264. Caos & Feigenbaum

 Solo la gente mediocre non giudica dalle apparenze.

Il vero mistero del mondo è ciò che si vede, non l'invisibile… 

 Oscar Wilde, Il ritratto di Dorian Gray

Verso la metà degli anni ’70 venivano introdotte le prime calcolatrici scientifiche e molti calcoli complicati potevano così essere eseguiti in modo semplice e veloce. Una delle più economiche era la TI-30 che rimase in produzione dal 1976 per diversi anni, con una vendita di circa 15 milioni di unità.

Ne comprai una anch’io. Uno dei “giochi” era di inserire un numero e digitare la stessa funzione per molte volte: ad esempio inserendo 0.5 e pigiando il tasto cos, a un certo punto arriveremo a 0.7390851332… e successivamente otterremo sempre lo stesso valore. Questo vale anche inserendo un qualsiasi altro valore iniziale.

La cosa, di per sé, sembra solo una peculiarità della funzione coseno.

Ma non è così.

Negli stessi anni Mitchell Feigenbaum “giocava” anche lui con una calcolatrice e scopriva cose ben più interessanti. Se avessi moltiplicato per una costante k prima di schiacciare cos, mi sarei potuto accorgere, ad esempio, che per k > 1.33 non si ha una convergenza ad un singolo valore, ma un’oscillazione tra 2 valori.

Facciamo un passo indietro.

Tra il XVIII e il XIX secolo Thomas Malthus e successivamente Pierre Verhulst ipotizzarono che la popolazione di una specie in un certo anno fosse una funzione della popolazione dell’anno precedente.

Se la popolazione aumenta troppo, la mancanza di risorse tende a farla diminuire, ma se cala sotto un certo livello, tenderà ad aumentare nell’anno successivo.

La formula che rappresenta questa idea è nota con il nome di equazione logistica: 

x_n+1 = r x_n ( 1 – x_n )

 Feigenbaum studiò questa funzione e, nell'agosto del 1975, trovò per la prima volta 4.669, con 3 soli decimali a causa del limite dell'accuratezza della sua calcolatrice HP65, dopo aver passato un po’ di tempo a cercare di capire se si trattasse di una semplice combinazione di numeri "noti", non trovò nulla.

Ora il numero è "noto" e viene chiamato numero di Feigenbaum.

Il primo numero di Feigenbaum è definito come il limite del rapporto fra 2 intervalli successivi di biforcazione: δ = 4,66920160910299067185320382…

Indipendentemente dalla scelta di x₀ la successione converge a un’orbita stabile. I valori di questi punti di accumulazione si possono leggere sull’asse verticale del diagramma di Feigenbaum. A partire da r = 3.57 circa, comincia a succedere qualcosa di strano: il caos. Non ci sono più dei periodi riconoscibili e piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali producono valori estremamente diversi nella successione. Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Infatti esiste un legame tra il diagramma di Feigenbaum e l’insieme di Mandelbrot (che nasce dall’interazione z_n+1 = z_n² + c).

 

 

 Sull’asse reale gli sdoppiamenti dei periodi corrispondono ai valori del diagramma di Feigenbaum. 

http://www.fabioruini.eu/unimore/ttps/Mappa%20logistica.pdf

 Per differenti r, si possono osservare i seguenti comportamenti per n grandi.

Questo comportamento non dipende dal valore iniziale, ma solo da r :

·       Con r = 0 la popolazione diventa nulla alla prima iterazione.

·       Con r da 0 a 1 si ottiene sempre 0 dopo alcune iterazioni.

·       Con r tra 1 e 3, viene stabilito un certo limite. Questi limiti sono chiamati attrattori.

·       Con r tra 3 e 1 + √6 (circa 3,45), la sequenza commuta tra due attrattori per quasi tutti i valori iniziali (tranne 0, 1 e 1 - 1/r).

·       Con r tra 1 + √6  e circa 3,54, la sequenza commuta tra quattro attrattori per quasi tutti i valori iniziali.

·       Se r è maggiore di 3,54, arrivano 8 attrattori, quindi 16, 32 ecc.

·       Verso 3.57 inizia il caos.

Questa transizione dal comportamento convergente al raddoppio periodico al comportamento caotico è generalmente tipica dei sistemi non lineari che mostrano un comportamento caotico o non caotico in funzione di un parametro r.

