venerdì 10 gennaio 2014

133. Regolo calcolatore

Il Carnevale Della Matematica #69  ospitato questo mese dal blog Matem@ticaMente avrà per tema "Macchine matematiche antiche e moderne". Un argomento decisamente affascinante che mi ha subito fatto venire in mente l’idea di questo post.

All’inizio del 1600 il matematico scozzese Giovanni Nepero introdusse un potente strumento per semplificare i calcoli complessi: i logaritmi.

Nel 1614 con la sua opera “Logarithmorum canonis descriptio” contenente trentasei pagine di descrizione con nove tabelle e con la successiva “Mirifici logarithmorum canonis constructio”, pose le basi per una nuova matematica utile per l’astronomia, la chimica, la meccanica e la fisica.

In sostanza dimostrò come le complesse operazioni di moltiplicazione, divisione e di estrazione di radice potessero essere ricondotte alle più semplici operazioni di addizione e sottrazione. Nepero studiò il modo di eseguire una operazione di moltiplicazione come insieme di operazioni di addizioni successive e ciò lo portò a realizzare uno strumento di calcolo meccanico, basato sull’impiego di una serie di tabelle di moltiplicazione riportate su aste di legno (da qui la denominazione di “bastoncini di Nepero”), in modo tale che fosse possibile effettuare operazioni di moltiplicazione o divisione.

Questo tipo di strumento era composto da una serie di regoli su cui erano incise le diverse cifre. Per portare a termine una qualsiasi operazione di moltiplicazione o divisione si accostavano al regolo fisso, su cui si leggeva il primo numero, i regoli mobili corrispondenti alle singole cifre che componevano il numero da moltiplicare o dividere.

Lo sviluppo di questo metodo portò al regolo calcolatore.



 
Questo si compone di tre parti:

- un corpo su cui si trovano le scale fisse
- un'asta scorrevole con scale mobili, alcune posizionate davanti e altre dietro
- un cursore con una o più linee di riferimento

Sono presenti diverse scale, a dipendenza del tipo. Alcune di queste si trovano su tutti i regoli, altre solo su regoli destinati ad operazioni particolari.
Le scale si riconoscono da una lettera scritta sulla sinistra.

Le principali sono:

 A: scala fissa dei quadrati sul corpo del regolo
 C: scala mobile dei numeri sull'asta
 CI: scala dell'inverso dei numeri sull'asta
 D: scala fissa dei numeri sul corpo
 K: scala fissa dei cubi sul corpo
 L: scala fissa dei logaritmi sul corpo
 S: scala dei seni, una scala mobile sull'asta oppure una scala fissa sul corpo
 T: scala delle tangenti, una scala mobile sull'asta oppure una scala fissa sul corpo

Si possono eseguire differenti tipi di operazioni matematiche; ad esempio per moltiplicare tra loro due numeri si esegue la somma dei loro logaritmi, si porta l'1 (iniziale o finale) della scala C in corrispondenza del valore del primo fattore sulla scala D. Poi si porta il cursore sul valore del secondo fattore sulla scala C. Infine sulla scala D si legge il prodotto sotto il cursore.
 

Si possono eseguire anche:

            divisioni, quadrati, cubi, logaritmi e funzioni trigonometriche.

Dopo più di tre secoli, a metà degli anni ’70, le prime calcolatrici hanno rapidamente rimpiazzato i regoli calcolatori, che restano comunque un ottimo esempio di Macchina Matematica.


http://it.wikipedia.org/wiki/Regolo_calcolatore
http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/11/03/i-logaritmi/


 

domenica 29 dicembre 2013

132. Doomsday 2014

In tre precedenti post (30, 92 e 109) si è mostrato come ogni anno alcune date, semplici da ricordare, abbiano in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday). Questa regola è stata evidenziata dal prolifico matematico inglese John Horton Conway.

Il Doomsday dell'anno 2014 sarà Venerdì*.

Da Aprile saranno cioè Venerdì:

- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12,

- nei mesi dispari il 7/3, il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

La regola mnemonica per i mesi pari è ovvia e deriva dal fatto che, a parità di numero, tra 2 mesi pari successivi ci sono sempre 61 giorni (30+31); avanzando di 2 giorni ogni 2 mesi si ha:  30+31+2=63 (9 settimane esatte).

