269. Rinascimento

 Qui se non mi sbrigherò, arriverà il Rinascimento e non ci sarà tempo che per dipingere! (Giullare) - Woody Allen: Tutto quello che avreste voluto sapere sul sesso (ma non avete mai osato chiedere)

 

A due passi dal Duomo di Milano si trova la via Falcone. Stretta e corta, meno di 100 metri.

Chi la percorre arrivando da via Mazzini, non la noterà nemmeno: a sinistra ci sono portici con negozi costruiti nel dopoguerra, mentre a destra un muro di mattoni e alcune vecchie case. Ma questa è una delle vie più vecchie di Milano e la storia è passata di qui.

Nell’anno 1242, all’inizio di via Falcone vi era un albergo con l’insegna del falcone. Più che un albergo era un ostello frequentato da avventori e prostitute. Bevitori e giocatori di dadi passavano le giornate sperperando i soldi che avevano.

Si racconta che nell’anno 1242 avvenne un fatto miracoloso che vide l'immagine della Vergine con Bambino, posta sulla via all’esterno del sacello di S. Satiro, sanguinare in seguito ad una coltellata infertale da un giovane squilibrato, tale Massazio da Vigolzone, che aveva perso tutto al gioco. L'immagine restò esposta all'esterno di S. Satiro, fino a quando, circa due secoli più tardi, fu decisa la costruzione di un tempio in cui ospitare l'opera. L'icona con la Vergine del Miracolo fu portata all'interno della chiesa e rimaneggiata nel XV secolo.

In fianco a S. Satiro vi era la Taverna della Lupa, che venne acquistata nel 1478 per creare lo spazio per l'edificazione della bramantesca S. Maria presso S. Satiro.

L'ingaggio del Bramante per la chiesa di S. Maria, commissionata dagli Sforza e dalla madre di Gian Galeazzo, Bona di Savoia, risale al 1480. La prima rivoluzione che introdusse appena giunto in cantiere fu la rotazione della pianta di 90°, rispetto ai primi progetti, cioè con l'altare maggiore verso via Falcone e l'ingresso verso l'attuale via Torino, per restituire gli spazi maggiori al pubblico in pellegrinaggio.

Il finto coro della chiesa di Santa Maria presso San Satiro è una struttura, realizzata in mattoni e decorata con terracotta e stucchi dipinti, creata per risolvere il problema della limitazione di una chiesa con pianta a T dando l'illusione dell'esistenza di una vera abside.

Tale struttura è contraddistinta da una volta con cassettoni a bassorilievo che incornicia la grande lunetta con raffigurato il Miracolo della Vergine pugnalata da Massazio. Sotto, sempre a bassorilievo, sono riprodotte tre campate con pilastri e archi che simulano l'esistenza di navate minori laterali concluse da un fondale al quale poggia il più recente altare che incornicia l'affresco duecentesco della Vergine con il Bambino.

Il finto coro della chiesa fu progettato e verosimilmente realizzato da Donato Bramante contemporaneamente all'intera costruzione dell'edificio, dunque fra il 1482 e il 1486. Infatti, la struttura della finta prospettiva simula un prolungamento della navata centrale con la presenza di tre campate, con pilastri e archi, e suggerisce l'esistenza di navate minori laterali per mezzo di un ordine minore: tutto ciò poteva essere stato pensato solo contemporaneamente alla progettazione e realizzazione di quelle che sono le reali navate della chiesa.

---

Durante il governo di Ludovico il Moro, Milano conobbe un vero e proprio periodo d'oro, con la presenza a corte di artisti come Leonardo e Bramante e matematici come Luca Pacioli.

Nel 1479 Ludovico Sforza ritorna a Milano e assume la reggenza del giovane nipote Gian Galeazzo Sforza, che era diventato duca di Milano dopo la morte del padre Galeazzo Maria assassinato nella chiesa di Santo Stefano.  Nel 1489 Ludovico assume definitivamente il potere e nel 1495 è incoronato in Duomo come duca di Milano. Dopo 4 anni, le truppe di Luigi XII re di Francia invadono Milano e Ludovico il Moro fugge a Innsbruck.