Le transizioni per raddoppiare il periodo sono chiamate punti di biforcazione.

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Riassumendo.

La prima costante di Feigenbaum è definita come il limite del rapporto fra due intervalli successivi di biforcazione.

Nel caso della mappa logistica, inizialmente studiata da Feigenbaum:

δ = 4,66920160910299067185320382…

Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Tutti i sistemi caotici che seguono questa legge biforcano alla stessa velocità. La prima costante di Feigenbaum può essere usata per predire quando il caos sopraggiungerà nel sistema.

Per definire la seconda costante di Feigenbaum, per ciascun attrattore ciclico della cascata di biforcazioni si deve considerare il punto più vicino a x_m, indicato con d_n nel caso dell'attrattore di 2ⁿ punti. Si costruisce così la successione d_n e si definisce:

Sempre nel caso della mappa logistica:

α = 2,502907875095892822283902873218…

Il rapporto tra due intervalli di biforcazione successivi tende a δ, mentre il rapporto tra il più piccolo attrattore ad una biforcazione e il più piccolo attrattore alla biforcazione successiva tende ad α.

Queste costanti si applicano a una larga classe di sistemi dinamici.

Si ritiene, infatti non è stato ancora dimostrato, che esse siano trascendenti. 

https://www.researchgate.net/figure/Feigenbaum-graphs-from-the-Logistic-map-The-main-figure-portrays-the-family-of_fig5_51641487

Mitchell Feigenbaum (1944 - 2019) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

Chronology for 1970 - 1980 - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html

http://zibalsc.blogspot.it/2013/12/130-colosseo-e-stadi-ergodici.html

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per mandelbrot (zibalsc.blogspot.com)

http://www.bitman.name/math/article/485

https://www.google.it/search?q=web+diagram+logistic+map&client=tablet-android-samsung&prmd=ivn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjp0Zj9scvXAhUCQBQKHdr9AukQ_AUIEigB&biw=1280&bih=800#imgrc=DaUMimX7h5jiTM:&spf=1511134893215

http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

https://physics.info/

https://hypertextbook.com/chaos/

263. 4D

Questa volta provo a raccontare come cercare di immaginare un oggetto che si estende oltre la terza dimensione. Un bell’esercizio per cominciare, è capire come sarebbe la vita per un essere bidimensionale e come potrebbe immaginare una terza dimensione.

Un noto precedente è Flatlandia l’opera di Abbott, che non conobbe al momento della pubblicazione una gran fortuna; solo in seguito si vide riscoperta. Flatlandia fu riproposta all’attenzione del pubblico da una lettera pubblicata su «Nature» il 12 febbraio 1920 col titolo Euclide, Newton e Einstein. La lettera diceva fra l’altro:

“... Trent’anni o più or sono, il Dr. Edwin Abbott compose un piccolo jeu d’esprit intitolato Flatlandia. All’epoca della sua pubblicazione il libro non attirò tutta l’attenzione che avrebbe meritato. Il Dr. Abbott raffigura degli esseri intelligenti la cui esperienza è confinata a un piano, o a un altro spazio bidimensionale, e che non hanno facoltà di rendersi conto di quanto possa esistere al di fuori di quello spazio, né mezzi di uscire dalla superficie sulla quale vivono. Egli domanda quindi al lettore, che ha il concetto della terza dimensione, di immaginare una sfera che scenda sulla pianura della Flatlandia, attraversandola. Come considereranno un simile fenomeno gli abitanti?”

Verso la quarta dimensione e oltre

Uno spazio a dimensione zero può essere rappresentato da un punto, ad 1 dimensione da una linea e a 2 dimensioni può essere rappresentato da un piano.

Tre dimensioni su una superficie piana si possono disegnare con 2 quadrati e 4 linee diagonali che collegano i vertici. 

Possiamo immaginare un cubo, ma in realtà non è un cubo, come la pipa di Magritte che non è una pipa. Un cubo quadridimensionale (chiamato ipercubo o tesseratto), può essere “disegnato” in 3D con due cubi, collegando i vertici con 8 linee diagonali e questo ci può aiutare a capire il tipo di progressione in corso.

Premesso che è difficile "vedere" la quarta dimensione, l’uso del classico citato sopra può comunque essere un buon punto di partenza.

