Solo la gente mediocre non giudica dalle apparenze.
Il vero mistero del mondo è ciò che si vede, non l'invisibile…
Oscar Wilde, Il ritratto di Dorian Gray
Verso la metà degli anni ’70 venivano introdotte le prime calcolatrici scientifiche e molti calcoli complicati potevano così essere eseguiti in modo semplice e veloce. Una delle più economiche era la TI-30 che rimase in produzione dal 1976 per diversi anni, con una vendita di circa 15 milioni di unità.
Ne
comprai una anch’io. Uno dei “giochi” era di inserire un numero e digitare la
stessa funzione per molte volte: ad esempio inserendo 0.5 e pigiando il tasto cos, a
un certo punto arriveremo a 0.7390851332… e successivamente otterremo sempre lo
stesso valore. Questo vale anche inserendo un qualsiasi altro valore iniziale.
La
cosa, di per sé, sembra solo una peculiarità della funzione coseno.
Ma
non è così.
Negli
stessi anni Mitchell Feigenbaum
“giocava” anche lui con una calcolatrice e scopriva cose ben più interessanti.
Se avessi moltiplicato per una costante k prima di schiacciare cos, mi
sarei potuto accorgere, ad esempio, che per k > 1.33 non si ha una
convergenza ad un singolo valore, ma un’oscillazione tra 2 valori.
Facciamo un passo indietro.
Tra
il XVIII e il XIX secolo Thomas Malthus
e successivamente Pierre Verhulst
ipotizzarono che la popolazione di una specie in un certo anno fosse una
funzione della popolazione dell’anno precedente.
Se
la popolazione aumenta troppo, la mancanza di risorse tende a farla
diminuire, ma se cala sotto un certo livello, tenderà ad aumentare nell’anno
successivo.
La formula che rappresenta questa idea è nota con il nome di equazione logistica:
xn+1
= r xn ( 1 – xn )
Ora il numero è "noto" e viene chiamato numero di Feigenbaum.
Il primo numero di Feigenbaum è definito come il limite del rapporto fra 2 intervalli successivi di biforcazione: δ = 4,66920160910299067185320382…
Indipendentemente
dalla scelta di x0 la successione converge a un’orbita stabile. I
valori di questi punti di accumulazione si possono leggere sull’asse verticale
del diagramma di Feigenbaum. A partire da r = 3.57 circa, comincia a succedere
qualcosa di strano: il caos. Non ci sono
più dei periodi riconoscibili e piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali
producono valori estremamente diversi nella successione. Si è scoperto che lo
stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale
dell'insieme di Mandelbrot.
Infatti
esiste un legame tra il diagramma di Feigenbaum e l’insieme di
Mandelbrot (che nasce dall’interazione zn+1 = zn2
+ c).
http://www.fabioruini.eu/unimore/ttps/Mappa%20logistica.pdf
Questo comportamento
non dipende dal valore iniziale, ma solo da r :
· Con r = 0 la popolazione diventa nulla alla
prima iterazione.
· Con r da 0 a 1 si ottiene sempre 0 dopo
alcune iterazioni.
· Con r tra 1 e 3, viene stabilito un certo
limite. Questi limiti sono chiamati attrattori.
· Con r tra 3 e 1 + √6 (circa 3,45), la
sequenza commuta tra due attrattori per quasi tutti i valori iniziali (tranne
0, 1 e 1 - 1/r).
· Con r tra 1 + √6 e circa 3,54, la sequenza commuta tra quattro
attrattori per quasi tutti i valori iniziali.
· Se r è maggiore di 3,54, arrivano 8
attrattori, quindi 16, 32 ecc.
· Verso 3.57
inizia il caos.
Questa transizione dal comportamento convergente al raddoppio periodico al comportamento caotico è generalmente tipica dei sistemi non lineari che mostrano un comportamento caotico o non caotico in funzione di un parametro r.
Le
transizioni per raddoppiare il periodo sono chiamate punti di biforcazione.
Riassumendo.
La prima costante di
Feigenbaum è definita come il limite del rapporto fra due intervalli
successivi di biforcazione
Nel caso della mappa logistica, inizialmente studiata da
Feigenbaum:
δ = 4,66920160910299067185320382…
Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri
di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di
Mandelbrot.
Tutti i sistemi caotici che seguono questa legge biforcano alla
stessa velocità. La prima costante di Feigenbaum può essere usata per predire
quando il caos sopraggiungerà nel sistema.
Per definire la seconda costante di Feigenbaum, per
ciascun attrattore ciclico della cascata di biforcazioni si deve considerare il
punto più vicino a xm, indicato con dn nel
caso dell'attrattore di 2n punti. Si costruisce così la
successione dn e si definisce:
Sempre nel caso della mappa logistica:
α =
2,502907875095892822283902873218…
Il rapporto tra due intervalli di biforcazione successivi tende
a δ, mentre il rapporto tra il più piccolo attrattore ad una
biforcazione e il più piccolo attrattore alla biforcazione successiva tende ad α.
Queste costanti si
applicano a una larga classe di sistemi dinamici.
Si ritiene, infatti non è stato ancora dimostrato, che esse siano trascendenti.
Mitchell Feigenbaum (1944 - 2019) -
Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)
Chronology for 1970 - 1980 - MacTutor History
of Mathematics (st-andrews.ac.uk)
http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html
http://zibalsc.blogspot.it/2013/12/130-colosseo-e-stadi-ergodici.html
Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per mandelbrot (zibalsc.blogspot.com)
http://www.bitman.name/math/article/485
http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html
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