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mercoledì 14 dicembre 2011

88. 10 libri (di scienza)

Il titolo dell’edizione di questo mese del Carnevale dei Libri di Scienza  è:
“10 libri da regalare per Natale”.  Viene ospitato da Gravità Zero e ad esser precisi il tema esatto e’:  il libro o i libri di scienza che vi hanno cambiato la vita e che regalereste al vostro migliore amico...”.

Premesso che la risposta dipende in modo rilevante dagli interessi del vostro miglior amico, restringere la scelta ad una sola decina non e’ semplice, ma se questa e’ la richiesta, dovrò escludere molti autori che avrei volentieri inserito in questa lista.
In seguito prenderò in considerazione 10 libri che trattano di astronomia, fisica e matematica, che forse non mi hanno cambiato la vita, ma che spero possano far riflettere chi li leggerà come hanno fatto riflettere me.

Per chi volesse vedere una più ampia bibliografia, può consultare i siti:



1)   il primo libro che regalerei e’:

Albert Einstein (curato da Enrico Bellone), Opere scelte, Bollati Boringhieri, 1988

 In 793 pagine Bellone ha raccolto, accanto ai lavori più classici di Einstein sulla relatività, scritti di fisica statistica e di meccanica quantistica, compreso il lavoro, condotto in collaborazione con Podolski e Rosen, che dà luogo all’antinomia "E.P.R." che sta alla base della discussa interpretazione della meccanica quantistica.
La raccolta degli scritti è divisa in sei parti. Nella prima parte si trova l'autobiografia del 1949. Nella seconda parte si trovano 15 scritti strettamente scientifici, che includono i saggi del 1905 sulla relatività ristretta e l'articolo del 1916 sulla relatività generale. La terza e quarta parte contengono rispettivamente scritti di divulgazione scientifica e di riflessione epistemologica. Le pagine dedicate a Politica e Società illustrano l'impegno civile di Einstein sono contenute nella quinta parte. L'ultima sezione del volume presenta un estratto dell'epistolario di Einstein.


    PARTE PRIMA    L'ITINERARIO INTELLETTUALE

    Autobiografia scientifica (1949)

    PARTE SECONDA    LA RICERCA

  1. La teoria molecolare generale del calore (1904)
  2. Un punto di vista euristico relativo alla generazione e alla trasformazione della luce (1905)
  3. Il moto delle particelle in sospensione nei fluidi in quiete, come previsto dalla teoria cinetico-molecolare del calore (1905)
  4. L'elettrodinamica dei corpi in movimento (1905)
  5. L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? (1905)
  6. La teoria della generazione e dell'assorbimento della luce (1906)
  7. La teoria planckiana della radiazione e la teoria dei calori specifici (1907)
  8. Lo stato attuale del problema della radiazione (1909)
  9. L'effetto della gravitazione sulla propagazione della luce (1911)
10. Lo stato attuale del problema dei calori specifici (1911)
11. I fondamenti della teoria della relatività generale (1916)
12. La teoria quantica della radiazione (1917)
13. Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale (1917)
14. La descrizione quantica della realtà può essere considerata completa? (1935)
15. La deflessione della luce nel campo gravitazionale di una stella fa agire quest'ultima come una lente (1936)

    PARTE TERZA    LA DIVULGAZIONE

    Relatività: esposizione divulgativa (1917/1950)

    Seguono 5 appendici
   
    PARTE QUARTA    LA CONOSCENZA FISICA

    PARTE QUINTA    POLITICA E SOCIETÀ

    PARTE SESTA   LETTERE

 1. A Michele Besso (1909-1954)
 2. A Max Born (1926-1954)
 3. A Maurice Solovine (1930-1952)

http://www.tecalibri.info/E/EINSTEIN-A_opere.htm


2)   Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, 1988


E’ un manuale Hoepli edito nel 1913, in cui sono raccolti e illustrati diversi problemi, riguardanti vari settori della matematica e della geometria.
Il libro spazia dai paradossi logici a quelli algebrici, dai percorsi minimi ai poliedri magici, dai problemi geometrici elementari ai rompicapo veri e propri, tutti adeguatamente risolti.

Il sottotitolo del libro è infatti: Problemi bizzarri - Paradossi algebrici e meccanici - Moto perpetuo - Grandi numeri - Curve e loro tracciamento meccanico - Sistemi articolati - Quadratura del circolo - Trisezione dell'angolo - Duplicazione del cubo - Geometria della riga e del compasso - Rompicapo geometrici - Iperspazio - Probabilità - Giochi - Quadrati - Poligoni e poliedri magici.