Nel 1884 Edwin Abbot nel suo libro parla di A. Square e del suo mondo, Flatlandia, che è semplicemente un piano piatto bidimensionale e A. Square è un ragazzo di forma quadrata che vive lì. Si può muovere in 2 dimensioni. Può andare a sinistra/destra e avanti/indietro; tuttavia, poiché è limitato al suo piano bidimensionale di Flatlandia, non può salire/scendere “fuori” dal piano.

Per analogia, noi umani siamo limitati al nostro “piano” e ci è impossibile muoverci liberamente nella quarta dimensione.

Ci tengo a sottolineare che sto parlando di dimensioni “spaziali”, per cui la dimensione “temporale” non viene presa in considerazione.

Torniamo di nuovo ad A. Square. Lui può vedere solo ciò che si trova nel suo piano, e questo significa che, se una sfera tridimensionale dovesse passare attraverso Flatlandia, A. Square non vedrebbe la sfera, ma solo "fette" bidimensionali. Andando oltre, immagina che se una sfera passasse a metà della Flatlandia ma si fermasse nel mezzo, la sfera intersecherebbe Flatlandia come un solo cerchio e A. Square potrebbe vederlo. Inoltre, se mentre la sfera si avvicina a Flatlandia, A. Square osservasse come la sfera si muove lentamente attraverso il suo piano. Cosa vedrebbe? Ricordiamo che A. Square può vedere solo fette 2D della sfera (o cerchi), quindi ciò che A. Square percepirebbe, sarebbe un cerchio che appare all'improvviso, poi cresce e quindi raggiunge una dimensione massima quando la sfera è a metà strada. Successivamente, il cerchio si restringerebbe fino a scomparire.

Ciò significa che gli oggetti 3D potrebbero essere spiegati a un essere 2D come un mucchio di "fette impilate" una sopra l'altra. Immaginate di prendere un mucchio di cerchi con diametri opportuni e impilateli. Formerebbero una struttura dell'immagine 3D reale. Allo stesso modo, se un’ipersfera 4D intersecasse il nostro spazio, vedremmo apparire dal nulla una sfera 3D che crescerebbe finché l'ipersfera non fosse a metà strada, poi si ridurrebbe al nulla. In teoria, potremmo impilare queste sfere per formare un'ipersfera, ma non possiamo “impilarle”, perché dovremmo “estenderla” nella quarta dimensione.

Se guardiamo un quadrato dall'alto su un piano bidimensionale, possiamo vedere l'intero oggetto con una vista d’insieme. Potremmo anche infilare il dito all'interno dell'oggetto senza toccarne i lati. Questa sarebbe un'esperienza strana per A. Square. La sua casa è un grande quadrato e non può semplicemente mettere il dito al centro della casa senza prima "entrare" da una porta su uno dei lati. Allo stesso modo, gli esseri quadridimensionali hanno la capacità di visualizzare un intero cubo con una vista d’insieme (cioè, tutte le 6 facce contemporaneamente e potremmo quindi parlare di “cubismo”). Gli esseri umani possono visualizzare solo metà del cubo in un dato istante. Inoltre, gli esseri quadridimensionali potrebbero facilmente mettere il dito all'interno di un cubo chiuso senza penetrarne i lati.

Altre curiosità riguardano le immagini speculari. Se in Flatlandia capovolgessimo A. Square, sarebbe l'immagine speculare di sé stesso.

È un po’ più complicato immaginare che un essere umano diventi un’immagine speculare di sé stesso capovolgendolo nella quarta dimensione.

Facciamo ora un esercizio.

Un cubo formato da 27 cubetti (3x3x3), come appare un cubo di Rubik, in 2D sarebbe un quadrato di 9 quadratini (3x3) e per immaginare il cubo, A. Square potrebbe pensarlo come 3 strati di quadrati “impilati”. Allo stesso modo noi possiamo pensare un ipercubo (3x3x3x3) come 3 strati di cubi “impilati”.

Proviamo ora a “disegnare” le stesse strutture “forate”.

Partiamo da una struttura estesa in 1 dimensione, 3 segmenti, ma per rappresentarli meglio, 3 cubi allineati:

Passiamo ora al 2D e aggiungiamo un’altra struttura identica con interposti 2 cubi (2¹):

In 3D aggiungeremo un altro quadrato forato con interposti 4 cubi (2²):

Per il 4D dovremmo aggiungere un altro cubo forato e 8 cubi (2³), qui metto solo l’ipercubo non assemblato (per un totale di 48 cubetti):

In generale in n dimensioni: 2^(n-1) (n+2) → 1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, …  A001792 - OEIS

Un cubo che attraversa un piano con una faccia parallela ad esso avrà come sezione un quadrato. Se invece lo attraversa con una diagonale maggiore perpendicolare ad esso, partendo da un vertice, si otterrà nell'ordine: un punto, dei triangoli e degli esagoni. In particolare, a metà percorso (baricentro del cubo) si avrà un esagono regolare.