Per i mesi dispari si ha sempre che la differenza tra giorno e mese è uguale a 4.

http://www.timeanddate.com/calendar/?year=2014


In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche:
l’ultimo giorno di Febbraio (a prescindere dal fatto che l’anno sia bisestile o meno),
il 25 Aprile, Ferragosto, Halloween e S.Stefano.

Lo è anche l’anniversario della nascita di Albert Einstein (14 Marzo) famoso come Pi Day, giorno dedicato a pi greco, per la grafia anglosassone del numero 3.14

* Nel 2015 Sabato, nel 2016 Lunedì e nel 2017 Martedì.


http://www.emba.uvm.edu/~rsnapp/teaching/cs32/lectures/doomsday.pdf
http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/
http://rudy.ca/doomsday.html

giovedì 26 dicembre 2013

131. Tesseratto

Nel post:  94.Sezioni di ipercubo  si è visto come sezionando un’ipercubo (4-dim.) con un iperpiano (3-dim.) si possano ottenere tetraedri ed ottaedri, oltre ovviamente a cubi e parallelepipedi.

Un ipercubo in 4 dimensioni è composto da:

8 Cubi,  24 Facce,  32 Spigoli  e  16 Vertici

e soddisfa l’estensione della formula di Eulero:       V + F = S + C       

Come avviene per un cubo, anche nel caso di un ipercubo si possono avere differenti tipi di rappresentazioni; come ad esempio questa dove tutti gli spigoli hanno la stessa lunghezza:
 

 

Oppure una proiezione centrale:

 

In 4 dimensioni, l'ipercubo è chiamato anche tesseratto (dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi").

Un famoso esempio di tesseratto e’ l'Arco de La Défense, un monumento moderno situato nel quartiere di La Défense a Parigi. Il nome ufficiale in francese è Grande Arche de la Fraternité (letteralmente "Grande Arcata della Fraternità").




http://www.mathematische-basteleien.de/hypercube.htm
http://zibalsc.blogspot.fr/2010/12/2-formula-di-eulero-per-i-poliedri.html

martedì 10 dicembre 2013

130. Colosseo e stadi ergodici

Le sezioni coniche sono curve piane ottenibili intersecando la superficie di un cono con un piano.
 



Ad esempio la circonferenza è il luogo dei punti la cui distanza da un punto dato è costante; questo punto è chiamato centro e la distanza è detta raggio della circonferenza; mentre l'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi.
 
Ovviamente per disegnare una circonferenza basta un compasso, mentre per l’ellisse esistono diversi metodi. Per quello che deriva direttamente dalla definizione sono necessari due chiodi e uno spago:
 
 
Esiste una costruzione con archi di cerchio che consente di approssimare in modo abbastanza preciso un’ellisse con un ovale:
 

 

I 4 archi di cerchio si raccordano in modo di garantire continuità della curva e della sua tangente, mentre il raggio di curvatura assume solo 2 valori ed ha punti di discontinuità nel passaggio da un arco di cerchio all’altro.
 
I progettisti del Colosseo sembrano aver adottato una costruzione di questo tipo con la divisione del perimetro in ottanta parti uguali. I quattro centri di curvatura sono diventati i punti di allineamento per gli assi delle strutture murarie.
La curva policentrica più adatta al perimetro ellittico è facilmente costruibile sulla base di un triangolo rettangolo che ha 3 e 4 come valore modulare per i cateti e 5 per l’ipotenusa.
 
Si potrebbe continuare con lo studio dell’ergodicità di queste figure:

Si definisce ergodico un processo statistico
che passa per tutti i punti possibili.

Il moto di una particella soggetta ad urti elastici all’interno di una circonferenza o di un’ellisse non e’ un processo ergodico, mentre si puo’ dimostrare che all’interno di un Colosseo si ottiene un moto ergodico.
Un esempio molto utilizzato è lo “Stadio di Bunimovich” riportato nella figura di destra.
 