Nello stesso anno, Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia.

 

Nel 1823 Giuseppe Diotti (1779 – 1846) dipinse la famosa tela “La corte di Ludovico il Moro”, dove vengono rappresentati intellettuali e artisti chiamati da ogni parte d’Italia a contribuire al rinnovamento di Milano. Nel quadro viene raffigurato Leonardo da Vinci mentre mostra al duca il disegno dell’Ultima cena. Partendo da sinistra sono rappresentati:

·       il segretario di Stato, Bartolomeo Calco mentre entra nella stanza,

·       il ragazzo che apre la porta

·       il matematico Fra’ Luca Pacioli

·       Donato Bramante

·       il cardinale Ascanio Sforza

·       La duchessa Beatrice d’Este

·       Ludovico Sforza detto il Moro

·       il musico Franchino Gaffurio da Lodi

·       Leonardo da Vinci

·       il poeta Bernardo Bellincioni da Firenze

·       lo storico Bernardino Corio

Come anticipato, tra le prime opere in cui si misurò Donato Bramante per Ludovico il Moro ci fu la ricostruzione della chiesa di Santa Maria presso San Satiro. Fu progettato un corpo longitudinale a tre navate, con uguale ampiezza tra navata centrale e bracci del transetto, entrambi coperti da poderose volte a botte con cassettoni dipinti. L'incrocio dei bracci presenta una cupola, immancabile motivo bramantesco, ma l'armonia dell'insieme era messa a rischio dall'insufficiente ampiezza che, nell'impossibilità di estenderlo, venne "allungato" illusionisticamente, costruendo una finta fuga prospettica in stucco in uno spazio profondo meno di un metro, con tanto di volta cassettonata illusoria.

Leonardo da Vinci fu ospite di Milano in diversi periodi, in modo continuativo dal 1482 al 1499, e poi in varie occasioni tra il 1506 e il 1513.

Con il primo esempio di Curriculum Vitae, Leonardo si propose al signore della città come esperto di tecniche militari e in quell'occasione scrisse la famosa "lettera d'impiego" di nove paragrafi, in cui descriveva innanzitutto i suoi progetti di ingegneristica, di apparati militari, di opere idrauliche, di architettura, e solo alla fine, di pittura e scultura, di cui occuparsi in tempo di pace, tra cui il progetto di un cavallo di bronzo per un monumento a Francesco Sforza.

Più precisamente, la lettera, conservata nel Codice Atlantico, elenca tutte le sue competenze:

·      costruire ponti

·      togliere acqua dai fossati

·      “ruinare” rocche e fortezze

·      scavare cunicoli

·      costruire bombarde

·      costruire mortai

·      costruire imbarcazioni da guerra

·      costruire carri armati

Solo in coda, quando si dice la modestia, esibisce le sue doti di scultore, architetto e infine di pittore.

Altri esempi degni di nota, dove l’architettura modifica la percezione dello spazio, ingannando l’osservatore in merito alle reali dimensioni, sono, ad esempio, il Teatro Olimpico: un teatro progettato dall'architetto rinascimentale Andrea Palladio nel 1580, situato a Vicenza, e la galleria di Palazzo Spada, a Roma, realizzata da Francesco Borromini.

