242. Fotoni Virtuali

La legge di gravitazione universale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

La legge dell'inverso del quadrato si applica generalmente quando una forza, energia o altre grandezze conservative è irradiata ugualmente da una sorgente puntiforme nello spazio tridimensionale. Poiché la superficie di una sfera (che vale 4 π r² ) è proporzionale al quadrato del raggio, man mano che la radiazione emessa si allontana dalla sorgente, è diffusa su un'area che aumenta in proporzione col quadrato della distanza dalla sorgente e così l'intensità della grandezza irradiata risulta inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente.

Il teorema di Gauss si applica (e può essere utilizzato) con ogni grandezza fisica che si comporta secondo una legge dell'inverso del quadrato.

https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_dell%27inverso_del_quadrato

Se consideriamo 2 particelle cariche identiche (ad esempio 2 elettroni) si osserva che si respingono e si può pensare che l’interazione avvenga tramite lo scambio di una particella: il fotone. Si dice che vale la seguente analogia: se due persone a bordo di due barche in quiete si scambiano un pallone, le barche si allontaneranno lentamente tra loro. Nel caso dei 2 elettroni l’analogo del pallone è il fotone. Ovviamente è solo un modello e un elettrone in quiete non può emettere un fotone reale, perchè ciò violerebbe la conservazione dell’energia.

Se invece consideriamo un fotone virtuale, questo è creato e distrutto, così non sappiamo se esiste o no; il tempo in cui questo fotone può esistere senza che si possa rivelare si ottiene dal:

          Principio di indeterminazione di Heisenberg.

 

 

http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Quantum/virtual_particles.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Static_forces_and_virtual-particle_exchange

https://en.wikipedia.org/wiki/Virtual_particle

https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb%27s_law

http://zibalsc.blogspot.com/2012/03/101-la-carica.html

 

Si noti che l’elettrone deve rimanere se stesso, in particolare deve conservare in ogni istante il suo spin semintero (fermione); la particella scambiata deve perciò avere spin intero: è quindi un bosone (i mediatori delle forze hanno spin 1, eccetto il gravitone che ha spin 2). Dal ragionamento fatto in precedenza abbiamo ottenuto che le forze dovute a scambio di particelle virtuali di massa nulla decrescono con la distanza R come F ∼ 1/R². Viceversa, partendo dall’ipotesi che la dipendenza della forza dalla distanza sia del tipo 1/R², si ottiene che la particella virtuale scambiata nell’interazione elettromagnetica deve avere massa nulla. La particella virtuale scambiata può perciò essere identificata con il fotone, quanto reale del campo elettromagnetico. Siccome la forza gravitazionale ha una dipendenza dalla distanza del tipo 1/R², anche il gravitone dovrebbe avere massa nulla.

S. Braibant, G. Giacomelli, M. Spurio - Particelle e interazioni fondamentali - Springer-Verlag Italia

La legge di Newton può essere ricavata anche dalle equazioni del campo di Einstein, qui di seguito viene riportato un estratto del libro :

L. D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976

http://zibalsc.blogspot.com/2014/11/166-la-formula-piu-bella.html

 

224. Statistiche

I mesi di settembre ed ottobre del 1927 furono un periodo ricco di incontri e scambi di idee che hanno contribuito alle scoperte della fisica del ventesimo secolo.

Per celebrare Alessandro Volta nel primo centenario della morte, venne organizzato, nella sua città natale Como, un Congresso internazionale destinato a diventare un evento estremamente significativo nella storia della fisica moderna. Aperto l'11 settembre da Quirino Majorana, presidente dalla Società italiana di fisica e zio di Ettore, si concluse il 27 settembre. In un momento nel quale la meccanica quantistica va definendo le basi di una nuova visione del mondo, sono invitati a Como tutti i protagonisti di quello straordinario fermento. Solo Albert Einstein non partecipa, per la sua ferma opposizione al governo italiano.

Dei 61 partecipanti, alcuni sono giovanissimi: Wolfgang Pauli ha 27 anni, Werner Heisenberg, Enrico Fermi e Franco Rasetti ne hanno 26, Paul Adrien Maurice Dirac 25, Emilio Segrè 22. Sono presenti molti premi Nobel per la fisica: Niels Bohr (1922), William Lawrence Bragg (1915), Arthur Compton (1927) James Franck (1925), Hendrik Antoon Lorentz (1902), Guglielmo Marconi (1909), Robert Andrews Millikan (1923), Max Planck (1918), Max von Laue (1914), Pieter Zeeman (1902), oltre ai premi Nobel per la chimica Francis William Aston (1922) e Ernest Rutherford (1908). I presenti che presero il Nobel successivamente furono: Max Born (1954) e Otto Stern (1943), oltre ai già citati Heisenberg (1932), Dirac (1933), Fermi (1938), Pauli (1945) e Segrè (1959). 

