Le prime 2 condizioni sono tratte naturalmente dall’equazione di Poisson.”

La terza condizione è necessaria per poter soddisfare il principio di conservazione dell’energia.

Dal tensore metrico g_µν e dalle sue derivate prime possono essere costruite delle grandezze (connessione affine) che non hanno però le caratteristiche di un tensore in quanto possono essere annullate scegliendo un opportuno sistema di riferimento. Senza entrare troppo nei dettagli, queste rappresentano il campo gravitazionale, che può venire annullato localmente scegliendo un sistema in caduta libera.

 

Ricordo che un tensore è un oggetto matematico che generalizza i concetti di scalare e vettore. In fisica, i tensori descrivono quantità che sono indipendenti dal sistema di riferimento.

 

Il tensore di Ricci è un concetto fondamentale nella geometria differenziale e nella teoria della Relatività Generale. È una forma matematica che misura come la geometria di uno spazio curvo si comporta localmente e descrive come si deformano i volumi nello spazio curvo.

Per capire il tensore di Ricci, dobbiamo partire dal concetto di curvatura: lo spazio-tempo può essere curvo, cioè non piatto come lo spazio euclideo. Questa curvatura è descritta da un oggetto chiamato tensore di Riemann: un tensore di ordine 4 che contiene tutte le informazioni sulla curvatura locale. Il tensore di Ricci è una forma semplificata della curvatura, ottenuta contraendo (cioè sommando) rispetto a 2 indici del tensore di Riemann:

R_μν = R^λ_μλν

Il numero di componenti del tensore di Ricci dipende dalla dimensione dello spazio su cui è definito; è un tensore simmetrico di rango 2 (2 indici) definito su uno spazio di dimensione n.

È simmetrico: R_μν = R_νμ e il numero di componenti indipendenti è uguale a  n(n+1)/2

 

Dimensione n                  Componenti indipendenti di R_μν

2                                       2 (2+1) / 2 = 3

3                                       3 (3+1) / 2 = 6

4 (spazio-tempo)              4 (4+1) / 2 = 10

5                                       5 (5+1) / 2 = 15

 

Nota: anche se il tensore di Riemann in 4 dimensioni ha 256 componenti (4 indici, ognuno da 0 a 3, cioè 4 alla quarta), solo 20 sono indipendenti a causa delle simmetrie.

Il tensore di Ricci ha solo 10 componenti indipendenti in 4 dimensioni.

 

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Per mostrare la complessità di questi due tensori, inizio dalla definizione del tensore di Riemann:

Dove le grandezze Г sono le connessioni affini citate sopra, la virgola indica la derivata rispetto all’indice successivo e si è usata la convenzione di Einstein per la sommatoria degli indici ripetuti 2 volte.

Non è importante seguire i passaggi, e quindi, per non complicare troppo il discorso, mostro solo 2 estratti di Teoria dei campi di Landau/Lifsits, dove si vede la forma covariante (indici tutti in basso) del tensore di curvatura di Riemann e, come ottenere il tensore di Ricci per contrazione di 2 indici:

Come esempio riporto solo la contrazione della prima parte della (92,1) con il primo termine in parentesi:

Che esplicitato risulta la sommatoria di 16 termini:

Potete immaginare ora cosa intendevo all’inizio quando dicevo che scavando più a fondo la semplice R_μν = 0 si arriva ad un risultato difficile anche da scrivere.

Ecco, tutto questo (e molto altro come ad esempio le equazioni di Newton) è contenuto in questi pochi caratteri.

 

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Nota: nel primo articolo di Einstein non si trova in forma esplicita l’equazione di campo della Relatività Generale, come nel primo articolo di 10 anni prima sulla Relatività Ristretta non si trova la più famosa E=mc².

Quest’ultima è stata ricavata in un successivo lavoro di Einstein, mentre l’equazione di campo è stata scritta per un particolare sistema di riferimento per semplificare i calcoli e compare in questa forma:

Ammetto che ci ho messo un po’ a capirlo,

 

Lecture Notes on General Relativity - S. Carroll

Christoffel symbols - Wikipedia

Einstein Field Equations Fully Written Out: What Do They Look Like Expanded? – Profound Physics

Christoffel Symbols: A Complete Guide With Examples – Profound Physics

Zibaldone Scientifico: 166. La formula più bella

Zibaldone Scientifico: 167. La formula più bella – Allegato 1

Zibaldone Scientifico: 13. Equazioni del moto

Zibaldone Scientifico: 143. Curvatura e Gravitazione

Albert Einstein, Il significato della relatività, Bollati Boringhieri

Albert Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri
L. D. Landau – E. M. Lifsits, Teoria dei Campi,  Editori Riuniti

