In
questo blog è già capitato diverse volte di parlare di poliedri (e iperpoliedri)
o delle loro sezioni:
5. Sezioni di Cubo
19. Ipertetraedro
21. Dodecaedro e Cubo
45. Solidi Platonici
94. Sezioni di ipercubo
131. Tesseratto
Nel
post 45 si sono visti brevemente i 5 solidi platonici e
qui di seguito verranno viste alcune motivazione del perché proprio 5.
Verranno
mostrati inoltre i collegamenti che consentono di mettere in relazione i vari
solidi.
Un
poliedro è, per definizione, un solido delimitato da un numero finito di facce
piane poligonali. E’ possibile costruire un numero infinito di strutture.
I
5 solidi platonici (tetraedro · cubo ·
ottaedro · dodecaedro · icosaedro), sono composti da poligoni regolari
congruenti (cioè sovrapponibili esattamente) e hanno tutti gli spigoli e i
vertici equivalenti.
La
dualità
poliedrale,
cioè la trasfigurazione di un poliedro
in un secondo poliedro che presenta
rispettivamente i vertici, gli spigoli e le facce corrispondenti alle facce,
agli spigoli e ai vertici del primo
e che presenta le conseguenti relazioni di incidenza fra questi tre tipi
di oggetti, è una involuzione che:
- trasforma tetraedri in
tetraedri e
- scambia cubi con ottaedri
e dodecaedri con icosaedri.
Poliedro
|
Vertici
|
Spigoli
|
Facce
|
Facce
per ogni
Vertice
|
||
 |
4
|
6
|
4
|
3
|
||
 |
8
|
12
|
6
|
3
|
||
 |
6
|
12
|
8
|
4
|
||
 |
20
|
30
|
12
|
3
|
||
 |
12
|
30
|
20
|
5
|
||
Questa trasfigurazione da un poliedro ad un altro può essere effettuata perché ad esempio cubo e ottaedro hanno lo stesso numero di spigoli, ma hanno il numero di vertici e di facce scambiato.
Più
precisamente, ad ogni vertice, spigolo o faccia del primo solido corrisponde
rispettivamente una faccia, spigolo o vertice del secondo, in modo che siano
preservate adiacenze e incidenze.
Un
poliedro regolare può essere costituito da triangoli, quadrati e pentagoni, ma
non esagoni, ecc. Questo perché su ogni vertice devono insistere almeno 3 facce
e nel caso dell’esagono con 3 poligoni si forma un angolo di 360 gradi, non
permettendo di formare un solido convesso.
Lo
stesso discorso vale per 4 quadrati e per 6 triangoli.
Quindi l’unico poligono che può avere più di 3 facce per ogni vertice è il triangolo.
Quindi l’unico poligono che può avere più di 3 facce per ogni vertice è il triangolo.
Il
quadrato, il cubo e gli ipercubi in n dimensioni, sono le
forme geometriche più intuitive. Se il lato di ogni faccia ha un valore
unitario, ogni superfice, volume, ecc. vale sempre 1. Inoltre tutti gli spigoli
sono ortogonali tra di loro.
Gli
altri solidi platonici possono essere costruiti partendo dal cubo.
E’
interessante vedere come.
Dal Cubo al Tetraedro e Dal Cubo all’Ottaedro
6 sono
le facce del cubo e 6 gli spigoli
del tetraedro.
Tracciando
in modo opportuno le 6 diagonali delle 6 facce, si ottiene un tetraedro.
6 sono le
facce del cubo e 6 i vertici dell’ottaedro.
Congiungendo
i punti centrali delle 6 facce del cubo (come in figura), si ottiene un ottaedro.
Dal Cubo al Dodecaedro
12
sono gli spigoli del cubo e 12 le
facce del dodecaedro.
Per
costruire un dodecaedro partendo dal cubo, cominciamo col mettere un tetto,
dove i segmenti di colmo e displuvio sono uguali a 0,618 L (lato del cubo).
Per
la precisione il rapporto tra i due segmenti è la ben nota Sezione Aurea.
Se ora costruiamo un tetto su ogni faccia del cubo otteniamo il dodecaedro cercato.
Dal Cubo all’Icosaedro
Un
icosaedro si può costruire partendo
dal suo duale dodecaedro, come
mostrato nella prima figura. Si può comunque ricavare dal cubo tracciando dei segmenti su ogni faccia come mostrato in
figura, unendoli in seguito in modo opportuno.
Anche
in questo caso il rapporto tra questi segmenti e il lato del cubo è ancora la Sezione Aurea.
Come
già ricordato nel post 45, in uno spazio a quattro dimensioni esistono 6
politopi regolari, mentre da cinque dimensioni in su ne esistono solamente 3
(gli analoghi di cubo, tetraedro regolare e ottaedro regolare).
Naturalmente
nello spazio bidimensionale i poligoni regolari sono invece infiniti.|
Dimensione
|
Numero di Politopi
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6+
|
3
|
http://www.qedcat.com/archive/169.html
http://cage.ugent.be/~hs/polyhedra/dodeicos.html
http://users.belgacom.net/gc169763/Platonic_Compounds/Platonic_Compounds.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Lista_dei_politopi_regolari
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