Invece un ipercubo che attraversa il nostro spazio (con la diagonale maggiore perpendicolare) verrà visto in questo modo (vediamo qui 15 istantanee):

Zibaldone Scientifico: 94. Sezioni di ipercubo (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 131. Tesseratto (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 52. Cubo di Rubik (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 154. I (Noti) Solidi Platonici (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 243. Sezione di una spugna di Menger (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni (zibalsc.blogspot.com)

Introduzione a una quarta dimensione spaziale (dainoequinoziale.it)

Sezioni ipercubiche ortoassiali - Wikipedia

Espace à quatre dimensions — Wikipédia (wikipedia.org)

262. Spirali

Una spirale, in matematica, è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale, avvicinandosi (o allontanandosi) progressivamente.

In coordinate polari l’equazione più semplice si esprime come r = ϑ

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

La spirale archimedea:      r = a ϑ

La spirale di Fermat:          r = a ϑ^1/2

La spirale iperbolica:          r = a / ϑ

Il lituo:                                 r = a ϑ^-1/2

La spirale logaritmica:        r = a e^kϑ

La spirale di Cornu o clotoide 

Per una lista più completa vedete qui: List of spirals - Wikipedia

Cominciamo dal famosissimo nautilus, un mollusco cefalopode, la sua sezione longitudinale della casa del Nautilus è la perfetta rappresentazione di una spirale logaritmica, ovvero una spirale che ripete all’infinito le proporzioni della sezione aurea, proprietà fondamentale per molti fenomeni di accrescimento.

Esistono poi altre tipologie di spirali, tra cui la spirale di Archimede, la cui distanza tra una spira e la successiva è costante; ne sono un esempio le ammoniti.

Nel regno vegetale: nel disco centrale dei girasoli si avvitano due spirali, una in senso orario e l’altra in senso antiorario.

L’elenco potrebbe continuare per diversi ordini di grandezza dall’infinitamente piccolo, quali la doppia elica del DNA, all’infinitamente grande, quali le galassie dell’universo, passando per uragani e vortici marini.

Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi o nell'ordinamento delle scaglie dell'ananas o nella disposizione delle foglie dell'aloe.

Nei gasteropodi: lumache, chiocciole.

Nell’apparato uditivo la chiocciola o coclea ha questa forma. che permette di percepire le vibrazioni prodotte dalle onde sonore.

Un esempio particolare di spirale logaritmica è la spirale Aurea dove la struttura, ingrandita, o rimpicciolita, conserva lo stesso aspetto; questa può essere bene approssimata dalla spirale di Fibonacci.

Passiamo ora ad alcuni casi dove 2 o più spirali si avvolgono insieme.

Il condensatore elettrolitico, ad esempio, è composto da due lamelle definite armature. Queste sono divise da un materiale dielettrico o isolante e hanno polarità negative e positive. Quindi il condensatore è molto simile a una batteria e può mantenere una carica accumulata. Infine, questa struttura viene arrotolata per contenerne le dimensioni.

È probabile che gli studi di Leonardo da Vinci, che all'epoca della costruzione del castello di Chambord si trovava presso la corte di Francesco I, abbiano influenzato alcuni elementi architettonici: infatti alcuni suoi disegni rappresentano dei progetti di scale a doppia elica, che permettevano agli abitanti del palazzo di salire e scendere le scale senza mai incontrarsi, come succede nelle scale mobili di metropolitane e centri commerciali.

Ho tenuto per ultimo l’esempio più interessante: il disco multi-solco (o multisided record), un tipo di disco in vinile che ha più di un solco per lato. Questa tecnica permette di codificare tracce nascoste su LP, 45 giri e 78 giri, su un disco dotato di multi-solco, se l'ascoltatore riproduce la traccia principale o quella nascosta dipende solo da dove viene inserita la puntina.