Le sette meraviglie prospettiche in architettura (didatticarte.it)

Santa Maria presso San Satiro - Divina Milano

Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento italiano - Wikipedia

Arte del Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento lombardo - Wikipedia

Sovrani di Milano - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 141. Regola del 72

 

1476    Galeazzo Maria Sforza è assassinato in S.Stefano

1476    Gian Galeazzo Maria succede al padre come sesto duca di Milano

1479    Ludovico il Moro rientra a Milano e assume la reggenza del nipote

1480    Bramante si trasferisce da Bergamo a Milano

1482    Leonardo giunge a Milano

1489    Ludovico il Moro assume il potere

1490    Isabella d’Aragona sposa il duca Gian Galeazzo (nipote di Ludovico)

1491    Beatrice d’Este sposa Ludovico il Moro

1495    Ludovico il Moro è incoronato in Duomo come duca di Milano

1495    Leonardo inizia i lavori al Cenacolo di Santa Maria delle Grazie

1499    Ludovico il Moro fugge a Innsbruck

1499    Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia

268. Falla di Gödel

 

Articolo V

Il Congresso, quando i due terzi di ciascuna Camera lo ritengano necessario, potrà proporre emendamenti a questa Costituzione o, su richiesta dei Legislativi dei due terzi dei vari Stati, potrà convocare una Convenzione per proporre emendamenti, che, in entrambi i casi, saranno validi ad ogni intento e proposito come parte di questa Costituzione quando ratificati dai Legislativi dei tre quarti dei diversi Stati, o da apposite Convenzioni nei tre quarti di essi, a seconda che l'uno o l'altro modo di ratifica sia proposto dal Congresso; con l'eccezione che nessun emendamento che sia fatto prima dell'anno 1808 potrà in qualsiasi modo incidere sulla prima e sulla quarta clausola della Sezione nona dell'articolo primo; e che nessuno Stato potrà, senza il suo consenso, esser privato della sua parità di suffragio nel Senato.

Nel 1947, Kurt Gödel, Albert Einstein e Oskar Morgenstern guidarono da Princeton a Trenton con l'auto di Morgenstern. I tre uomini, che erano fuggiti dall'Europa nazista e che erano diventati amici intimi all'Institute for Advanced Study, stavano andando in tribunale dove Gödel, un esule austriaco, avrebbe dovuto sostenere l'esame di cittadinanza statunitense, cosa che i suoi due amici avevano già fatto.

Tra le altre cose, Morgenstern aveva fondato la teoria dei giochi, Einstein aveva fondato la teoria della relatività e Gödel aveva rivoluzionato la matematica e la filosofia con i suoi teoremi di incompletezza.

Kurt Gödel e Albert Einstein a Princeton. Fotografia scattata da Oskar Morgenstern

Oskar Morgenstern e Kurt Gödel a Princeton. Fotografia scattata da Albert Einstein

Morgenstern guidava. Gödel si sedette dietro. Einstein, davanti con Morgenstern, si voltò e disse, scherzando:

"Ora, Gödel, sei davvero ben preparato per questo esame?"

Gödel sembrava colpito.

Secondo Morgenstern, lo scopo di Einstein nel chiedere questo era quello di innervosire Gödel, la cui reazione lo divertì.

In tribunale

I testimoni normalmente rimanevano fuori dalla stanza durante un esame di cittadinanza, ma poiché Einstein era coinvolto, e poiché il giudice, Phillip Forman, aveva prestato giuramento di cittadinanza a Einstein, tutti e tre gli uomini furono invitati a presentarsi.

Durante l'esame, Forman chiese a Gödel la storia del governo austriaco: 

Examiner:    "Now, Mr. Gödel, where do you come from?"
Gödel:         "Where I come from? Austria."
Examiner:    "What kind of government did you have in Austria?"
Gödel:         "It was a republic, but the constitution was such that it finally was changed into a dictatorship."
Examiner:    "Oh! This is very bad. This could not happen in this country."
Gödel:         "Oh, yes. I can prove it."

In sintesi: era una repubblica, ma la costituzione era tale che alla fine cambiò in una dittatura; il giudice commentò che ciò non poteva accadere negli Stati Uniti e Gödel rispose "Oh, sì, posso provarlo", ma il giudice rifiutò di approfondire la questione.

