In quanti modi 8 coristi possono
cambiare di posto, così da trovarsi ogni volta disposti in modo diverso?
(La risposta è: 8! = 40.320)
Ad ogni incontro si scattano una foto ricordo;
se si ritrovano tutte le sere, quante foto accumuleranno a fine carriera e quante
volte nelle foto avranno la stessa disposizione?
10.000 giorni sono all’incirca 27 anni e
20 settimane. Per superare 40.320 serate servono 110 anni e quindi difficilmente si ripeteranno 2
disposizioni uguali.
Impilando le fotografie di 80 anni
(quasi 30.000 con più di 800 rullini), si raggiungerebbe un’altezza di diversi
metri, ma se ogni foto avesse una risoluzione di 5 MPixel, potremmo
memorizzarle tutte in una scheda da 64GB (la storia di una vita memorizzata in
un piccolo chip).
Nel film Smoke, Auggie, il
protagonista interpretato da Harvey Keitel, ha una curiosa passione. Ogni
mattina alle otto precise esce dalla sua tabaccheria, piazza la macchina sul
treppiede e fotografa sempre lo stesso scorcio di Brooklyn. Auggie esegue
questa operazione con costanza per anni, estate e inverno, con la pioggia o con
il sole, catalogando le foto che conserva in diversi album.
Non è difficile immaginare come diverge il risultato aumentando il numero di
coristi. La Fisica risolve il problema introducendo concetti come Pressione e
Temperatura.
Le leggi della Termodinamica sono principi generali che hanno un contenuto macroscopico. In essi non compare nessun
riferimento esplicito agli atomi che compongono il sistema in esame, sono
quindi indipendenti dai possibili modelli microscopici
che possono rappresentare gli atomi e le molecole del sistema. Tali principi si
possono usare anche quando non si conosce nulla in riguardo alla composizione
atomica. E’ importante ricordare che le leggi della Termodinamica furono
introdotte molto prima che si stabilisse una teoria atomica della materia.
Se combiniamo i concetti statistici con
la conoscenza microscopica del sistema, la nostra possibilità di comprendere e
fare previsioni risulta molto accresciuta. Otteniamo così la disciplina della Meccanica statistica. Siamo quindi in
grado di calcolare le proprietà di sistemi macroscopici
sulla base di dati microscopici. E’
quindi possibile calcolare l’entropia
(misura del disordine presente in un sistema fisico) da principi primi. Ludwig Boltzmann ha sintetizzato questo nel principio:
S = k ln W
Nella termodinamica classica l'entropia S è una funzione di stato di un sistema in equilibrio
termodinamico, che, quantificando l'indisponibilità di un sistema a produrre
lavoro, si introduce insieme con il secondo principio della termodinamica.
L'approccio molecolare della meccanica statistica generalizza
l'entropia alle possibili diverse disposizioni W dei livelli molecolari in cui può trovarsi macroscopicamente un
sistema. In base a questa definizione si può dire, in forma non rigorosa, che
quando un sistema passa da uno stato di equilibrio ordinato a uno disordinato la sua entropia aumenta; questo fatto
fornisce indicazioni sulla direzione in cui evolve spontaneamente un sistema.
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| Tomba di Boltzmann |
“Tutto ciò che
esiste nell'universo è frutto del caso e della necessità” Democrito
Se con 8 coristi si possono ottenere le
combinazioni riportate sopra, possiamo immaginare che cosa sia possibile
ottenere con un coro composto da 7,4
miliardi di persone (attuale popolazione mondiale – 6 miliardi nel 2000).
Questo tipo di considerazioni, risultano però in contrasto con la Teoria del mondo piccolo che sostiene
che tutte le reti complesse presenti in natura sono tali che due qualunque nodi
possono essere collegati da un percorso costituito da un numero relativamente
piccolo di collegamenti. La sua nascita può essere fatta risalire ad una serie
di esperimenti condotti da Stanley Milgram che esaminavano la lunghezza media del percorso per reti sociali
tra residenti negli Stati Uniti.
