Zibaldone Scientifico: 263. 4D

domenica 10 marzo 2024

263. 4D

Questa volta provo a raccontare come cercare di immaginare un oggetto che si estende oltre la terza dimensione. Un bell’esercizio per cominciare, è capire come sarebbe la vita per un essere bidimensionale e come potrebbe immaginare una terza dimensione.

Un noto precedente è Flatlandia l’opera di Abbott, che non conobbe al momento della pubblicazione una gran fortuna; solo in seguito si vide riscoperta. Flatlandia fu riproposta all’attenzione del pubblico da una lettera pubblicata su «Nature» il 12 febbraio 1920 col titolo Euclide, Newton e Einstein. La lettera diceva fra l’altro:

“... Trent’anni o più or sono, il Dr. Edwin Abbott compose un piccolo jeu d’esprit intitolato Flatlandia. All’epoca della sua pubblicazione il libro non attirò tutta l’attenzione che avrebbe meritato. Il Dr. Abbott raffigura degli esseri intelligenti la cui esperienza è confinata a un piano, o a un altro spazio bidimensionale, e che non hanno facoltà di rendersi conto di quanto possa esistere al di fuori di quello spazio, né mezzi di uscire dalla superficie sulla quale vivono. Egli domanda quindi al lettore, che ha il concetto della terza dimensione, di immaginare una sfera che scenda sulla pianura della Flatlandia, attraversandola. Come considereranno un simile fenomeno gli abitanti?”

Verso la quarta dimensione e oltre

Uno spazio a dimensione zero può essere rappresentato da un punto, ad 1 dimensione da una linea e a 2 dimensioni può essere rappresentato da un piano.

Tre dimensioni su una superficie piana si possono disegnare con 2 quadrati e 4 linee diagonali che collegano i vertici.

Possiamo immaginare un cubo, ma in realtà non è un cubo, come la pipa di Magritte che non è una pipa. Un cubo quadridimensionale (chiamato ipercubo o tesseratto), può essere “disegnato” in 3D con due cubi, collegando i vertici con 8 linee diagonali e questo ci può aiutare a capire il tipo di progressione in corso.

Premesso che è difficile "vedere" la quarta dimensione, l’uso del classico citato sopra può comunque essere un buon punto di partenza.

Nel 1884 Edwin Abbot nel suo libro parla di A. Square e del suo mondo, Flatlandia, che è semplicemente un piano piatto bidimensionale e A. Square è un ragazzo di forma quadrata che vive lì. Si può muovere in 2 dimensioni. Può andare a sinistra/destra e avanti/indietro; tuttavia, poiché è limitato al suo piano bidimensionale di Flatlandia, non può salire/scendere “fuori” dal piano.

Per analogia, noi umani siamo limitati al nostro “piano” e ci è impossibile muoverci liberamente nella quarta dimensione.

Ci tengo a sottolineare che sto parlando di dimensioni “spaziali”, per cui la dimensione “temporale” non viene presa in considerazione.

Torniamo di nuovo ad A. Square. Lui può vedere solo ciò che si trova nel suo piano, e questo significa che, se una sfera tridimensionale dovesse passare attraverso Flatlandia, A. Square non vedrebbe la sfera, ma solo "fette" bidimensionali. Andando oltre, immagina che se una sfera passasse a metà della Flatlandia ma si fermasse nel mezzo, la sfera intersecherebbe Flatlandia come un solo cerchio e A. Square potrebbe vederlo. Inoltre, se mentre la sfera si avvicina a Flatlandia, A. Square osservasse come la sfera si muove lentamente attraverso il suo piano. Cosa vedrebbe? Ricordiamo che A. Square può vedere solo fette 2D della sfera (o cerchi), quindi ciò che A. Square percepirebbe, sarebbe un cerchio che appare all'improvviso, poi cresce e quindi raggiunge una dimensione massima quando la sfera è a metà strada. Successivamente, il cerchio si restringerebbe fino a scomparire.

Ciò significa che gli oggetti 3D potrebbero essere spiegati a un essere 2D come un mucchio di "fette impilate" una sopra l'altra. Immaginate di prendere un mucchio di cerchi con diametri opportuni e impilateli. Formerebbero una struttura dell'immagine 3D reale. Allo stesso modo, se un’ipersfera 4D intersecasse il nostro spazio, vedremmo apparire dal nulla una sfera 3D che crescerebbe finché l'ipersfera non fosse a metà strada, poi si ridurrebbe al nulla. In teoria, potremmo impilare queste sfere per formare un'ipersfera, ma non possiamo “impilarle”, perché dovremmo “estenderla” nella quarta dimensione.

Se guardiamo un quadrato dall'alto su un piano bidimensionale, possiamo vedere l'intero oggetto con una vista d’insieme. Potremmo anche infilare il dito all'interno dell'oggetto senza toccarne i lati. Questa sarebbe un'esperienza strana per A. Square. La sua casa è un grande quadrato e non può semplicemente mettere il dito al centro della casa senza prima "entrare" da una porta su uno dei lati. Allo stesso modo, gli esseri quadridimensionali hanno la capacità di visualizzare un intero cubo con una vista d’insieme (cioè, tutte le 6 facce contemporaneamente e potremmo quindi parlare di “cubismo”). Gli esseri umani possono visualizzare solo metà del cubo in un dato istante. Inoltre, gli esseri quadridimensionali potrebbero facilmente mettere il dito all'interno di un cubo chiuso senza penetrarne i lati.

Altre curiosità riguardano le immagini speculari. Se in Flatlandia capovolgessimo A. Square, sarebbe l'immagine speculare di sé stesso.

È un po’ più complicato immaginare che un essere umano diventi un’immagine speculare di sé stesso capovolgendolo nella quarta dimensione.

Facciamo ora un esercizio.

Un cubo formato da 27 cubetti (3x3x3), come appare un cubo di Rubik, in 2D sarebbe un quadrato di 9 quadratini (3x3) e per immaginare il cubo, A. Square potrebbe pensarlo come 3 strati di quadrati “impilati”. Allo stesso modo noi possiamo pensare un ipercubo (3x3x3x3) come 3 strati di cubi “impilati”.

Proviamo ora a “disegnare” le stesse strutture “forate”.

Partiamo da una struttura estesa in 1 dimensione, 3 segmenti, ma per rappresentarli meglio, 3 cubi allineati:

Passiamo ora al 2D e aggiungiamo un’altra struttura identica con interposti 2 cubi (2¹):

In 3D aggiungeremo un altro quadrato forato con interposti 4 cubi (2²):

Per il 4D dovremmo aggiungere un altro cubo forato e 8 cubi (2³), qui metto solo l’ipercubo non assemblato (per un totale di 48 cubetti):

In generale in n dimensioni: 2^(n-1) (n+2) → 1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, … A001792 - OEIS

Un cubo che attraversa un piano con una faccia parallela ad esso avrà come sezione un quadrato. Se invece lo attraversa con una diagonale maggiore perpendicolare ad esso, partendo da un vertice, si otterrà nell'ordine: un punto, dei triangoli e degli esagoni. In particolare, a metà percorso (baricentro del cubo) si avrà un esagono regolare.

Invece un ipercubo che attraversa il nostro spazio (con la diagonale maggiore perpendicolare) verrà visto in questo modo (vediamo qui 15 istantanee):