Per prepararsi al test di cittadinanza, sapendo che gli sarebbero state poste domande sulla Costituzione degli Stati Uniti, Gödel si era dedicato allo studio della storia americana e del diritto costituzionale. Più e più volte, aveva telefonato a Morgenstern con il panico crescente per l'esame. Morgenstern lo rassicurò che "al massimo potrebbero chiedersi che tipo di governo abbiamo". Ma Gödel si arrabbiò sempre di più. Alla fine, come ricordò in seguito Morgenstern, "mi disse piuttosto eccitato che guardando la Costituzione, con sua angoscia, aveva trovato alcune contraddizioni interne e che poteva mostrare come in modo perfettamente legale sarebbe stato possibile per qualcuno diventare un dittatore e instaurare un regime dittatoriale, mai voluto da coloro che hanno redatto la Costituzione". Aveva trovato un difetto logico.

Morgenstern parlò ad Einstein della teoria di Gödel; entrambi dissero a Gödel di non parlarne durante l'esame.

Quanto invece successo, quando arrivarono in aula, è stato mostrato prima.

Né Gödel né i suoi amici hanno mai spiegato quale fosse la teoria, che da allora è stata chiamata la falla di Gödel.

Kurt Gödel ha esaminato attentamente le più di quattromila parole della Costituzione degli Stati Uniti e ha individuato un difetto logico.

Gli Stati Uniti sono stati la prima nazione la cui costituzione ha previsto una propria revisione. Senza l'articolo V, la Costituzione avrebbe molto probabilmente fallito la ratifica. Tutti sapevano che la Costituzione era imperfetta; L'articolo V lasciava socchiusa una porta costituzionale per rendere essa "più perfetta".

In ogni caso, negli Stati Uniti, è estremamente difficile modificare la Costituzione.

La Costituzione degli Stati Uniti è stata riscritta tre volte: nel 1791, i primi dieci emendamenti; dopo la guerra civile e più recentemente, con la ratifica di alcuni emendamenti.

La falla di Gödel in realtà è una versione costituzionale dell'idea che, se il genio della lampada ti offrisse tre desideri, dovresti iniziare desiderando altri desideri.

Articolo V: la disposizione di modifica non vieta di modificare l'articolo V stesso.

È molto difficile ratificare un emendamento costituzionale, ma se un presidente riuscisse ad accumulare abbastanza potere e ad accumulare abbastanza seguaci, potrebbe ottenere la ratifica di un emendamento che riveda il meccanismo stesso dell'emendamento. Se un articolo V rivisto rendesse possibile a un Presidente di emendare la Costituzione per decreto (ad esempio, "Il Presidente, ogni volta che lo riterrà necessario, apporterà emendamenti a questa Costituzione, che saranno validi a tutti gli effetti, come parte di questa Costituzione"), potrebbe trasformare una democrazia in una dittatura senza far nulla di incostituzionale.

Dopo l'udienza

Torniamo a quanto scritto da Morgenstern nel suo memorandum, dopo l'udienza: "Partimmo, tornammo a Princeton, e quando arrivammo all'angolo di Mercer Street, chiesi a Einstein se volesse andare all'Istituto o a casa". Risposta: "Portami a casa, il mio lavoro non vale più nulla". […] "Poi via di nuovo a casa di Einstein". Quando raggiunsero la casa,  Einstein si voltò verso Gödel e disse:

 

Einstein:      "Ora Gödel, questo è stato il tuo penultimo esame"
Gödel:         "Santo cielo, ce n'è ancora un altro in arrivo?"
Einstein:      "L'esame successivo è quando entri nella tomba"
Gödel:         "Ma Einstein, non devo entrare nella tomba" 

Einstein:      "È solo uno scherzo!"

"Detto questo, se ne andò. Ho accompagnato Gödel a casa. Tutti erano sollevati che questa formidabile faccenda fosse finita: Gödel aveva di nuovo la testa libera per affrontare problemi di filosofia e di logica". — Oskar Morgenstern

Gödel’s Constitutional Quarrel. The Gödel Essays | by Jdennysmess | Medium

XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America - Wikipedia

Oskar Morgenstern's account of Kurt Gödel's naturalization

Falla di Gödel - Wikipedia

In conclusione, aggiungo una nota in merito alle regole di rielezione alla carica di Presidente degli Stati Uniti.