3)   Steven Weinberg, I primi tre minuti, Mondadori, 1977


Steven Weinberg racconta in modo chiaro i primi tre minuti dopo il Big Bang. Le ricche appendici raccolgono la parte teorica e le formule.
Premio Nobel per la fisica nel 1979 con Abdus Salam e Sheldon Glashov, grazie al suo contributo alla teoria dell'interazione elettrodebole, che presenta la forza elettromagnetica e quella nucleare debole come aspetti di una stessa forza che appaiono differenti in certe condizioni fisiche.
L'idea di scrivere il libro arrivò a Weinberg alla fine del 1973, dopo aver scritto il testo universitario Gravitation and Cosmology, e l'opera fu completata nel 1976.
I primi tre minuti non è solo una ricostruzione dei primi istanti dell’Universo, vengono spiegati tra l’altro: i comportamenti delle particelle fondamentali, la legge di Hubble, la radiazione di fondo, la teoria del corpo nero, lo spostamento verso il rosso, l'effetto Doppler ed i possibili scenari futuri.
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology - Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972


4)   Margherita Hack, L' Universo nel terzo millennio, Rizzoli, 2007


La bibliografia dell'autrice in cui scegliere e’ molto ampia e variegata, ma volendo sceglierne uno solo, questo e’ il libro scientifico che meglio racconta l’astronomia.
Margherita Hack accompagna il lettore in un viaggio nello spazio e nel tempo: dalle stelle vicine a noi alle più lontane galassie, dalla struttura complessa di oggi all'uniformità dell'Universo primordiale.

5)   Lucio Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti, 1983

Il libro, in sole 143 pagine, spazia da Aristotele, ai paradossi dell'infinito potenziale, agli infinitesimi di Torricelli, alla teoria dei numeri e degli insiemi ed alla classificazione e misura dei transfiniti operata da Cantor, fino alle antinomie di Russel. Un buon punto di partenza per questi argomenti ed un ottimo modo di approcciare l’infinito …

6)   James Gleick, Caos - La nascita di una nuova scienza, Rizzoli, 2000


James Gleick  prende in considerazione gli aspetti fondamentali della teoria del Caos come la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, gli attrattori strani, le connessioni con la teoria dell'informazione e le connessioni con l'insieme di Mandelbrot.
In 350 pagine viene raccontata tutta la storia di scienziati, fisici, matematici, biologi, meteorologi, fisiologi e psicologi, che hanno permesso di confluire in uno studio sistematico degli aspetti di rilevanza pratica dei sistemi non lineari.
Leggendo questo libro si comprende perché lo studio del Caos possa essere così utile nella conoscenza della realtà.




7)   Mario Livio, L’equazione impossibile, Rizzoli, 2005


I protagonisti del libro di Mario Livio sono due geni vissuti all'inizio dell'Ottocento e morti giovanissimi, il norvegese Abel e il francese Galois. Entrambi dimostrarono che non poteva esistere una formula per risolvere le equazioni di quinto grado o superiori. Gli strumenti matematici utilizzati portarono alla formulazione della teoria dei gruppi.
È una storia che parte dagli egizi e dai babilonesi, risolutori delle equazioni di primo e di secondo grado, e prosegue nel Rinascimento italiano, in cui Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Ludovico Ferrari arrivarono a risolvere quelle di terzo e quarto grado.

