Zibaldone Scientifico: 191. La Curvatura degli Ombrelloni

domenica 5 luglio 2015

191. La Curvatura degli Ombrelloni

Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.

John von Neumann

La matematica è una scienza a buon mercato. A differenza della fisica o della chimica, non richiede di particolari attrezzature, basta osservare ciò che ci sta intorno, e qualche cosa su cui congetturare si trova sempre.

Dopo la sosta al bar, sono andato in spiaggia e una delle prime cose che ho notato è stata la particolare forma degli ombrelloni.

E’ da diversi anni che volevo scrivere un post sulla loro forma e questi ultimi mi hanno proprio fornito lo spunto che cercavo.

Claude Perrault (1613-1688) è stato un medico (di professione) e architetto (per diletto) francese. Morì per un'infezione contratta dopo aver sezionato un cammello.

Malgrado si ritenesse un architetto dilettante, a lui si deve la facciata est del Louvre di Parigi.

Terzo in una famiglia di sette figli, ebbe una formazione enciclopedica, con la naturale curiosità e lo spirito critico dello scienziato.

Il fratello Charles fu uno scrittore, autore del celebre libro di fiabe Contes de ma mère l'Oye (it. I racconti di Mamma Oca), raccolta di undici fiabe fra cui Cappuccetto Rosso, Barbablù, La bella addormentata, Pollicino, Cenerentola e Il gatto con gli stivali.

Uno dei problemi che si pose Claude Perrault, giocando con il suo orologio da taschino posto sul tavolo e provando a trascinarlo per la catenella fu:

se trasciniamo un oggetto posto su un piano orizzontale con una corda, quale sarà il percorso dell’oggetto se l’altro capo scorre lungo una linea retta situata sullo stesso piano?

Non riuscendo a risolvere il problema, lo pose quindi all'amico Leibniz (1646-1716) all'epoca del suo soggiorno a Parigi (1672-1676), la soluzione che consiste nella determinazione della curva, venne pubblicata nel settembre del 1693.

La proprietà geometrica caratteristica della curva, è dunque che, in ogni suo punto, il segmento di tangente compreso tra il punto stesso e la retta fissa ha lunghezza costante uguale alla lunghezza della corda. Da tale proprietà se ne deduce l'equazione differenziale.

Per essere precisi, Leibniz cominciò a studiare la curva del moto, ma fu Huygens che riuscì a definirla con precisione. La curva venne chiamata Trattrice (dal latino tractrix, che deriva a sua volta da trahere, trainare).

Una sua proprietà è di avere come evoluta una Catenaria.

Trattrice con oggetto posizionato inizialmente nel punto (4,0)

L’area compresa tra la Trattrice (con lunghezza L della corda) e il suo asintoto è:

La rotazione della Trattrice intorno al proprio asintoto genera la Pseudosfera, che deve il nome al fatto che la sua curvatura è costante in ogni punto e opposta a quella della Sfera:

k = -1/L²

Tale superficie fu proposta da Eugenio Beltrami (1835-1900) come modello di geometria iperbolica nel 1868.

Essa, infatti, localmente soddisfa gli assiomi della geometria iperbolica, allo stesso modo di come la superficie di un Cilindro localmente è un modello equivalente ad un piano euclideo o la Sfera uno di geometria ellittica.

E’ importante sottolineare che la Pseudosfera possiede una curvatura negativa costante, cioè, in maniera analoga alla Sfera (anche se meno evidente), in ogni suo punto si ha lo stesso valore di curvatura.

Un altro esempio è la superficie di Dini che può essere vista come una "torsione" della Pseudosfera. Più precisamente, è una superficie ottenuta assegnando a una Trattrice un moto elicoidale intorno alla propria retta caratteristica. È quindi una superficie elicoidale. Per confronto, la Pseudosfera è ottenuta facendo ruotare una Trattrice intorno alla propria retta caratteristica, ed è quindi una superficie di rotazione.
Come la Pseudosfera, la superficie di Dini ha curvatura gaussiana costante negativa.

Superficie e Volume della Pseudosfera sono rispettivamente:

Per la sfera invece si ha (come noto):

La geometria piana di Euclide si basa su 5 postulati.

Il più famoso di questi è il quinto postulato:

“per un punto esterno ad una retta, si può condurre una sola parallela alla retta”.

Senza entrare nei dettagli, possiamo dire che se non si accetta il quinto postulato, si hanno 2 alternative, alle quali corrispondono 2 diverse geometrie non euclidee:

1. “non si può condurre alcuna parallela” (geometria ellittica)

2. “si possono condurre almeno 2 rette parallele” (geometria iperbolica)

Si distinguono 2 tipi essenziali di curvatura:

· curvatura estrinseca: è la curvatura posseduta dall'oggetto in relazione ad uno spazio piatto di dimensione superiore in cui è immerso e determinabile solo confrontando elementi dell'oggetto in relazione ad elementi dello spazio contenitore;

· curvatura intrinseca: è la curvatura determinabile utilizzando solo operazioni eseguite su elementi dell'oggetto medesimo.

Un esempio di curvatura estrinseca è quella di una superficie cilindrica nello spazio tridimensionale: le linee tracciate sul cilindro sono curve se confrontate con le rette dello spazio in cui il cilindro è immerso. La geometria intrinseca del Cilindro è invece piatta, in quanto su di essa valgono tutti gli assiomi del piano euclideo.

Come si è detto, un Cilindro ha curvatura intrinseca nulla.

ANDY WARHOL, Campbell’s Soup II, 1969, screenprint on woven paper, 88.9 × 58.4 cm. Copyright the Andy Warhol Foundation for the Visual Arts. Courtesy the Andy Warhol Museum, Pittsburgh.

Questo può essere facilmente compreso, pensando che una etichetta di un barattolo non è altro che un foglio rettangolare arrotolato.

http://artasiapacific.com/Magazine/82/TheLittleCanThatCould

Una Sfera ha invece una curvatura intrinseca, determinabile rimanendo all'interno della superficie stessa: sulla Terra, un percorso che parte dal polo nord scendendo lungo un meridiano, ruota ad angolo retto lungo un parallelo e nuovamente ad angolo retto lungo un altro meridiano, ritorna al punto di partenza.

Mentre un percorso analogo eseguito su un piano non ripassa per lo stesso punto.

Tornando all’ombrellone, possiamo provare a scomporlo in figure geometriche semplici; procedendo dal basso verso l’alto avremo così:

· il telo giallo costituente la parte più importante, che può essere pensato come una calotta sferica, la cui curvatura è quindi positiva

· il secondo telo che sembra riprodurre una Pseudosfera (curvatura negativa)

· a seguire una parte cilindrica, una pseudosferica e una sferica.

Si vede quindi che nello stesso oggetto si possono trovare diverse tipologie di superfici.

http://www.vialattea.net/curvatura/index.html

Un altro modo per descrivere la Trattrice, è quella di considerare un cane che viene trascinato dal suo padrone tramite un guinzaglio, lungo un percorso rettilineo: il cane percorrerà una Trattrice.