Franklin Delano Roosevelt  (30 gennaio 1882 –  12 aprile 1945) fu eletto 4 volte ed ebbe una durata del mandato di 12 anni, dal 4 marzo 1933, al 12 aprile 1945.

Roosevelt trascorse i mesi precedenti alla Convenzione nazionale democratica del 1940 rifiutandosi di comunicare se avrebbe richiesto un terzo mandato. Quando iniziò la convention, inviò un messaggio dicendo che si sarebbe candidato solo se fosse stato scelto, affermando che i delegati erano liberi di votare per chi volevano. Questo messaggio fu interpretato come la volontà di essere nominato e fu rinominato al primo scrutinio. Roosevelt ottenne una vittoria decisiva sul repubblicano Wendell Willkie, diventando l'unico presidente a superare gli otto anni di mandato. La sua decisione di cercare un terzo mandato dominò la campagna elettorale. Willkie si oppose al mandato presidenziale a tempo indeterminato, mentre i democratici citarono la Guerra in Europa come motivo per rompere con i precedenti.

Quattro anni dopo, Roosevelt affrontò il repubblicano Thomas E. Dewey nelle elezioni del 1944. Verso la fine della campagna elettorale, Dewey annunciò il suo sostegno a un emendamento costituzionale per limitare i presidenti a due mandati. Secondo Dewey, “quattro mandati, o sedici anni, un riferimento diretto al mandato del presidente di lì a quattro anni, sono la minaccia più pericolosa alla nostra libertà mai proposta”. Con discrezione sollevò anche la questione dell'età del presidente. Roosevelt emanava energia e carisma sufficienti per conservare la fiducia degli elettori e fu eletto per un quarto mandato.

Sebbene durante la campagna elettorale avesse smentito le voci sulla sua cattiva salute, la salute di Roosevelt stava peggiorando. Il 12 aprile 1945, solo 82 giorni dopo il suo quarto insediamento, fu colpito da un'emorragia cerebrale e morì, succeduto dal vicepresidente Harry Truman. Alle elezioni di metà mandato del 1946, 18 mesi dopo, i repubblicani presero il controllo della Camera e del Senato. Poiché molti di loro avevano fatto campagna elettorale sulla questione del mandato presidenziale, dichiarandosi a favore di un emendamento costituzionale che limitasse la durata del mandato presidenziale, la questione ebbe la priorità nell'80° Congresso quando si riunì nel gennaio 1947.

Il XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America limita il numero di volte in cui una persona può essere eletta alla carica di Presidente degli Stati Uniti a due mandati e stabilisce ulteriori condizioni di eleggibilità per i Presidenti che succedono ai mandati non scaduti dei loro predecessori. Il Congresso approvò il Ventiduesimo Emendamento il 21 marzo 1947 e lo sottopose alle legislature statali per la ratifica. Il processo si è concluso il 27 febbraio 1951, quando 36 stati su 48 hanno ratificato l'emendamento e le sue disposizioni sono entrate in vigore in quella data.

Roosevelt sostenne anche, a partire dal 1942, lo sviluppo e la costruzione delle prime bombe atomiche della storia dell'umanità che verranno impiegate dal suo successore Harry Truman sulle città di Hiroshima e Nagasaki.

Zibaldone Scientifico: 197. Tempo: 9.192.631.770

267. Teorema del panino al prosciutto

Considerate una focaccina rotonda al prosciutto: una fetta di pane, una di prosciutto e un’altra fetta di pane. Per dividere a metà le 3 fette con un coltello, basta che il taglio passi per il centro delle circonferenze. E se le 3 fette non fossero correttamente impilate? O peggio, se aveste urtato il panino e una fetta di pane fosse rimasta sul tavolo, il prosciutto sulla sedia e l’altra fetta sul pavimento?