http://www.tecalibri.info/L/LIVIO-M_equazione.htm





8)   Benoît B. Mandelbrot, Gli oggetti frattali, Einaudi, 1987



Dal retro di copertina della prima edizione italiana del 1987:
“L'indagine della natura ha trovato un nuovo codice interpretativo nella matematica. Una decina di anni fa Benoît B. Mandelbrot ha descritto in termini grafici forme e processi naturali, quantificando il loro grado di «erraticità» attraverso rigorosi metodi matematici. Nasceva quella branca della matematica che Mandelbrot ha chiamato «geometria dei frattali». A differenza della geometria euclidea, cosi rigida nel rappresentare il mondo visibile, e così lontana dal poter raffigurare le forme reali, la geometria dei frattali è capace di rappresentare i profili di una montagna o di una costa, le nuvole, le strutture cristalline e molecolari, e addirittura le galassie. La parola «frattali» definisce una rappresentazione grafica composta di linee spezzate (dal latino «fractus»), dall'andamento apparentemente irregolare, che sono in sostanza delle strutture matematiche, capaci di esprimere comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli.
In questo volume, che si presenta riveduto e aggiornato rispetto alle edizioni originali francesi, è lo stesso Mandelbrot a presentare la propria teoria, che si è dimostrata così fertile di applicazioni in ogni campo della ricerca scientifica e tecnologica, aprendo tra l'altro nuove frontiere alla computer graphics.
Il volume rappresenta dunque un punto di partenza essenziale tanto per chi vuole accostarsi alla geometria frattale mosso da un interesse prettamente epistemologico, quanto per chi, avendo già una qualche dimestichezza con strutture matematiche «aberranti e curiose», quali la curva di Peano o l'insieme di Cantor, cerchi per esse un'interpretazione semplice e concreta.”

9)   Piergiorgio Odifreddi, La matematica del ‘900, Einaudi, 2000

Per Odifreddi vale lo stesso discorso fatto per Margherita Hack. In questo caso la scelta va al libro che riesce a sintetizzare un secolo di storia della matematica con chiarezza ed efficacia.
Nel libro, Odifreddi fa un veloce resoconto delle scoperte e degli sviluppi della matematica suddiviso in quattro filoni: i fondamenti, la matematica pura, la matematica applicata e la matematica al calcolatore.
Si narrano le soluzioni di alcuni dilemmi, dal teorema di Fermat all'ipotesi del continuo. Si rivedono in luce moderna le teorie classiche, dall'aritmetica alla geometria. Si assiste alla nascita di nuovi strumenti, dal calcolo tensoriale alla teoria dei giochi. Si scoprono applicazioni nei campi più svariati, dalla cristallografia all'economia, dall'ipotesi di Riemann alla congettura di Poincaré.

10)  Richard Courant e Herbert Robbins, CHE COS'E' LA MATEMATICA?, Seconda edizione riveduta da Ian Stewart, Bollati Boringhieri, 2000


Nella "Prefazione del curatore alla seconda edizione" si legge che "La matematica formale è come la grammatica: una questione di applicazione corretta di regole locali. La matematica significativa è come il giornalismo: racconta storie interessanti (A differenza di certo giornalismo, le storie devono essere vere.) La matematica migliore è come la letteratura: fa vivere una storia davanti ai vostri occhi e vi coinvolge dal punto di vista intellettuale ed emotivo...Cos'è la matematica? Unica." Questo libro offre una descrizione chiara e accessibile del mondo matematico. Il libro, di 671 pagine, può essere letto anche per gruppi di capitoli. Nelle ultime edizioni Ian Stewart ha aggiunto un intero nuovo capitolo dedicato ai recenti sviluppi della matematica e ha inserito anche commenti e integrazioni in varie parti del testo.

http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/courant.htm
http://www.math.it/libri/checose.htm
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domenica 31 marzo 2024

264. Caos & Feigenbaum

 Solo la gente mediocre non giudica dalle apparenze.

Il vero mistero del mondo è ciò che si vede, non l'invisibile… 

 Oscar Wilde, Il ritratto di Dorian Gray


Verso la metà degli anni ’70 venivano introdotte le prime calcolatrici scientifiche e molti calcoli complicati potevano così essere eseguiti in modo semplice e veloce. Una delle più economiche era la TI-30 che rimase in produzione dal 1976 per diversi anni, con una vendita di circa 15 milioni di unità.

Ne comprai una anch’io. Uno dei “giochi” era di inserire un numero e digitare la stessa funzione per molte volte: ad esempio inserendo 0.5 e pigiando il tasto cos, a un certo punto arriveremo a 0.7390851332… e successivamente otterremo sempre lo stesso valore. Questo vale anche inserendo un qualsiasi altro valore iniziale.

La cosa, di per sé, sembra solo una peculiarità della funzione coseno.

Ma non è così.

Negli stessi anni Mitchell Feigenbaum “giocava” anche lui con una calcolatrice e scopriva cose ben più interessanti. Se avessi moltiplicato per una costante k prima di schiacciare cos, mi sarei potuto accorgere, ad esempio, che per k > 1.33 non si ha una convergenza ad un singolo valore, ma un’oscillazione tra 2 valori.

Facciamo un passo indietro.