L'esempio più citato è l’album Matching Tie and Handkerchief dei Monty Python, pubblicato nel 1973. Un lato dell'album (entrambi i lati erano etichettati "Lato 2") era "standard"; l'altro conteneva una coppia di solchi, ciascuno dei quali conteneva materiale diverso.

Un altro esempio memorabile di registrazione multi-solco è il disco flessibile del 1980 intitolato It's a Super-Spectacular Day pubblicato nel Super Special della mitica rivista MAD. Il disco riproduceva una sezione introduttiva standard sull'inizio di una giornata meravigliosa e "super-spettacolare", quindi produceva uno dei numerosi finali "cattivi" comici di quella giornata, coinvolgendo argomenti come il rapimento alieno, i brufoli, la violenza di strada e gli orrori di una suocera in visita. A metà disco, dopo l'allegra intro, i solchi extra prendevano il sopravvento. C'erano 8 scenari in totale e quello riprodotto dipendeva dal solco con cui la puntina entrava in contatto in modo totalmente casuale.

List of spirals - Wikipedia

Multisided record - Wikipedia

Fate as the DJ: Parallel Grooves | Kempa.com

https://www.reddit.com/r/Vinyl_Jazz/comments/k1pt41/parallel_grooves/?rdt=63556

Castello di Chambord - Wikipedia

Mathematical Spirals | Renaissance Universal (wordpress.com)

ajams7(2)66-76.pdf (arpgweb.com)

Zibaldone Scientifico: 222. Paralipomeni e DNA (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 225. Spirale di Teodoro (zibalsc.blogspot.com)

                                                       Lossodromia - Wikipedia

 

261. Doomsday

Il 2024 è un anno bisestile. Per definizione 1 anno ogni 4 lo è (a questa regola fanno eccezione gli anni “00”, in questi casi si applica lo stesso calcolo al secolo, per esempio, il 2000 è stato bisestile e il 2100 non lo sarà).

All’interno del secolo, abbiamo una ripetizione dello stesso calendario solo ogni 28 anni.

Per riutilizzare il calendario (o l’agenda) bisestile di quest’anno dovremo aspettare 28 anni, in questo secolo in totale 3 volte: 2024, 2052 e 2080.

Per essere precisi anche questi 3 anni avranno qualcosa di diverso: la data della Pasqua.

http://zibalsc.blogspot.it/2013/03/118-e-la-data-della-pasqua.html

Nel calendario gregoriano la Pasqua è una festività mobile e la sua data varia di anno in anno perché è correlata con il ciclo lunare.

La regola che fissa la data della Pasqua fu stabilita nel 325 dal Concilio di Nicea:

la Pasqua cade la domenica successiva alla prima luna piena dopo l'equinozio di primavera (il 21 marzo).

Di conseguenza essa è sempre compresa nel periodo dal 22 marzo al 25 aprile.

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Quest’anno il Doomsday sarà di Giovedì.

Come visto nel post 202 (e nei precedenti 30, 92, 109, 132 e 172) alcune date, semplici da ricordare, hanno in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday).

Questa regola è stata evidenziata dal matematico inglese John Horton Conway.

Quest'anno saranno Giovedì:

- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12

- nei mesi dispari il 7/3, il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

Per i mesi dispari si ha sempre che la differenza tra giorno e mese è uguale a 4.

In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche:

-       l’ultimo giorno di Febbraio (anche se l’anno è bisestile)

-       il 25 Aprile
-       Ferragosto       (15 Agosto)
-       Halloween        (31 Ottobre)
-       S.Stefano         (26 Dicembre)

 

Lo è anche l’anniversario della nascita di Albert Einstein (14 Marzo) famoso come Pi Day, giorno dedicato a pi greco, per la grafia anglosassone del numero 3.14

Anche il 26/12 compleanno di Conway è il giorno del Doomsday.

Uno dei metodi per calcolare il Doomsday è di sommare le ultime due cifre dell'anno al quoziente intero della loro divisione per 4; al risultato si deve sommare il coefficiente del secolo, che per il periodo dal 1900 al 1999 corrisponde a 3, mentre dal 2000 al 2099 è 2.

Ad esempio, per il 2024 si ottiene:

24 + int(24/4) + 2  =  24 + 6 + 2  =  32  (modulo 7)  =  4 (Giovedì)

http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_rule

http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/
http://rudy.ca/doomsday.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_della_Pasqua

Zibaldone Scientifico: 202. Doomsday 2016 e Calendari (zibalsc.blogspot.com)