Al mondo ci
sono tre tipi di persone:
quelli che sanno contare e quelli che non sanno contare.
quelli che sanno contare e quelli che non sanno contare.
Ian
Stewart
1 + 2 + 3 + 4 + ... + N, cioè la somma
degli interi da 1 ad N è relativamente facile da calcolare (come visto in 163. Gauss & Faulhaber):
Se invece proviamo a calcolare il
prodotto di 1 x 2 x 3 x 4 x ... x N, otteniamo la sequenza
1, 2, 6, 24, ..., N!. Si definisce
Fattoriale
il prodotto dei
numeri interi positivi minori o uguali ad un dato numero N, e viene indicato
con N!.
In questo caso però non è possibile
ottenere una formula esatta, ma il matematico scozzese James Stirling (1692-1770) riuscì a ricavare una buona approssimazione:
Si può dimostrare che cresce più
velocemente di un esponenziale e meno di nn.
an
≤ Fattoriale ≤ nn
La funzione Gamma di Eulero è una funzione continua, che estende il concetto di
fattoriale ai numeri reali
o nel campo dei numeri complessi
Tornando al Fattoriale, riporto la tabella di Wikipedia con i primi elementi:
Una notevole coincidenza del Fattoriale di 10 risulta essere:
10! = 6 settimane
(in
secondi)
Cioè in 6 settimane ci sono esattamente
3.628.800 secondi.
In 1 ora ci sono 3600 secondi e in 1 settimana ci sono 168
ore (24 x 7)
3600 = 4 x 9 x 2 x 5 x 10 e 168 = 3 x 8 x 7
Riordinando i vari fattori abbiamo: 2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 9 x 10 (manca solo il 6).
Quindi se prendiamo 6 settimane abbiamo tutti i valori fino a 10.
Continuando con i valori successivi, 11! secondi sono più di un
anno e 20! secondi sono superiori a 5 volte l’età
dell’Universo.
Come si vede il Fattoriale cresce
abbastanza in fretta (o forse l’età dell’Universo espressa in secondi non è poi
così elevata); ad esempio il Numero di Avogadro è maggiore di qualche ordine di
grandezza e comunque niente in confronto a come crescono i Grandi Numeri.
Ma veniamo ora al tema proposto dai Rudi Mathematici o Rudi Matematici per
il Carnevale della Matematica del mese di
Febbraio.
La Successione di Fibonacci che abbiamo già
visto in alcuni post precedenti (ad es. 89. Ottantanove e successivo) cresce
asintoticamente come un esponenziale.
Sequenza di Fibonacci ≤ Fattoriale
≤ nn
Nel 1202 Leonardo da Pisa pubblicò il libro Liber Abbaci o “Libro del calcolo”, un testo di aritmetica che si
centrava su calcoli finanziari. Sembra che uno degli esercizi fosse un’invenzione
dell’autore e poneva questa domanda:
Quante
coppie di conigli discendono in un anno da una coppia
Riporto di seguito la traduzione che
potete trovare nel sito:
“Un tale mise una
coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire
quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno:
per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal
secondo mese dalla nascita.
Poiché la suddetta coppia si
riproduce nel primo mese, devi raddoppiarla: nel primo mese le coppie saranno 2.
Di queste, la prima, nel secondo
mese ne genera un'altra: quindi nel secondo mese ci sono 3 coppie.
Di queste, durante il mese, due si
riproducono e nel terzo mese, generano 2 coppie: quindi, nel terzo mese, ci
sono 5 coppie di conigli.
Di queste, durante il mese, 3 si
riproducono e nel quarto mese ci sono 8
coppie.
Di queste, al quinto mese, 5 coppie
ne generano altre 5 che aggiunte alle 8 coppie esistenti fanno 13 coppie.
Di queste, le 5 generate nel mese
precedente non generano nel sesto mese, ma le altre 8 si riproducono, quindi
nel sesto mese ci sono 21 coppie.
Aggiungendo a queste altre 13
coppie generate nel settimo mese, ci saranno in quel mese 34 coppie.
Aggiungendo a queste altre 21
coppie generate nell'ottavo mese, ci saranno in quel mese 55 coppie.
Aggiungendo a queste, altre 34
coppie generate nel nono mese, ci saranno in quel mese 89 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste
altre 55 coppie generate, nel decimo ci saranno 144 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste
altre 89 coppie generate nell' undicesimo mese, ci saranno in quel mese 233 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste
anche 144 coppie generate nell'ultimo mese, ci saranno 377
coppie.
Tante
sono le coppie generate
dalla coppia iniziale in quel luogo in capo ad un anno.
Puoi inoltre vedere in questo
margine (vedi sotto) come abbiamo operato: abbiamo sommato il primo numero con
il secondo, cioè 1 e 2; il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il
quarto con il quinto e così via finché abbiamo sommato il decimo con
l'undicesimo, cioè 144 con 233 ed abbiamo ottenuto la somma dei suddetti
conigli, cioè 377; e così si può fare per un numero
infinito di mesi.”
 |
| https://it.wikipedia.org/wiki/Discussione:Successione_di_Fibonacci |
Qualche secolo dopo la sua morte, a Leonardo da Pisa fu dato il soprannome Fibonacci, “figlio di Bonaccio”.
La successione, che prende il suo nome, è
una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei
due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F1
= 1 e F2 = 1.
Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente
regola:
Fn = Fn-1 + Fn-2
(per ogni n>2)
Gli elementi Fn
sono anche detti numeri di Fibonacci.
I primi termini della successione di Fibonacci sono:
I primi termini della successione di Fibonacci sono:
1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
...
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