Tra il XVIII e il XIX secolo Thomas Malthus e successivamente Pierre Verhulst ipotizzarono che la popolazione di una specie in un certo anno fosse una funzione della popolazione dell’anno precedente.

Se la popolazione aumenta troppo, la mancanza di risorse tende a farla diminuire, ma se cala sotto un certo livello, tenderà ad aumentare nell’anno successivo.

La formula che rappresenta questa idea è nota con il nome di equazione logistica: 

xn+1 = r xn ( 1 – xn )

 Feigenbaum studiò questa funzione e, nell'agosto del 1975, trovò per la prima volta 4.669, con 3 soli decimali a causa del limite dell'accuratezza della sua calcolatrice HP65, dopo aver passato un po’ di tempo a cercare di capire se si trattasse di una semplice combinazione di numeri "noti", non trovò nulla.

Ora il numero è "noto" e viene chiamato numero di Feigenbaum.

Il primo numero di Feigenbaum è definito come il limite del rapporto fra 2 intervalli successivi di biforcazione: δ = 4,66920160910299067185320382…



Indipendentemente dalla scelta di x0 la successione converge a un’orbita stabile. I valori di questi punti di accumulazione si possono leggere sull’asse verticale del diagramma di Feigenbaum. A partire da r = 3.57 circa, comincia a succedere qualcosa di strano: il caos. Non ci sono più dei periodi riconoscibili e piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali producono valori estremamente diversi nella successione. Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Infatti esiste un legame tra il diagramma di Feigenbaum e l’insieme di Mandelbrot (che nasce dall’interazione zn+1 = zn2 + c).

 

 

 Sull’asse reale gli sdoppiamenti dei periodi corrispondono ai valori del diagramma di Feigenbaum. 

http://www.fabioruini.eu/unimore/ttps/Mappa%20logistica.pdf

 Per differenti r, si possono osservare i seguenti comportamenti per n grandi.

Questo comportamento non dipende dal valore iniziale, ma solo da r :

·       Con r = 0 la popolazione diventa nulla alla prima iterazione.

·       Con r da 0 a 1 si ottiene sempre 0 dopo alcune iterazioni.

·       Con r tra 1 e 3, viene stabilito un certo limite. Questi limiti sono chiamati attrattori.

·       Con r tra 3 e 1 + √6 (circa 3,45), la sequenza commuta tra due attrattori per quasi tutti i valori iniziali (tranne 0, 1 e 1 - 1/r).

·       Con r tra 1 + √6  e circa 3,54, la sequenza commuta tra quattro attrattori per quasi tutti i valori iniziali.

·       Se r è maggiore di 3,54, arrivano 8 attrattori, quindi 16, 32 ecc.

·       Verso 3.57 inizia il caos.

Questa transizione dal comportamento convergente al raddoppio periodico al comportamento caotico è generalmente tipica dei sistemi non lineari che mostrano un comportamento caotico o non caotico in funzione di un parametro r.

Le transizioni per raddoppiare il periodo sono chiamate punti di biforcazione.


Riassumendo.

La prima costante di Feigenbaum è definita come il limite del rapporto fra due intervalli successivi di biforcazione.

Nel caso della mappa logistica, inizialmente studiata da Feigenbaum:

δ = 4,66920160910299067185320382

Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Tutti i sistemi caotici che seguono questa legge biforcano alla stessa velocità. La prima costante di Feigenbaum può essere usata per predire quando il caos sopraggiungerà nel sistema.

Per definire la seconda costante di Feigenbaum, per ciascun attrattore ciclico della cascata di biforcazioni si deve considerare il punto più vicino a xm, indicato con dn nel caso dell'attrattore di 2n punti. Si costruisce così la successione dn e si definisce:



Sempre nel caso della mappa logistica:

α = 2,502907875095892822283902873218

Il rapporto tra due intervalli di biforcazione successivi tende a δ, mentre il rapporto tra il più piccolo attrattore ad una biforcazione e il più piccolo attrattore alla biforcazione successiva tende ad α.

Queste costanti si applicano a una larga classe di sistemi dinamici.