 
 
 
 
 

sabato 16 novembre 2013

129. Radio per tutti

Prima di scrutare i misteri delle radiocomunicazioni riuscirà forse interessante riepilogare per sommi capi le principali fasi storiche di questa giovane scienza
Inizia così il libro dell’ Ing. Ernesto Montù – RADIO PER TUTTI – Ulrico Hoepli, 1924, che nell’introduzione si sorprende del fatto che “Ogni giorno accade di parlare con conoscenti, amici, estranei che guardano increduli e trattano da visionario che dice loro che ovunque nel nostro Paese si possono ormai udire i concerti e le notizie che Londra, Parigi, Berlino e altre metropoli Europee trasmettono quotidianamente a ore prestabilite.
 
In Italia la prima trasmissione radiofonica sarà verso la fine dello stesso anno di pubblicazione del libro  (6 Ottobre 1924) con la voce di Maria Luisa Boncompagni. È un programma composto di musica operistica, da camera e da concerto, di un bollettino meteorologico e notizie di borsa.
La radiostoria inizia con le prime ricerche di Heinrich Hertz del 1879 (anno di nascita di Albert Einstein):
Hertz scoprì l’azione reciproca di due circuiti elettrici oscillanti per mezzo di onde elettriche. Il lettore non si spaventi di questi termini tecnici forse un po' ostici: uno di questi due circuiti, quello trasmettente, era un semplice rocchetto di induzione collegato con due punte metalliche in modo che tra di esse scoccavano delle scintille; l'altro, quello ricevente, era un semplice cerchio di metallo interrotto in un punto e provvisto di una impugnatura isolata. Ad ogni scintilla che scoccava tra le punte del circuito trasmettente, Hertz constatò che corrispondeva una piccolissima scintilla nel punto di interruzione dell'anello anche se questo era situato a qualche metro di distanza. Ciò poteva solo avvenire perché nell'anello veniva indotta una debole corrente e questa a sua volta doveva essere prodotta dalle onde elettriche che la scintilla del circuito trasmettente produceva nell'etere.
Prima di Hertz, nel 1867, il fisico inglese Maxwell, studiando la propagazione delle onde luminose e calorifiche, aveva enunciato che luce e calore sono forme di energia elettromagnetica ed aveva preconizzato l'azione a distanza di una scintilla per mezzo di onde propagantisi nell'etere. Le sue teorie si basavano su calcoli matematici; la sua morte avvenuta nel 1879 gli tolse la possibilità di vederle confermate sperimentalmente.
Gli esperimenti di Hertz, infatti, non solo provarono l'esattezza delle teorie di Maxwell, ma dimostrarono che nell'etere potevano essere generate delle onde non solo da una sorgente di luce, ma anche da una sorgente elettrica. Con dispositivi speciali che qui non interessa illustrare, Hertz poté provare infatti che le perturbazioni dell'etere causate dalle scintille hanno un moto oscillatorio e si propagano colla medesima velocità della luce. Egli poté inoltre provare l'analogia tra onde elettriche e onde luminose col riflettere, rifrangere e far convergere le onde elettriche per mezzo di specchi, prismi e lenti.
Hertz, che purtroppo morì giovanissimo    a soli 37 anni nel 1894  — non pensò a una applicazione della sua scoperta a scopi di segnalazione: egli aveva però costruito  in embrione il primo complesso radiotrasmettente e radioricevente.
 
Il libro prosegue raccontando del ventiduenne Guglielmo Marconi che nel 1896 si reca in Inghilterra munito di un apparecchio completo di telegrafia senza fili. Nel 1897 riesce a trasmettere a 15 chilometri, nel 1899 attraverso la Manica tra South Foreland e Boulogne, nel 1901 a 300 chilometri tra l'isola di Wight e la nave Lizard.


 
In quasi 400 pagine, con 193 illustrazioni e 6 tabelle, spiega che cosa sono le radioonde, come si trasmettono, come si ricevono e come funzionano i relativi apparecchi.
 