Fermi, Heisenberg e Pauli

 https://it.wikipedia.org/wiki/Congresso_internazionale_dei_fisici_del_1927

 

Un mese dopo, più o meno gli stessi fisici si riunirono a Bruxelles dal 24 al 29 ottobre 1927 per il quinto Congresso Solvay, il cui titolo era: Elettroni e fotoni. Benjamin Couprie, fotografo ufficiale dei congressi Solvay, ne immortalò i partecipanti:

Auguste Piccard, Émile Henriot, Paul Ehrenfest, Édouard Herzen, Théophile de Donder, Erwin Schrödinger, Jules-Émile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Ralph H. Fowler, Léon Brillouin, Peter Debye, Martin Knudsen, William Lawrence Bragg, Hendrik Anthony Kramers, Paul Dirac, Arthur Compton, Louis de Broglie, Max Born, Niels Bohr, Irving Langmuir, Max Planck, Marie Curie, Hendrik Antoon Lorentz, Albert Einstein, Paul Langevin, Charles Eugène Guye, Charles Thomson Rees Wilson, Owen Willans Richardson.
 

 http://zibalsc.blogspot.it/2011/11/85-congressi-solvay.html

L’aspetto che voglio però mettere in risalto qui di seguito, è come nei pochi anni che precedettero il 1927, alcuni giovani fisici, siano riusciti a formulare i concetti che stanno alla base della meccanica quantistica e della fisica atomica, e per farlo comincio da una delle pietre miliari della fisica. Il principio di esclusione di Pauli venne enunciato nel 1925 per la spiegazione della struttura atomica, ma successivamente trovò un inquadramento nella teoria quantistica assiomatica. Dall’inizio degli anni venti erano alla ricerca di un modello teorico che, partendo dal modello atomico di Bohr per l’atomo di idrogeno, riuscisse a spiegare le osservazioni sperimentali. Nel 1922 Pauli, su invito di Bohr, si recò a Copenaghen per dedicarsi all’effetto Zeeman anomalo, che consisteva nella separazione di un livello energetico in un multipletto, a seguito dell’applicazione di un campo magnetico. Dopo accurata analisi, Pauli arrivò alla conclusione che sembrava necessario associare all’elettrone una nuova proprietà fisica a 2 valori non prevista in precedenza. Nel 1925 George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit introdussero l’ipotesi che l’elettrone ruotasse intorno al proprio asse con un momento angolare intrinseco che fu chiamato spin.

Ma veniamo alle varie statistiche

Da un punto di vista classico, la meccanica statistica permette di poter caratterizzare lo studio di un sistema con un numero di particelle non interagenti molto grande, dell'ordine del numero di Avogadro, attraverso grandezze macroscopiche, come temperatura, energia libera, pressione o volume.

Il problema principale della meccanica statistica consiste nella ricerca della legge di distribuzione per un sistema che si trovi ad una temperatura assegnata. Questo problema ha avuto per la prima volta una soluzione parziale da parte di Maxwell (gas costituito da molecole puntiformi), la soluzione generale è stata ricavata da Boltzmann. Senza entrare troppo nei dettagli, lo stato di ciascuna molecola si può rappresentare come un punto in un opportuno spazio delle fasi (che di solito rappresenta tutte le possibili posizioni e velocità di ogni molecola). Se pensiamo di suddividere lo spazio delle fasi in tante cellette, aventi lo stesso ipervolume di dimensioni opportune, e di segnare in questo spazio tutti i punti che rappresentano gli stati in cui si trovano le varie molecole ad un certo istante, con un calcolo probabilistico si può ricavare la legge di densità che determina direttamente la distribuzione statistica delle molecole. Come anticipato sopra questo fu ricavato da Maxwell e Boltzmann nella seconda metà del diciannovesimo secolo.

La statistica di Bose-Einstein e la statistica di Fermi-Dirac sono approssimate dalla statistica di Maxwell-Boltzmann nel caso in cui siano coinvolte alte temperature o relativamente basse densità. Poiché la densità di occupazione degli stati dipende dalla temperatura, si hanno comportamenti diversi tra alta e bassa temperatura. Ad alta temperatura la maggior parte dei sistemi si colloca entro i limiti classici, ovvero le differenze sono trascurabili a meno che essi abbiano una densità molto alta, come ad esempio in una stella nana bianca.