Negli anni ’50 lo psicologo Milgram ideò
un esperimento interessante. Un centinaio di lettere dovevano essere inviate a
Boston da una cittadina del Nebraska senza usare la normale procedura postale,
ma con le seguenti regole: chi riceve una lettera per un destinatario a lui
sconosciuto può soltanto spedirla a un suo diretto conoscente, che proseguirà
con la stessa regola. Ad ogni passo la cerchia dei destinatari è limitata alle
conoscenze dirette del mittente, che sceglierà la persona che presumibilmente
più si avvicina al destinatario finale. Se questi per esempio è un medico o un
idraulico, cercherà un conoscente che rientra nella categoria, oppure cercherà
di far avanzare il messaggio geograficamente mandandolo al conoscente che abita
più vicino alla destinazione finale, o tutte due le cose assieme. Le due
località iniziale e finale furono selezionate da Milgram con l’intento preciso
che fossero estremamente diverse tra loro, come posizione geografica e
composizione sociale. I risultati furono sorprendenti: la maggioranza delle
lettere arrivò a destinazione, e ci arrivò con un numero medio di passaggi
decisamente basso. Milgram dimostrò che in
media 6 passaggi erano sufficienti per recapitare la lettera, e arrivò alla
conclusione che, secondo una relazione di conoscenza diretta, ogni persona
degli Stati Uniti è “separata” da qualsiasi altra soltanto da una catena di
relazione lunga 6. L’esperimento diventò molto famoso, tanto da ispirare anche
un pezzo teatrale, trasformato poi nel 1993 in un film dal titolo: Sei gradi di separazione.
A
volte il caso …
Tsutomu Yamaguchi stava scendendo dal tram ad Hiroshima il 6
agosto 1945 ed essendo sopravvissuto all’esplosione della bomba atomica,
denominata Little Boy, volle tornare subito nella sua città natale. Fu
accontentato e venne quindi riportato a Nagasaki; dove, dopo lo scoppio della
seconda bomba atomica, visse fino al 4 gennaio 2010. A ottant'anni scrisse
un'autobiografia riguardante la sua esperienza, e fu invitato a partecipare a
un documentario (nel 2006) intitolato Nijuuhibaku
(Bombardati due volte) sulle 165 persone ufficialmente vittime di entrambe le
bombe atomiche giapponesi. Fu un attivista anti-nucleare, e si prodigò presso
l'assemblea generale delle Nazioni Unite affinché le armi nucleari fossero
bandite. In una intervista disse: "La ragione per cui odio le bombe
nucleari è per ciò che fanno alla dignità degli esseri umani".
Il concetto di
entropia venne introdotto agli inizi
del XIX secolo, nell'ambito della termodinamica,
per descrivere una caratteristica (la cui generalità venne osservata per la
prima volta da Sadi Carnot nel 1824)
di tutti i sistemi allora conosciuti, nei quali si osservava che le
trasformazioni avvenivano spontaneamente in una direzione sola, quella verso il
maggior disordine.
In particolare
la parola entropia venne introdotta per la prima volta da Rudolf Clausius nel suo “Trattato sulla teoria meccanica del calore”
pubblicato nel 1864. Entropia deriva dal greco ἐν en, "dentro", e da τροπή tropé, "cambiamento".
Esistono diversi
enunciati equivalenti del Secondo
principio della termodinamica. Quelli che storicamente si sono rivelati più
importanti sono:
«È impossibile
realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire
calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l'apporto di lavoro
esterno» (formulazione di Clausius).
«È impossibile
realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la
trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea»
(formulazione di Kelvin-Planck).
«È impossibile
realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%.»
«È impossibile
realizzare il moto perpetuo.»
Nella Fisica
moderna la formulazione più ampiamente usata è quella che si basa sulla funzione entropia:
«In un sistema
isolato l'entropia è una funzione non decrescente nel tempo.»
Questo
principio ha avuto, da un punto di vista storico, un impatto notevole. Infatti,
tramite la non reversibilità dei processi termodinamici, definisce la freccia del tempo.
Boltzmann fu il primo a
mettere in relazione entropia e probabilità nel 1877, ma sembra che tale
relazione non sia mai stata espressa con una specifica costante finché Planck, nel 1900 circa, introdusse per
primo kB, calcolandone il valore preciso, e dandole il nome in onore
di Boltzmann.
Infatti
l'equazione S = kB log W
presente sulla tomba di Boltzmann è dovuta a Planck, che la introdusse nello
stesso articolo in cui introdusse la costante
di Planck h. Come Planck ha scritto nella sua Nobel
lecture nel 1920:
«Questa costante è spesso chiamata costante
di Boltzmann, sebbene, per quanto ne so, Boltzmann non l'ha mai introdotta —
una situazione particolare che può essere spiegata con il fatto che Boltzmann,
come risulta dalle sue esternazioni occasionali, non ha mai pensato alla
possibilità di effettuare una misurazione esatta della costante.»
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
F.Luccio - L.Pagli, Storia matematica della rete, Bollati Boringhieri, Torino, 2007