Anche in questo caso la geometria ci assicura che un singolo taglio (cioè, un singolo piano), potrà ancora dividere perfettamente in due tutti e tre i pezzi, lasciando esattamente metà del prosciutto e metà di ciascuna fetta di pane su entrambi i lati del taglio. Questo perché il “teorema del panino al prosciutto” asserisce che per tre oggetti qualsiasi (potenzialmente asimmetrici) in qualsiasi orientamento, c’è sempre un piano che può dividerli tutti simultaneamente in due parti uguali.

In due dimensioni, si possono disegnare due forme qualsiasi e ci sarà sempre una linea retta (unidimensionale) che taglia entrambe perfettamente a metà.

Per garantire un taglio uguale per tre oggetti, dobbiamo passare alle tre dimensioni e tagliare con un piano bidimensionale.

In uno spazio quadridimensionale, un panino al prosciutto con quattro ingredienti può essere diviso in due con un taglio tridimensionale. 

Per avere un'idea di come dimostrare il teorema del sandwich al prosciutto, si consideri una versione semplificata: due forme 2D, una un cerchio e l'altra con forma qualsiasi. Una linea che passi attraverso il centro di un cerchio lo dividerà in due (utilizziamo un cerchio per rendere le cose più facili). Scegliamo ora una linea attraverso il centro del cerchio che non intersechi l’altra figura. Il 100% della figura si trova, ad esempio, sotto la nostra linea. Ora ruotando lentamente la linea attorno al centro del cerchio, questa ne taglierà una percentuale sempre minore e, alla fine, arriverà allo 0%. Da questo possiamo dedurre che deve esserci un momento in cui il 50% della massa si trova sotto la linea. Stiamo passando gradualmente ma continuamente dal 100% allo 0%, il che significa che a un certo punto saremo esattamente al 50%.

The Strangely Serious Implications of Math's 'Ham Sandwich Theorem' | Scientific American

In questo caso esiste una linea che divide in due simultaneamente le nostre forme (sebbene non ci dica dove si trova quella linea). Si basa sul fatto che ogni linea che passa per il centro di un cerchio lo divide in due; quindi, possiamo ruotare liberamente la nostra linea e concentrarci sulla figura senza preoccuparci di trascurare il cerchio. Due forme asimmetriche richiedono una versione più sottile della nostra tecnica, e l’estensione alle tre dimensioni implica argomenti più sofisticati.

Il teorema del panino al prosciutto, noto anche come teorema di Stone-Tukey, afferma che dati n oggetti in uno spazio n-dimensionale, di forme, dimensioni e posizioni qualsiasi, esiste sempre un iperpiano (n-1)-dimensionale in grado di bisecarli tutti simultaneamente. Esempi pratici del teorema:

- Fisica: tre nuvole di gas nello spazio, il teorema assicura che esiste sempre un piano che divide esattamente metà della massa di ciascuna nuvola su ciascun lato del piano.

- Statistica: tre distribuzioni di dati in uno spazio tridimensionale, il teorema garantisce che esiste un piano che divide equamente i dati di ciascuna distribuzione.

Si tratta di un importante risultato topologico noto anche come corollario al teorema di Borsuk-Ulam: per ogni funzione continua che mappa la superficie di una sfera in uno spazio Euclideo, esistono due punti diametralmente opposti sulla sfera che vengono mappati nello stesso punto.

Un esempio classico si ha in dimensione 2 (sulla superficie di una sfera); supponiamo che la funzione rappresenti temperatura e pressione atmosferica in ogni punto della Terra. Il teorema di Borsuk-Ulam implica che esiste sempre una coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie terrestre che hanno esattamente stessa temperatura e pressione.

Il teorema di Borsuk-Ulam è strettamente connesso con il teorema del punto fisso di Brouwer. Entrambi appartengono al campo della topologia e condividono alcune idee fondamentali legate alla simmetria e alla continuità.