Dopo più di 40 anni, lo studio di particelle come fotoni (che seguono la statistica di Bose-Einstein, da cui bosoni) e elettroni (che seguono la statistica di Fermi-Dirac, da cui fermioni) portarono al concetto di particelle identiche. I bosoni, contrariamente ai fermioni, non seguono il principio di esclusione di Pauli: cioè un numero illimitato di bosoni può occupare lo stesso stato energetico contemporaneamente. In fisica statistica particelle identiche (o indistinguibili) sono particelle che non possono essere per principio distinte le une alle altre. Questo fatto ha importanti conseguenze in meccanica statistica. Infatti in meccanica statistica ci si basa su argomenti probabilistici che a loro volta sono influenzati dal fatto che gli oggetti studiati siano identici o invece esista la possibilità, almeno in linea di principio, di riuscire a distinguerli. Come conseguenza, particelle identiche manifestano un comportamento sensibilmente differente da particelle che possano essere distinte.

La statistica di Bose-Einstein è particolarmente utile nello studio dei gas, a differenza della statistica di Fermi-Dirac, utilizzata più spesso nello studio degli elettroni nei solidi. Per questi motivi esse costituiscono la base della teoria dei semiconduttori e dell'elettronica.

La statistica di Bose-Einstein è stata introdotta nel 1920 da Satyendra Nath Bose per i fotoni ed è stata estesa agli atomi da Albert Einstein nel 1924. La statistica di Fermi-Dirac venne introdotta nel 1926 da Enrico Fermi e Paul Dirac.

Fino al 1930 erano conosciute solo 3 particelle: elettrone, protone e fotone; inoltre dovrà passare molto tempo perché si arrivi a comprendere la connessione tra spin e statistica, la risposta fu data da Pauli nel 1940: sono bosoni le particelle con spin intero o nullo, mentre sono fermioni quelle con spin semi-intero.

Facciamo qualche esempio

2 particelle A e B possono trovarsi in 2 celle differenti: abbiamo quindi 4 casi differenti per la statistica di Boltzmann, 3 per quella di Bose–Einstein e 1 solo caso per la statistica di Fermi-Dirac. 

 

Dalla figura si vede che è impossibile avere 2 fermioni nella stessa cella (principio di esclusione di Pauli), mentre la probabilità di avere 2 bosoni nella stessa cella è addirittura maggiore, cioè i fotoni hanno la tendenza a restare uniti.


Qui di seguito un esempio con 3 celle (nel caso di particelle identiche, vengono chiamate entrambe A). 

https://en.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80%93statistics_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_mechanics

https://en.wikipedia.org/wiki/Edmund_Clifton_Stoner

http://www.fabiograzioso.net/notes.html

 

 

1887 Heinrich Rudolf Hertz scopre l’effetto fotoelettrico

1896 Wilhelm Conrad Röntgen scopre i raggi X

1900 Max Planck enuncia la legge della radiazione del corpo nero

1905 Albert Einstein fornisce la spiegazione dell’effetto fotoelettrico

1911 Jean Perrin prova l’esistenza di atomi e molecole

1913 Niels Bohr presenta il suo modello atomico

1917 Albert Einstein introduce l’idea che porterà allo sviluppo del laser

1922 Arthur Compton dimostra l’aspetto corpuscolare dei fotoni

1924 Louis de Broglie suggerisce che l’elettrone può avere un aspetto ondulatorio

1924 Satyendra Bose e Albert Einstein introducono la statistica di Bose–Einstein

1925 Wolfgang Pauli enuncia il principio di esclusione per l’elettrone

1925 George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit postulano lo spin dell’elettrone

1925 Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan formulano la meccanica quantistica delle matrici

1926 Erwin Schrödinger formula la meccanica quantistica ondulatoria e ne prova l’equivalenza con la meccanica quantistica delle matrici

1926 Enrico Fermi scopre la connessione tra spin e statistica

1926 Paul Dirac introduce la statistica di Fermi–Dirac

1927 Werner Heisenberg enuncia il principio di indeterminazione

1927 Max Born interpreta la natura probabilistica della funzione d’onda

1928 Paul Dirac formula la teoria relativistica dell’equazione d’onda quantistica

1932 James Chadwick scopre il neutrone

1932 Carl D. Anderson scopre il positrone

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_atomic_and_subatomic_physics

https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_particle_discoveries

http://atomictimeline.net/

 

201. Bokeh e Convoluzione

In questo periodo dell’anno capita di dover scattare qualche foto, e le luci di un albero di Natale possono essere un ottimo sfondo per realizzare foto originali.