Max Jammer, Storia del concetto di spazio, Feltrinelli
C. W. Misner - K. S. Thorne - J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman and Company

Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley

Fabio Toscano, Il genio e il gentiluomo, Sironi

Johann Friedrich Carl Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855)

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, 17 settembre 1826 – Selasca, 20 luglio 1866)

Elwin Bruno Christoffel (Monschau, 10 novembre 1829 – Strasburgo, 15 marzo 1900)

Gregorio Ricci Curbastro (Lugo, 12 gennaio 1853 – Bologna, 6 agosto 1925)

Jules Henri Poincaré (Nancy, 29 aprile 1854 – Parigi, 17 luglio 1912)

Luigi Bianchi (Parma, 18 gennaio 1856 – Pisa, 6 giugno 1928)

David Hilbert (Königsberg, 23 gennaio 1862 – Gottinga, 14 febbraio 1943)

Hermann Minkowski (Aleksotas, 22 giugno 1864 – Gottinga, 12 gennaio 1909)

Élie Joseph Cartan (Dolomieu, 9 aprile 1869 – Parigi, 6 maggio 1951)

Tullio Levi-Civita (Padova, 29 marzo 1873 – Roma, 29 dicembre 1941)

Karl Schwarzschild (Francoforte sul Meno, 9 ottobre 1873 – Potsdam, 11 maggio 1916)

Marcel Grossmann (Budapest, 9 aprile 1878 – Zurigo, 7 settembre 1936)

Albert Einstein (Ulm, 14 marzo 1879 – Princeton, 18 aprile 1955)

 

268. Falla di Gödel

 

Articolo V

Il Congresso, quando i due terzi di ciascuna Camera lo ritengano necessario, potrà proporre emendamenti a questa Costituzione o, su richiesta dei Legislativi dei due terzi dei vari Stati, potrà convocare una Convenzione per proporre emendamenti, che, in entrambi i casi, saranno validi ad ogni intento e proposito come parte di questa Costituzione quando ratificati dai Legislativi dei tre quarti dei diversi Stati, o da apposite Convenzioni nei tre quarti di essi, a seconda che l'uno o l'altro modo di ratifica sia proposto dal Congresso; con l'eccezione che nessun emendamento che sia fatto prima dell'anno 1808 potrà in qualsiasi modo incidere sulla prima e sulla quarta clausola della Sezione nona dell'articolo primo; e che nessuno Stato potrà, senza il suo consenso, esser privato della sua parità di suffragio nel Senato.

Nel 1947, Kurt Gödel, Albert Einstein e Oskar Morgenstern guidarono da Princeton a Trenton con l'auto di Morgenstern. I tre uomini, che erano fuggiti dall'Europa nazista e che erano diventati amici intimi all'Institute for Advanced Study, stavano andando in tribunale dove Gödel, un esule austriaco, avrebbe dovuto sostenere l'esame di cittadinanza statunitense, cosa che i suoi due amici avevano già fatto.

Tra le altre cose, Morgenstern aveva fondato la teoria dei giochi, Einstein aveva fondato la teoria della relatività e Gödel aveva rivoluzionato la matematica e la filosofia con i suoi teoremi di incompletezza.

Kurt Gödel e Albert Einstein a Princeton. Fotografia scattata da Oskar Morgenstern

Oskar Morgenstern e Kurt Gödel a Princeton. Fotografia scattata da Albert Einstein

Morgenstern guidava. Gödel si sedette dietro. Einstein, davanti con Morgenstern, si voltò e disse, scherzando:

"Ora, Gödel, sei davvero ben preparato per questo esame?"

Gödel sembrava colpito.

Secondo Morgenstern, lo scopo di Einstein nel chiedere questo era quello di innervosire Gödel, la cui reazione lo divertì.

In tribunale

I testimoni normalmente rimanevano fuori dalla stanza durante un esame di cittadinanza, ma poiché Einstein era coinvolto, e poiché il giudice, Phillip Forman, aveva prestato giuramento di cittadinanza a Einstein, tutti e tre gli uomini furono invitati a presentarsi.