Un classico esempio del teorema del punto fisso di Brouwer (caso bidimensionale come un disco): data una funzione continua che "deforma" il disco senza sollevarlo dai suoi bordi, ci sarà sempre almeno un punto che rimane fisso.

I due teoremi sono collegati perché entrambi riflettono il comportamento di mappe continue e sono radicati in concetti di simmetria e compattezza.

Entrambi i teoremi hanno importanti applicazioni comuni nella matematica e nell'economia, dove concetti come l'esistenza di punti fissi (Brouwer) o l'equilibrio tra elementi (Borsuk-Ulam) sono utilizzati per risolvere problemi di ottimizzazione o di equità e sono esempi di come le proprietà topologiche degli spazi continui impongano restrizioni sulle mappe, garantendo l'esistenza di punti con proprietà particolari, come punti fissi o coppie di punti antipodali che si comportano allo stesso modo.

Il teorema di Brouwer ha risvolti semplici ma sorprendenti:

- mescolando una tazzina di caffè, in ogni momento almeno un punto del caffè si trova nel punto iniziale (anche se non possiamo sapere quale con esattezza),

- se si mette per terra una cartina stradale del posto in cui ci si trova (con qualsiasi scala), almeno un punto della cartina coinciderà con il luogo che rappresenta.

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)

 

Utilizzando una versione intuitiva del teorema di Borsuk-Ulam si può dimostrare che, per un escursionista che in un fine settimana sale ad un rifugio il sabato e torna per lo stesso sentiero la domenica partendo alla stessa ora, c'è sempre un punto in cui l’escursionista si troverà nello stesso posto alla stessa ora in entrambi i giorni.

Quindi la domanda è: esiste un momento in cui, in entrambi i viaggi, lo scalatore si trova esattamente nello stesso punto del sentiero alla stessa ora?

La risposta è sì. Possiamo immaginare di confrontare il percorso di salita e il percorso di discesa come due funzioni continue che descrivono la posizione dello scalatore lungo il sentiero in base al tempo.

La funzione, che misura la distanza tra la posizione dello scalatore durante la salita e quella durante la discesa in un dato momento della giornata, è continua e all'inizio della giornata (al momento della partenza) la distanza tra le posizioni è massima (uno sta al piede della montagna e l'altro alla cima). Alla fine della giornata (all'ora di arrivo), la distanza è ancora massima, ma opposta (uno è in cima e l'altro è al piede).

Essendo questa una funzione continua, per il teorema degli zeri si conclude che deve esistere almeno un momento della giornata in cui la distanza è zero. Cioè, in un certo istante, lo scalatore si trova nello stesso punto del percorso sia durante la salita che durante la discesa.

Quindi, indipendentemente dalla velocità con cui lo scalatore sale o scende, ci sarà sempre un punto lungo il sentiero in cui egli si troverà alla stessa ora sia durante il primo giorno (salita) che il secondo giorno (discesa).

Ancora più semplice, se due persone partono contemporaneamente dai due estremi, da qualche parte si incontreranno sicuramente. 

TESI TRIENNALE GIACOMO SARAGONI.pdf (unibo.it)

Teorema del panino al prosciutto - Wikipedia

Category:Fixed points (mathematics) - Wikipedia

Ham Sandwich Theorem -- from Wolfram MathWorld

Sandwich problem / Etudes // Mathematical Etudes

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)

Domanda: Che cosa è meglio, l’eterna felicità o un panino al prosciutto?

Sembrerebbe che fosse meglio l’eterna felicità, ma in realtà non è così!
Dopo tutto, niente è meglio dell’eterna felicità e un panino al prosciutto è certamente meglio di niente.
Quindi un panino al prosciutto è meglio dell’eterna felicità.

Tratto da Raymond M. Smullyan - Qual è il titolo di questo libro? – Zanichelli

266. Formule complesse

Il mio amico L. mi ha fatto conoscere questa equazione che mette in relazione le note costanti matematiche e, pi, i, per ricavare un’altra famosa costante:

il numero aureo φ =  1,61803398874989...