Probabilmente avrete tutti visto o scattato qualche foto ove lo sfondo risulti “sfocato”.

Giusto per farsi un’idea, una foto di questo tipo:
 

Tratta da:  Kevin & Amanda

Ecco, questo è un tipico esempio di Bokeh.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera, potete venire a sapere che: “Bokeh è un termine del gergo fotografico derivato dal vocabolo giapponese "boke", che significa "sfocatura" oppure "confusione mentale". A partire dalla metà degli anni novanta, si è affiancato all'uso terminologico tradizionale di espressioni come contributo delle aree fuori fuoco o resa dello sfocato.” ed inoltre “Il concetto di bokeh risulta legato alla nozione di profondità di campo e con delle lenti adatte, l'effetto "sfocato" si può ottenere ricorrendo a un basso rapporto focale; le ottiche migliori per esaltare il bokeh sono i teleobiettivi e gli obiettivi per macrofotografia.” ed infine “Dal punto di vista matematico, la sfocatura di una fotografia può essere descritta come la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma.”

La convoluzione è un importante concetto matematico; si tratta di un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell’integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Capisco che questo possa non risultare di facile ed immediata comprensione, ma anche in questo caso se andate a leggere la relativa voce di Wikipedia, potete trovare un paio di esempi molto esplicativi (uno è riportato nella nota in fondo al post).

Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Ad esempio, in acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro, mentre, nel nostro caso, in ottica, una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma; il termine fotografico per tale effetto, è, come detto sopra, Bokeh.

Dati una lente ed uno schermo posizionati ad una certa distanza, esiste una determinata posizione ove si deve posizionare un oggetto, perché la proiezione della sua immagine risulti a fuoco sullo schermo. Se l’oggetto risulta più vicino o più lontano, una sorgente puntiforme avrà una forma circolare (sfocata).

Se ci limitiamo al caso di oggetti posizionati sullo sfondo (più distanti) ci troveremo nella situazione rappresentata in figura: 

Ogni singolo cammino ottico passante da uno dei 4 punti (A,B,C,D) avrà come punto finale la corrispettiva lettera, cioè se avessimo un’immagine posizionata sulla lente, una volta proiettata sullo schermo, risulterebbe capovolta.

Di norma l’unica immagine posizionata vicino alla lente è la forma del diaframma. E’ per questo motivo che molte volte le luci sullo sfondo hanno forma esagonale.

Ma se vogliamo dare a queste luci un contorno che permetta di scattare foto originali, possiamo procedere come descritto in questo sito.

Ritagliate in un cartoncino una stella (o la figura che preferite) e trovate il modo di posizionarlo sull’obiettivo (avendo il diaframma impostato con un’apertura maggiore di quello della stella).

Potrete così ottenere immagini come queste:

Un esempio analogo di sagoma posta sulla lente è il Segnale di Batman:
 

Nota sulla convoluzione

I fotoni emessi da una sorgente puntiforme posta in un piano fuori fuoco, non arrivano tutti nello stesso punto dello schermo, ma entro un disco circolare che dipende dalla posizione dell’oggetto e dal diametro della lente.

Come mostrato in figura, se la base del cono B si sposta in alto o in basso, la sorgente entra ed esce dalla base del cono:

Nel nostro caso abbiamo considerato una sorgente puntiforme, ma se questa avesse una dimensione finita ci troveremmo nella stessa situazione mostrata nella pagina di Wikipedia:

Per una sorgente puntiforme ideale, una delle 2 funzioni può essere considerata come una Delta di Dirac.

Anche la Media Mobile può essere vista come un caso particolarmente semplice di convoluzione.

http://www.kevinandamanda.com/whatsnew/tutorials/photography-tutorials/must-get-christmas-pictures-before-the-tree-comes-down.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Bokeh

https://it.wikipedia.org/wiki/Categoria:Trasformate_integrali

 

http://www.dpreview.com/challenges/Challenge.aspx?ID=1744&View=Results&Rows=4&Page=1

 

183. Eclissi

Il 20 marzo 2015 c’è stata un’eclissi di Sole (parziale in Italia).

Iniziata attorno alle 9.20, con un massimo alle 10.20, e terminata alle 11.20 circa.