Durante l'esame, Forman chiese a Gödel la storia del governo austriaco: 

Examiner:    "Now, Mr. Gödel, where do you come from?"
Gödel:         "Where I come from? Austria."
Examiner:    "What kind of government did you have in Austria?"
Gödel:         "It was a republic, but the constitution was such that it finally was changed into a dictatorship."
Examiner:    "Oh! This is very bad. This could not happen in this country."
Gödel:         "Oh, yes. I can prove it."

In sintesi: era una repubblica, ma la costituzione era tale che alla fine cambiò in una dittatura; il giudice commentò che ciò non poteva accadere negli Stati Uniti e Gödel rispose "Oh, sì, posso provarlo", ma il giudice rifiutò di approfondire la questione.

Per prepararsi al test di cittadinanza, sapendo che gli sarebbero state poste domande sulla Costituzione degli Stati Uniti, Gödel si era dedicato allo studio della storia americana e del diritto costituzionale. Più e più volte, aveva telefonato a Morgenstern con il panico crescente per l'esame. Morgenstern lo rassicurò che "al massimo potrebbero chiedersi che tipo di governo abbiamo". Ma Gödel si arrabbiò sempre di più. Alla fine, come ricordò in seguito Morgenstern, "mi disse piuttosto eccitato che guardando la Costituzione, con sua angoscia, aveva trovato alcune contraddizioni interne e che poteva mostrare come in modo perfettamente legale sarebbe stato possibile per qualcuno diventare un dittatore e instaurare un regime dittatoriale, mai voluto da coloro che hanno redatto la Costituzione". Aveva trovato un difetto logico.

Morgenstern parlò ad Einstein della teoria di Gödel; entrambi dissero a Gödel di non parlarne durante l'esame.

Quanto invece successo, quando arrivarono in aula, è stato mostrato prima.

Né Gödel né i suoi amici hanno mai spiegato quale fosse la teoria, che da allora è stata chiamata la falla di Gödel.

Kurt Gödel ha esaminato attentamente le più di quattromila parole della Costituzione degli Stati Uniti e ha individuato un difetto logico.

Gli Stati Uniti sono stati la prima nazione la cui costituzione ha previsto una propria revisione. Senza l'articolo V, la Costituzione avrebbe molto probabilmente fallito la ratifica. Tutti sapevano che la Costituzione era imperfetta; L'articolo V lasciava socchiusa una porta costituzionale per rendere essa "più perfetta".

In ogni caso, negli Stati Uniti, è estremamente difficile modificare la Costituzione.

La Costituzione degli Stati Uniti è stata riscritta tre volte: nel 1791, i primi dieci emendamenti; dopo la guerra civile e più recentemente, con la ratifica di alcuni emendamenti.

La falla di Gödel in realtà è una versione costituzionale dell'idea che, se il genio della lampada ti offrisse tre desideri, dovresti iniziare desiderando altri desideri.

Articolo V: la disposizione di modifica non vieta di modificare l'articolo V stesso.

È molto difficile ratificare un emendamento costituzionale, ma se un presidente riuscisse ad accumulare abbastanza potere e ad accumulare abbastanza seguaci, potrebbe ottenere la ratifica di un emendamento che riveda il meccanismo stesso dell'emendamento. Se un articolo V rivisto rendesse possibile a un Presidente di emendare la Costituzione per decreto (ad esempio, "Il Presidente, ogni volta che lo riterrà necessario, apporterà emendamenti a questa Costituzione, che saranno validi a tutti gli effetti, come parte di questa Costituzione"), potrebbe trasformare una democrazia in una dittatura senza far nulla di incostituzionale.

Dopo l'udienza

Torniamo a quanto scritto da Morgenstern nel suo memorandum, dopo l'udienza: "Partimmo, tornammo a Princeton, e quando arrivammo all'angolo di Mercer Street, chiesi a Einstein se volesse andare all'Istituto o a casa". Risposta: "Portami a casa, il mio lavoro non vale più nulla". […] "Poi via di nuovo a casa di Einstein". Quando raggiunsero la casa,  Einstein si voltò verso Gödel e disse:

 

Einstein:      "Ora Gödel, questo è stato il tuo penultimo esame"
Gödel:         "Santo cielo, ce n'è ancora un altro in arrivo?"
Einstein:      "L'esame successivo è quando entri nella tomba"
Gödel:         "Ma Einstein, non devo entrare nella tomba" 

Einstein:      "È solo uno scherzo!"