Come per l’identità di Eulero, anche in questo caso compaiono contemporaneamente nella stessa formula alcune delle più importanti costanti matematiche.

Per dimostrare la relazione dobbiamo cominciare dalla Sezione Aurea.

Si tratta di dividere un segmento AB in 2 parti (che chiameremo AC e CB) in modo tale che valga la proporzione continua AB : AC = AC : CB

Euclide usò questa formula lavorando sui pentagoni.

Poniamo il segmento più piccolo CB = 1 e AC = x, da cui AB = 1 + x 

La condizione richiesta è perciò: (1 + x) / x = x / 1

Quindi si ha x² – x – 1 = 0

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:

La Sezione Aurea fu il punto di partenza per lo studio greco dei pentagoni regolari e di tutto ciò che era associato ad essi, come ad esempio il decagono, il dodecaedro e l’icosaedro. Il decagono si può trovare nella base di molte caffettiere.

Come vedremo poi, se si disegna un pentagono regolare di lato 1, allora le diagonali hanno per lunghezza il numero aureo.

Il termine Sezione Aurea è relativamente recente e pare che fu usato per la prima volta da Martin Ohm (fratello del più famoso Georg Simon Ohm che ha dato il nome alla legge) nel suo libro del 1835.

 

Prima di vedere perché, rivediamo qualche nozione di trigonometria.

La trigonometria studia i triangoli rettangoli a partire dai loro angoli. Il suo compito principale consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi del triangolo (lati, angoli, ecc.) per mezzo di speciali funzioni partendo da misure note.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno) vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale.

1)    Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.

2)    Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.

La formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero, dal nome del matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Wessel, Argand e Gauss.

La dimostrazione più diffusa è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

 

formula di Eulero:   e^ix = cos x + i sen x

la formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale: 

sen x = ( e^ix - e^-ix ) / 2i          cos x = ( e^ix + e^-ix ) / 2

 

Come noto, gli angoli possono essere espressi in diversi modi, i più utilizzati sono i gradi sessagesimali e i radianti. Di seguito, a seconda dello scopo, verranno presi in considerazione entrambi.

Mostriamo ora alcuni angoli notevoli: 30, 36, 45, 60 e 90 gradi.

In particolare, il seno (30°) = ½ (il cui quadrato è uguale a ¼); in modo analogo i quadrati del seno di 45, 60 e 90 gradi sono rispettivamente: 2/4, 3/4 e 4/4.

Un pentagono regolare di lato 1 (per es. DE) ha invece altre particolari proprietà e si può dimostrare che le diagonali (per es. AD) hanno lunghezza φ.

I 2 triangoli isosceli ADE e DCE sono simili per cui AD : DE = DE : CE

Ponendo AD = x  si ha:

x : 1 = 1 : (x – 1)          1 = x² – x          x² – x – 1 = 0

Per cui in analogia a quanto visto sopra: AD = φ

cioè, in un pentagono regolare di lato 1, le diagonali sono uguali a φ

Per il triangolo rettangolo ABC si può quindi ricavare:

cos 36° = AB / AC = φ / 2 = 0,809016994374945…

Combinando questo risultato con la funzione per il coseno, si ottiene l’enunciato iniziale:

Riporto in seguito altre formule notevoli:

 

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 90. Ottantanove bis (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 139. Sezione aurea immaginaria (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 146. Argomenti Complessi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 161. Guarda e dimmi (Look and Say) (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 177. Ottagoni e Sezione Aurea (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 228. Quasi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 229. Penrose (zibalsc.blogspot.com)

Golden ratio - Wikipedia

Generalizations of Fibonacci numbers - Wikipedia

Formula di De Moivre

Formula di Eulero - Wikipedia

Identità di Eulero

Piano complesso

Radice dell'unità

Rappresentazione dei numeri complessi

Storia dei numeri complessi

Calcinator™ Free Online Mobile Web Scientific Calculator: complex numbers, exponential trigonometric statistics hyperbolic and algebraic functions