L’eclissi totale è avvenuta alla latitudine dell’Islanda, nell’Italia del Nord si è avuto un massimo del 70% e via via sempre meno spostandosi verso Sud fino ad un occultamento del disco solare del 50% in Sicilia.

Molte altre informazioni relative a questa eclissi potete trovarle ad esempio:

http://eclipse.gsfc.nasa.gov/eclipse.html

http://calgary.rasc.ca/sunmoon.htm#solar

 

Possiamo avere eclissi di Sole o di Luna; vediamo di cosa si tratta.

Secondo le attuali teorie, la posizione della Luna alla sua formazione era a un terzo dell’attuale distanza dalla Terra e un mese lunare durava solo 5 giorni. Ogni anno, però, questa distanza aumenta di 38 millimetri e come conseguenza si ha che la rotazione terrestre rallenta (176. Alla ricerca del tempo perduto - Il secondo in più).

 

 

Oggi il mese lunare è quasi sestuplicato e la distanza Terra-Luna è circa 400 volte inferiore a quella Terra-Sole.

La notevole coincidenza sta nel fatto che il diametro della Luna è proprio 400 volte più piccolo di quello solare! 

Durante una eclissi di Sole i 2 corpi celesti si sovrappongono quasi perfettamente.

 

In un altro post: 114. Cristoforo Colombo e l’eclissi di Luna  abbiamo visto come nel gravitare intorno alla Terra (nelle notti di plenilunio) la Luna può entrare nel cono d’ombra terrestre e come, in questo caso, si ha un’eclisse lunare, che risulta visibile da tutto l’emisfero notturno della Terra.

Ricordo che il numero massimo di eclissi in un anno è sette, in ragione di 2 eclissi lunari e 5 solari oppure 3 lunari e 4 solari e come questi casi siano abbastanza rari; infatti, di norma, ci sono 2 eclissi solari e 2 lunari per anno. Il numero minimo è 2 per anno (entrambi solari). Non possono mai avere luogo più di 3 eclissi lunari l’anno.

 

Nel suo movimento intorno alla Terra, ogni mese la Luna ha una fase di “Luna Piena” ed una di “Luna Nuova”. La prima (Piena) si ha quando Luna e Sole sono posizionati dalla parte opposta, mentre la seconda (Nuova) quando si trovano dalla stessa parte.

Con un breve ragionamento si può capire che con la Luna Piena si può avere quella che viene chiamata eclissi di Luna, mentre con la Luna Nuova si può avere l’eclissi di Sole:

  Allineamento              Luna                 Possibile Eclissi

Sole/Terra/Luna          Piena                 Eclissi di Luna

Sole/Luna/Terra          Nuova                Eclissi di Sole

 

La distanza tra la Terra e la Luna varia tra 405.500 km e 363.300 km, mentre la lunghezza del cono d’ombra lunare è mediamente di 374.000 km.

Quando la punta del cono d’ombra della Luna si trova in una posizione esterna alla Terra si ha una eclissi di Sole anulare.

 

Vediamo infine alcune peculiarità.

1)    Visti dalla Terra, i diametri angolari di Sole e Luna sono quasi equivalenti

	min	max
Sole	31' 29"	32' 33"
Luna	29' 56"	33' 29"

     e questo permette una quasi perfetta sovrapposizione tra i due.

2)    Per avere una eclissi i tre corpi devono essere allineati. Però il piano su cui orbita la Luna è inclinato rispetto a quello su cui orbita la Terra intorno al Sole. E quindi solo un mese ogni tanto accade che ci siano le condizioni per avere una eclissi.

3)    Quando la Luna è posizionata tra Sole e Terra, quest’ultima illumina la Luna con la propria luce riflessa rendendola grigio cenere; per questo motivo viene chiamata luce cinerea.

 

4)  Durante l’eclissi di Luna, la luce solare che attraversa l'atmosfera terrestre, viene deviata per rifrazione e raggiunge il nostro satellite conferendo ad esso una colorazione mutevole nel corso di una stessa eclissi: essa va dal rosso cupo fino al rosso arancio.

 

 

 

http://eclipse.gsfc.nasa.gov/eclipse.html

http://calgary.rasc.ca/sunmoon.htm#solar

http://en.wikipedia.org/wiki/Eclipse
http://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_eclipse
http://en.wikipedia.org/wiki/Solar_eclipse
http://it.wikipedia.org/wiki/Movimenti_della_Terra
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_solar_eclipses_in_the_21st_century
http://scienz1.blogspot.it/2015/03/selfie-con-leclissi-no-grazie.html