Si accenna anche a futuri sviluppi di trasmissioni a distanza,
 
come - la Televisione:
 
Una applicazione che forse non tarderà è quella della visione a distanza. In un non lontano avvenire sarà possibile non solo udire, ma contemporaneamente vedere ciò che avviene lontano.
Non solo potremo udire come già ora, l'esecuzione di un'opera in un teatro, ma vedremo altresì tutto ciò che avviene sul palcoscenico e nella sala.
Potremo da casa seguire lo svolgimento di qualunque avvenimento sportivo che ha, luogo a centinaia di chilometri di distanza.
Come potrà ciò essere possibile?
Un apparecchio ritrarrà la scena che si vuol trasmettere: in questo apparecchio di presa i raggi luminosi provenienti da tutti i punti della scena andranno ad impressionare in un dato ordine di successione un elemento fotoelettrico, cioè una specie di pila che genera una corrente la cui intensità varia a seconda della intensità, luminosa del raggio che la colpisce. La corrente prodotta sarà quindi una corrente pulsante con la quale sarà possibile modulare una corrente ad alta frequenza, come si fa per la, radiotelefonia.
Nella. stazione ricevente questa corrente verrà nuovamente rivelata e applicata a una sorgente di luce la cui intensità luminosa varierà a seconda della intensità della corrente. Questi raggi luminosi verranno distribuiti su uno schermo nel medesimo ordine di successione come per la presa e riprodurranno quindi la scena che si svolge davanti all'apparecchio di presa della stazione trasmettente.
Questo il principio teorico per mezzo del quale si può considerare la televisione fondamentalmente risolta.
 
o come  - il cinema parlante o Fonofilm:
 
Dall'America giunge la notizia che è ormai un fatto compiuto l'introduzione di una pellicola parlata negli spettacoli cinematografici di New York.
Il sistema concepito dallo stesso de Forest, si basa sul principio seguente: registrazione fotografica simultanea dei suoni e delle immagini sulle pellicole cinematografiche.
Le emissioni sonore degli attori cinematografici, i quali in questo caso debbono parlare come su un palcoscenico ordinario, sono raccolte da un microfono speciale che le trasforma in correnti elettriche come avviene in un telefono comune. Queste correnti sono amplificate alcune migliaia di volte e servono a modulare una corrente ad alta frequenza prodotta da un generatore analogo a quello che si impiega nel telefono senza fili. Le correnti così ottenute trovano un tubo riempito dì gas speciale che emette delle radiazioni azzurre, come in una lampada a mercurio. L'intensità luminosa irradiata dal gas varia proporzionalmente e istantaneamente col variare della corrente. Concentrando il fascio di luce, che esce dal tubo, sul margine della pellicola cinematografica, si possono registrare i suoni simultaneamente alle immagini. La fotografia dei suoni si presenta allora come una sottile striscia, striata di righe orizzontali la cui opacità varia secondo l'intensità della luce che l'ha impressionata.
Al momento della proiezione, per eseguire l'operazione inversa, cioè riprodurre i suoni secondo la fotografia, si proietta durante lo svolgimento della pellicola un fascio di luce qualsiasi, ma di una notevole intensità, sulla striscia che riproduce i suoni. Questo fascio luminoso, la cui potenza illuminante varierà con l'opacità delle strisce che ha traversato, viene a cadere sopra una pila foto-elettrica che possiede la proprietà di lasciar passare più o meno corrente elettrica secondo che è più o meno illuminata. Così la pila trasforma di nuovo in corrente di intensità variabile il suono fotografato sulla pellicola.
 
Montù riesce a fornire una precisa fotografia del periodo e a inserire una quantità di informazioni impressionante, comprese le varie legislazioni vigenti all’epoca.

In Italia i primi studi e le prime prove sperimentali di trasmissioni televisive furono effettuate a Torino a partire dal 1934, città che già ospitava il Centro di Direzione dell'EIAR (successivamente RAI). In seguito, l'EIAR stabilirà una sede a Roma, nel quartiere Prati, dove realizzerà la storica sede di Via Asiago 10 e a Milano in Corso Sempione.
 Il 22 luglio del 1939 entra in funzione a Roma il primo trasmettitore televisivo da 2 kW presso la stazione trasmittente EIAR di Monte Mario, che effettuerà per circa un anno regolari trasmissioni utilizzando lo standard a 441 linee sviluppato dalla Telefunken in Germania. Nel settembre dello stesso anno un secondo trasmettitore televisivo della potenza di 400 W viene installato a Milano sulla Torre Littoria (oggi Torre Branca) ed effettua trasmissioni sperimentali in occasione della XI Mostra della Radio e della XXI Fiera Campionaria di Milano.