"Detto questo, se ne andò. Ho accompagnato Gödel a casa. Tutti erano sollevati che questa formidabile faccenda fosse finita: Gödel aveva di nuovo la testa libera per affrontare problemi di filosofia e di logica". — Oskar Morgenstern

Gödel’s Constitutional Quarrel. The Gödel Essays | by Jdennysmess | Medium

XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America - Wikipedia

Oskar Morgenstern's account of Kurt Gödel's naturalization

Falla di Gödel - Wikipedia

In conclusione, aggiungo una nota in merito alle regole di rielezione alla carica di Presidente degli Stati Uniti.

Franklin Delano Roosevelt  (30 gennaio 1882 –  12 aprile 1945) fu eletto 4 volte ed ebbe una durata del mandato di 12 anni, dal 4 marzo 1933, al 12 aprile 1945.

Roosevelt trascorse i mesi precedenti alla Convenzione nazionale democratica del 1940 rifiutandosi di comunicare se avrebbe richiesto un terzo mandato. Quando iniziò la convention, inviò un messaggio dicendo che si sarebbe candidato solo se fosse stato scelto, affermando che i delegati erano liberi di votare per chi volevano. Questo messaggio fu interpretato come la volontà di essere nominato e fu rinominato al primo scrutinio. Roosevelt ottenne una vittoria decisiva sul repubblicano Wendell Willkie, diventando l'unico presidente a superare gli otto anni di mandato. La sua decisione di cercare un terzo mandato dominò la campagna elettorale. Willkie si oppose al mandato presidenziale a tempo indeterminato, mentre i democratici citarono la Guerra in Europa come motivo per rompere con i precedenti.

Quattro anni dopo, Roosevelt affrontò il repubblicano Thomas E. Dewey nelle elezioni del 1944. Verso la fine della campagna elettorale, Dewey annunciò il suo sostegno a un emendamento costituzionale per limitare i presidenti a due mandati. Secondo Dewey, “quattro mandati, o sedici anni, un riferimento diretto al mandato del presidente di lì a quattro anni, sono la minaccia più pericolosa alla nostra libertà mai proposta”. Con discrezione sollevò anche la questione dell'età del presidente. Roosevelt emanava energia e carisma sufficienti per conservare la fiducia degli elettori e fu eletto per un quarto mandato.

Sebbene durante la campagna elettorale avesse smentito le voci sulla sua cattiva salute, la salute di Roosevelt stava peggiorando. Il 12 aprile 1945, solo 82 giorni dopo il suo quarto insediamento, fu colpito da un'emorragia cerebrale e morì, succeduto dal vicepresidente Harry Truman. Alle elezioni di metà mandato del 1946, 18 mesi dopo, i repubblicani presero il controllo della Camera e del Senato. Poiché molti di loro avevano fatto campagna elettorale sulla questione del mandato presidenziale, dichiarandosi a favore di un emendamento costituzionale che limitasse la durata del mandato presidenziale, la questione ebbe la priorità nell'80° Congresso quando si riunì nel gennaio 1947.

Il XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America limita il numero di volte in cui una persona può essere eletta alla carica di Presidente degli Stati Uniti a due mandati e stabilisce ulteriori condizioni di eleggibilità per i Presidenti che succedono ai mandati non scaduti dei loro predecessori. Il Congresso approvò il Ventiduesimo Emendamento il 21 marzo 1947 e lo sottopose alle legislature statali per la ratifica. Il processo si è concluso il 27 febbraio 1951, quando 36 stati su 48 hanno ratificato l'emendamento e le sue disposizioni sono entrate in vigore in quella data.

Roosevelt sostenne anche, a partire dal 1942, lo sviluppo e la costruzione delle prime bombe atomiche della storia dell'umanità che verranno impiegate dal suo successore Harry Truman sulle città di Hiroshima e Nagasaki.

Zibaldone Scientifico: 197. Tempo: 9.192.631.770

244. Buchi Neri

“Gli aerei stanno al cielo, come le navi al mare”

Renoir  -  Francesco De Gregori

Qualche settimana fa è stato dato l’annuncio che l’Event Horizon Telescope, un gruppo di otto radiotelescopi che opera su scala planetaria, ha fornito la prima prova visiva diretta mai ottenuta di un Buco Nero e della sua ombra, posizionato nel cuore di Messier 87, un’enorme galassia situata nel vicino ammasso della Vergine. In una serie di sei articoli di “The Astrophysical Journal Letters”, l’immagine rivela un Buco Nero supermassiccio con una massa pari a 6,5 miliardi di volte quella del Sole e che dista dalla Terra 55 milioni di anni luce.

https://www.media.inaf.it/2019/04/10/prima-foto-buco-nero/

Quando parliamo di un Buco Nero di questa massa di cosa stiamo parlando?