Si ritiene, infatti non è stato ancora dimostrato, che esse siano trascendenti. 


https://www.researchgate.net/figure/Feigenbaum-graphs-from-the-Logistic-map-The-main-figure-portrays-the-family-of_fig5_51641487

Mitchell Feigenbaum (1944 - 2019) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

Chronology for 1970 - 1980 - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html

http://zibalsc.blogspot.it/2013/12/130-colosseo-e-stadi-ergodici.html

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per mandelbrot (zibalsc.blogspot.com)

http://www.bitman.name/math/article/485

https://www.google.it/search?q=web+diagram+logistic+map&client=tablet-android-samsung&prmd=ivn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjp0Zj9scvXAhUCQBQKHdr9AukQ_AUIEigB&biw=1280&bih=800#imgrc=DaUMimX7h5jiTM:&spf=1511134893215

http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

https://physics.info/

https://hypertextbook.com/chaos/

sabato 25 dicembre 2010

4. Paradosso di Olbers

Perché il cielo di notte è buio?  (astronomo tedesco Heinrich W. Olbers, 1826).
Se l'Universo fosse infinito nello spazio e nel tempo, ed inoltre omogeneo, stazionario ed isotropo, prima o poi il nostro sguardo incrocerebbe una stella.
La spiegazione più accettata è che l’Universo in cui viviamo ha “solo” 13,7 miliardi di anni e come previsto da Edwin Hubble nel 1929 si espande; per cui la luce subisce uno spostamento verso il rosso ed ad una certa distanza scompaiono dal “visibile”. Inoltre le stelle brillano da “poco” tempo.
 
Un’altra spiegazione interessante è che l’Universo abbia una dimensione frattale inferiore a 2.
Questo implica che ad ogni scala la materia occupa una piccola percentuale dello spazio (es. nucleo/atomo, sole/sistema solare, ecc.)
“Una possibilità puramente statistica è che l'universo visibile abbia una distribuzione frattale, con dimensione frattale inferiore a 2. In questo modo, il limite per r → tenderebbe comunque ad un numero finito.”
 
“En 1907, Edmund Edward Fournier d'Albe s'est attaché à la question de l'organisation de l'Univers et dans son livre « Two new Worlds » a défini un univers hiérarchisé en couches d'étoiles de catégories différentes, dont une partie absorbe la lumière des autres en réponse à un paradoxe connu : pourquoi la nuit est-elle noire alors qu'il y a une quantité incommensurable d'étoiles, si c'est un nombre infini? Son système jugé trop rigide a été réfuté, mais il est considéré comme le précurseur de la théorie de l'Univers fractal et Benoît Mandelbrot cite aussi ses réflexions sur la structure du flocon de neige qui est décomposable en une multitude de sous-structures identiques.”
"Nel 1907 pubblicò il piccolo, ma straordinario libro, Two New Worlds[10] nel quale si trova la prima descrizione matematica di una possibile distribuzione gerarchica delle stelle: fu il primo tentativo di descrizione frattale dell'universo. Nel mondo di Fournier le stelle sono distribuiti in uno spazio infinito, ma la massa all'interno di ogni sfera aumenta in modo direttamente proporzionale al suo raggio (si ricordi che in una distribuzione uniforme, tale massa aumenterebbe in proporzione al cubo del raggio). Il suo libro si occupa sia del mondo microscopico (Infra-World) che del mondo in larga scala (Supra-World) e suggerisce che: «un universo costruito su un modello non molto diverso dal nostro viene rilevato su una piccolissima scala definita e misurabile, e un altro su un scala corrispondente molto più grande». Era eccitato dalla possibilità che un tale universo potesse risolvere i due principali paradossi dello spazio infinito, vale a dire il cielo buio stellato (paradosso di Olbers) e la gravità infinita."
“A different resolution, which does not rely on the Big Bang theory, was first proposed by Carl Charlier in 1908 and later rediscovered by Benoît Mandelbrot in 1974. They both postulated that if the stars in the universe were distributed in a hierarchical fractal cosmology (e.g., similar to Cantor dust)—the average density of any region diminishes as the region considered increases—it would not be necessary to rely on the Big Bang theory to explain Olbers' paradox. This model would not rule out a Big Bang but would allow for a dark sky even if the Big Bang had not occurred.”
 
Abstract - Olbers' Paradox

martedì 1 gennaio 2013

108. Mandelbrot





 
 
In matematica, un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione di Hausdorff è strettamente superiore alla dimensione topologica.
Un oggetto piano contenente un disco possiede dimensione di Hausdorff = 2.
Anche il bordo dell'insieme di Mandelbrot ha dimensione di Hausdorff = 2.