Ad esempio la massa del pianeta Terra è 5,97 × 10²⁴ kg (diametro di 12.750 km), mentre quella del Sole è 1,99 × 10³⁰ kg (diametro 1,39 × 10⁶ km); il rapporto tra i valori delle 2 masse è facile da ricordare: 333.333. 

Dalla seguente tabella, si può notare che il diametro del BN è direttamente proporzionale alla sua massa; se il Sole diventasse un BN avrebbe un raggio di 2,95 km; moltiplicando quest’ultimo valore per il numero di masse solari (M_o) si ottiene il raggio del BN.
La massa di Sgr A (il Buco Nero situato al centro della nostra galassia) è 4,31 × 10⁶  M_o ed infine quella del BN di M87 citato all’inizio è pari a 6,5 × 10⁹  M_o (1,29 × 10⁴⁰ kg).

Questo perché il Raggio di Schwarzschild è direttamente proporzionale alla sua massa:

dove G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² / kg²   è la costante di gravitazione universale.

Il Buco Nero di M87 che ha una massa 6,5 miliardi di masse solari ha quindi un R_S di circa 20 miliardi di km (127 Unità Astronomiche). Plutone all’afelio si trova a circa 49,3 UA, per cui il Sistema Solare potrebbe essere comodamente contenuto nel Buco Nero di M87.

Il Raggio di Schwarzschild R_S è la distanza alla quale la velocità di fuga è pari a c (velocità della luce).

Nel post 86. Velocità di fuga, si è parlato della legge di Titius-Bode, una formula empirica che descrive con buona approssimazione i valori dei semiassi maggiori a delle orbite dei pianeti del sistema solare (espressi in Unità Astronomiche) e viene espressa con la semplice formula:

                                                   ( 3n + 4 ) / 10

dove n assume i valori  0, 1, 2, 4, 8, 16, …

Di questa semplice progressione geometrica, la scala logaritmica riesce a darne una bella rappresentazione grafica:

dove a 1 troviamo per definizione la Terra e a circa 10 Saturno. Come detto prima, a 127 possiamo posizionare l’orizzonte degli eventi del Buco Nero di M87.

Ma qual è la densità media di un Buco Nero?

Per i Buchi Neri di "piccole" dimensioni, la densità media all'interno dell'orizzonte degli eventi è incredibilmente elevata (vedi la prima tabella) e ai confini del Buco Nero si hanno forze di marea superiori a mille miliardi di volte la forza gravitazionale. Però (in modo abbastanza sorprendente) la densità media diminuisce drasticamente per i Buchi Neri massicci.Un BN di 387 milioni di masse solari avrebbe la densità media dell'acqua e sarebbe paragonabile a un gigantesco pallone d'acqua che si estende dal Sole fino quasi a Giove.Un BN di 11 miliardi di masse solari avrebbe la densità media dell'aria e sarebbe analogo ad un gigantesco pallone aerostatico 2,5 volte più grande dell’orbita di Plutone.La densità di massa media nello spazio stesso, per quanto piccola, alla fine può diventare un BN a bassa densità.Se la densità media dell'Universo corrispondesse alla densità critica di soli 5,67 atomi di idrogeno per metro cubo, si formerebbe un Buco Nero a bassa densità di circa 13,8 miliardi di anni luce, corrispondente al modello del Big Bang dell'Universo. Un BN può utilizzare la rotazione e/o la carica elettrica per evitare il collasso. Le forze gravitazionali diventano trascurabili per i grandi Buchi Neri a bassa densità.

Così si può vivere in un grande BN a bassa densità senza nemmeno accorgersene. 
Mi fermo qui e lascio fantasticare il lettore...

Unità Astronomica U.A. (distanza Terra - Sole): 149.597.870 km = 8,5 minuti luce

Anno luce (distanza percorsa dalla luce in un anno): 9.460 miliardi di km = 63.300 U.A.

Parsec: 3,262 anni luce = 30.860 miliardi di km = 206.000 U.A.
Velocità della luce: 299.792 km/sec

http://www.astrosurf.com/cosmoweb/documenti/numeri.html

http://edu.inaf.it/index.php/immagine_infinito/raggio-di-schwarzschild/
https://it.wikipedia.org/wiki/Galassia_Virgo_A
http://zibalsc.blogspot.com/2011/11/86-velocita-di-fuga.html

https://www.tutto-scienze.org/2016/06/il-non-carnevale-della-fisica-15.html

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=74584660