 
 
  

http://zibalsc.blogspot.it/2015/02/178-castel-del-monte-e-frattali.html

 
 
 
 

domenica 15 febbraio 2015

178. Castel del Monte e Frattali

Il mio amico G. vedendo il disegno della pianta di Castel del Monte ha pensato ad una struttura frattale.
Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) introdusse la parola frattale nel 1975 per descrivere qualsiasi forma che continui ad avere una struttura “intricata” per quanto la si ingrandisca.

Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

Definizione più criptica: un frattale è un oggetto la cui dimensione frattale è maggiore di quella topologica.

E’ un oggetto “infinitamente complicato” e, per quanto venga ingrandito, non si riesce mai a ridurne la complessità. Molti frattali posseggono anche la particolare proprietà di essere auto-similari: al loro interno esistono repliche dell’oggetto considerato.

Il grado di complessità può essere rappresentato da un numero detto dimensione frattale.
 
Esistono due metodi per generare una struttura frattale:
il primo è ingrandire un oggetto unitario,
il secondo è costruire la sotto sequenza di divisione della struttura originale.

Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare pari a 1 nella dimensione euclidea D, e ingrandiamo la sua dimensione lineare di un fattore L in ogni direzione spaziale, esso prende un numero pari a N = LD di oggetti simili, per ricostruire l'oggetto originale.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension

La dimensione frattale è quindi definita da:


dove il logaritmo può essere di qualsiasi base.
 

La curva di Koch è uno degli esempi più famosi di curva auto-similare e apparve per la prima volta in un documento del 1904 del matematico svedese Helge von Koch.

Si costruisce dividendo un segmento in tre parti uguali e sostituendo la parte centrale con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero; l’algoritmo continua ripetendo questa sostituzione all’infinito per ogni nuovo segmento generato.

Ad ogni passaggio la lunghezza aumenta di un terzo (rapporto 4/3); facendo tendere il numero dei passaggi all’infinito anche la lunghezza diverge e, se vogliamo trovare una metrica per “misurare” i vari frattali, dobbiamo trovare nuove definizioni.

Nella figura si possono vedere i primi passaggi per costruire la curva:

 

 

La dimensione della Curva di Koch (come anche della Polvere di Cantor) è:

log(4) / log(3) = 1.2619




Ci sono decine di modi per definire la dimensione di un frattale. Quella più usata dai matematici è la definizione data nel 1918 da Felix Hausdorff.
I frattali non sono necessariamente curve, ma possono essere anche superfici o solidi molto “intricati”.
La dimensione frattale delle vere coste è vicina a 1,25 (simile a quella della curva di Koch).

 
Torniamo ora a Castel del monte. Per semplificare il calcolo consideriamo un castello a pianta quadrata con torri quadrate; questo tipo di frattale “Boundary of theT-Square fractal” potete trovarlo nel lungo elenco:


 
I passaggi principali per costruire il T-Square sono:

1 – Partiamo con un quadrato di lato 2 x 2  (di perimetro 8)

2 – Raddoppiamo il lato e aggiungiamo la struttura precedente ai 4 angoli

nota: ¼ di ogni torre si sovrappone alla nuova struttura

3 – Continuiamo a raddoppiare la struttura centrale aggiungendo ogni volta 4 strutture precedenti come torri.
 
 
La lunghezza del perimetro al primo passaggio passa da 8 a 32, poi a 112 e di seguito a 368, 1.168, 3.632, 11.152, 33.968, 102.928, 310.832, 936.592, 2.817.968, 8.470.288, 25.443.632, 76.396.432, ...
 





Per un numero di passaggi sempre maggiore, il rapporto tra due valori consecutivi ad ogni raddoppio tende a 3.
Quindi, per calcolare la dimensione frattale, basta calcolare il rapporto tra i logaritmi:

D = log(3) / log(2) = 1.5849
 
Per chi fosse interessato ad approfondire l’argomento, è interessante notare che il Triangolo di Sierpinski ha la stessa dimensione del Contorno di un frattale T-square.
 

http://www.batmath.it/matematica/a_fiocchineve/pg1.htm





http://zibalsc.blogspot.it/2014/04/146-argomenti-complessi.html
http://zibalsc.blogspot.it/2014/09/162-grandi-numeri.html
http://myweb.lmu.edu/bmellor/courses/Symmetry/FractalDimension-Spring2013.pdf
http://scienceblogs.com/goodmath/2007/08/01/geometric-lsystems/

http://it.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot