sabato 2 luglio 2016

210. Dinastie


 Prima di cominciare il post, voglio ricordare che è stato pubblicato

“Il (non) Carnevale della Fisica #15”.

E’ sempre un piacere leggerlo ed è un onore poter fornire un contributo.

Per il lavoro svolto voglio ringraziare l’instancabile e poliedrica Annarita.


  


Quando si studia la matematica o la fisica del XVIII secolo i nomi che ricorrono sono ad esempio: Eulero, Gauss, Leibniz, Bernoulli, Lagrange e Laplace. Per ognuno di questi sono stati pubblicati molti lavori in diversi campi delle scienze fisiche e matematiche; sembra impossibile che una sola persona abbia potuto pubblicare così tanti scritti, e viene da pensare che esistessero più di un Eulero o più di un Gauss. Ecco, nel caso dei Bernoulli è proprio così.

La famiglia Bernoulli aveva origini in Anversa. Da qui fuggì nel 1583 per sottrarsi al massacro degli Ugonotti.

Il giovane Bernoulli (Daniel) era sempre stato fiero di discendere da una illustre famiglia di matematici. Era figlio di (Johann) un famoso matematico vivente e nipote di un altro matematico altrettanto famoso (Niklaus).

Quella sera di autunno del 1734, però, quando il padre rincasò, Daniel lo salutò porgendogli una lettera senza dir niente sul suo contenuto. Con aria perplessa, il padre la prese e vi lesse che quell’anno l’Accademia delle Scienze francese aveva deciso di assegnare a entrambi, il primo premio della competizione scientifica che veniva attribuito ai migliori scienziati dell’epoca. Il giovane Daniel pensò che a questo punto lui e suo padre si sarebbero abbracciati per la gioia, ma non fu così. Qualcosa non andava e il padre reagì con un cupo silenzio. Dopo aver finito di leggere, accartocciò la lettera e apostrofò il figlio con una raffica di accuse.

La lite degenerò, al punto che poche ore dopo aver ricevuto il prestigioso premio, il povero Daniel si trovò sbattuto fuori casa. Era appena tornato in famiglia, a Basilea, dopo 7 anni trascorsi all'Accademia Imperiale Russa di San Pietroburgo, dove nel frattempo era divenuto molto famoso.

Non ancora trentenne, infatti, Daniel Bernoulli aveva svelato il segreto dei fluidi.

Nel 1729, Daniel stava riflettendo su come misurare la pressione del sangue. A quel tempo andavano di moda i salassi, e molti pazienti morivano più per le cure che per la malattia. Misurare la pressione sembrava una buona idea per capire quando si stava esagerando. Bernoulli, pensando al sangue che schizzava verso l'alto quando veniva bucata un'arteria, si rese conto che misurando quell'altezza poteva valutare la pressione del sangue. Mise quindi a punto una cannula di vetro che veniva infilata in un'arteria del paziente: misurando l'altezza della colonnina di sangue che si formava si poteva misurare la pressione del sangue senza dissanguare lo sventurato paziente.

Misurando come cambiava la pressione in un condotto idraulico al variare della sua sezione, si rese conto che dove il condotto si restringeva, il fluido aumentava di velocità e la pressione diminuiva. Viceversa, se la velocità diminuiva, la pressione aumentava. La somma dei valori di pressione e velocità del fluido (e quindi della sua energia cinetica) rimaneva costante. Era stata scoperta l'equazione nota oggi come teorema di Bernoulli, che sta alla fluidodinamica come le equazioni di Newton stanno alla dinamica dei corpi solidi.

 

Il teorema di Bernoulli è il principio della conservazione dell'energia per i fluidi ideali in regime stazionario o in flusso laminare.

 




     

 
Jakob Bernoulli (noto anche come Jacques) (Basilea 1654 – Basilea 1705) è stato un matematico e scienziato svizzero. Era il fratello maggiore di Johann Bernoulli e lo zio di Daniel Bernoulli. Sviluppò il calcolo infinitesimale. Ha tenuto una corrispondenza con Gottfried Leibniz dai cui primi scritti sull'argomento apprese il calcolo differenziale che sviluppò nei decenni successivi, con la collaborazione del fratello, Johann, e sempre sotto la supervisione dello stesso Leibniz. I suoi primi scritti sulle curve trascendentali (1696) e isoperimetria (1700, 1701) sono i primi esempi di tali applicazioni. La sua opera principale è Ars Conjectandi pubblicato postumo nel 1713, un lavoro fondamentale della teoria delle probabilità. I concetti campionamento bernoulliano, teorema di Bernoulli, variabile casuale bernoulliana e numeri di Bernoulli sono legati ai suoi lavori e nominati in suo onore. Inoltre il primo teorema del limite centrale, ovvero la legge dei grandi numeri, venne formulata da Jakob.
 
Johann I Bernoulli (o Jean I) (Basilea 1667 – Basilea 1748) è stato un matematico svizzero, uno dei più importanti scienziati della famiglia Bernoulli, fratello minore di Jakob, il capostipite della famiglia. Educò il grande matematico Eulero ed è conosciuto per i suoi contributi al calcolo infinitesimale.
 
Nicolaus Bernoulli (noto anche come Niklaus o Nikolaus) (Basilea 1687 – Basilea  1759), è stato un matematico svizzero, nipote di Jakob e Johann Bernoulli. Fu uno dei primi e più importanti matematici della famiglia Bernoulli. Ottenne il dottorato con una tesi sulla teoria della probabilità. Nel 1716 ottenne la cattedra che era stata tenuta da Galileo all'Università di Padova; qui lavorò sulle equazioni differenziali e sulla geometria.
 
Nicolaus II Bernoulli (conosciuto anche come Niklaus II o Nikolaus II) (Basilea 1695 – San Pietroburgo 1726), è stato un matematico e fisico svizzero. Lavorò principalmente sulle curve, le equazioni differenziali, e la probabilità. Fu contemporaneo di Leonardo Eulero. Diede importanti contributi anche allo sviluppo della fluidodinamica. Fu fratello più anziano di Daniel Bernoulli.
 
Daniel Bernoulli (Groninga 1700 – Basilea 1782) è stato un matematico e fisico svizzero. Il suo principale lavoro fu Hydrodynamique, pubblicato nel 1738; nella sua struttura assomiglia alla Méchanique Analytique di Joseph Louis Lagrange: tutti i risultati sono conseguenza di un singolo principio, e precisamente quello di conservazione dell'energia. L'opera fu seguita da una memoria sulle teorie delle maree, alla quale, insieme alle memorie di Eulero e Colin Maclaurin, l'Accademie Royale des Sciences francese assegnò un premio: queste tre memorie contengono tutto ciò che sull'argomento venne scritto tra i Philosophiae Naturalis Principia Mathematica di Isaac Newton e le investigazioni di Pierre-Simon Laplace. Statistica: Daniel Bernoulli fu anche autore nel 1738 di Specimen theoriae novae de mensura sortis (Esposizione di una nuova teoria di misura del rischio), in cui il paradosso di San Pietroburgo è considerato la base dell'avversione al rischio, il premio e l'utilità. Uno dei primi tentativi di analizzare un problema di statistica utilizzando dati tenuti nascosti è stata l'analisi di Bernoulli del 1766 sulla diffusione del vaiolo e i relativi dati di mortalità, per dimostrare l'efficacia del vaccino. Fisica: Daniel Bernoulli fu uno dei primi scienziati a formulare la teoria cinetica dei gas ed applicare la legge di Boyle. Egli lavorò con Eulero sull'elasticità e sulla formulazione dell'equazione di Eulero-Bernoulli. Il principio di Bernoulli è largamente utilizzato in aerodinamica e fluidodinamica.
 
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
 

 






 


Michael Guillen - Le 5 equazioni che hanno cambiato il mondo

 


 
 -  Niklaus Bernoulli – commerciante
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venerdì 3 giugno 2016

209. M come Messier

Quando nel XVII secolo Galileo Galilei cominciò ad osservare la Via Lattea con il cannocchiale, scoprì che questa fascia che di notte si vedeva attraversare il cielo, era composta da miriadi di stelle. Altri oggetti celesti, come la nebulosa di Orione, rimanevano invece “nebulosi” anche osservati con questa nuova strumentazione ottica.
Il primo catalogo di nebulose, redatto da Charles Messier, venne pubblicato nel 1774. Si trattava di una lista di oggetti “nebulosi” (cioè di aspetto non stellare), immobili rispetto alle stelle fisse. Messier iniziò con il resto di Supernova NGC 1952 (M1), visibile nella costellazione del Toro, scoperto nel 1731 da John Bevis e formato dai gas in espansione espulsi durante l'esplosione della Supernova 1054. M1, noto come “Nebulosa del Granchio”, si trova a circa 6.500 anni luce dal sistema solare; perciò l'evento che l'ha prodotto è in realtà avvenuto 6.500 anni prima del 1054 (quando la Supernova venne osservata da popolazioni cinesi e arabe), cioè circa nel 5400 a.C.
La prima edizione del catalogo di Messier conteneva 45 oggetti, mentre quello finale, pubblicato 10 anni dopo, ne conteneva 103; in seguito ne vennero aggiunti altri 7.











Al trentunesimo posto troviamo Andromeda, nota a tutti gli astrofili come M31.



La prima volta che ho sentito il nome di questa galassia è stato nel 1972, quando la RAI ha trasmesso lo sceneggiato televisivo in cinque puntate “A come Andromeda”, basato sull’omonimo sceneggiato prodotto dalla BBC nel 1961 su sceneggiatura di Fred Hoyle e John Elliot. Le varie vicende raccontate, fanno da sfondo al primo contatto con un'intelligenza aliena stabilito dagli esseri umani e che porterà i diretti protagonisti a confrontarsi con una realtà inaspettata. Dopo i titoli di testa compariva la scritta: “Questa storia si svolge in Inghilterra l'anno prossimo”.
Può sembrare strano, ma cento anni fa non era ancora chiaro cosa fossero e a quale distanza si trovassero gli oggetti del catalogo e per cercare di chiarire la situazione, il 26 aprile 1920 nell’auditorium dello “Smithsonian Museum of Natural History” di Washington fu organizzato il Grande Dibattito.
Gli astronomi Harlow Shapley e Heber Curtis si interrogarono in merito alla reale natura delle galassie e sulle dimensioni dell'Universo osservabile. La questione fondamentale del dibattito era se le nebulose distanti fossero delle piccole parti della nostra galassia, la Via Lattea, o fossero realmente delle grandi entità distinte, esterne alla nostra galassia.
Shapley riteneva che la Via Lattea costituisse la totalità dell'Universo, mentre Curtis sosteneva che Andromeda, e altre nebulose dalle caratteristiche simili, fossero delle entità separate dalla Via Lattea, e le denominò "Galassie" o "Universi-isola". Gli sviluppi successivi hanno assodato che la Via Lattea è solo una delle centinaia di miliardi di galassie contenute nell'Universo osservabile.
La notte del 5 ottobre 1923, Hubble fotografò M31 con un tempo di posa di 45 minuti. Confrontando la lastra fotografica con precedenti esposizioni, si rese conto che una stella variava la sua luminosità nel tempo con un periodo di 31,4 giorni. Si trattava quindi di un tipo di stelle variabili chiamate Cefeidi. Questa era una scoperta molto importante, perché l’astronoma americana Henrietta Swan Leavitt aveva mostrato, nel decennio precedente, che la luminosità intrinseca di questo tipo di stelle è direttamente correlata al periodo di variazione. Leavitt era arrivata a questa conclusione dopo aver analizzato migliaia di queste stelle. Questa stella venne in seguito chiamata V1 e utilizzando la relazione periodo/luminosità, Hubble calcolò la sua distanza. Il risultato fu: M31 dista 1 milione di anni luce. Hubble inviò quindi una lettera a Shapley per comunicargli la scoperta. Dopo aver letto quanto scritto, Shapley si convinse del risultato ottenuto e, parlando con un collega, disse: “Qui c’è la lettera che distrugge il mio Universo”.
Gli astronomi hanno continuato a scoprire nuove Cefeidi, migliorando (ed aumentando) il valore della distanza; le attuali misure indicano una distanza di M31 (Andromeda) di circa 2,4 anni luce. Per confronto, la nostra galassia (Via Lattea) ha un diametro di 100.000 anni luce.
Spesso viene attribuita a Edwin Hubble la scoperta dello spostamento verso il rosso (Redshift), nonostante fin dal primo decennio del secolo scorso altri astronomi avessero già intrapreso misure del genere, notando che quasi tutte le nebulose a spirale sembravano allontanarsi dalla Terra. Tuttavia Hubble fu il primo a stabilire la relazione empirica di proporzionalità esistente fra distanza e velocità di allontanamento delle galassie.
Questa relazione è nota come legge di Hubble:
z = H0 D / c
dove z è lo spostamento verso il rosso misurato della galassia, D è la sua distanza, c è la velocità della luce e H0 è la costante di Hubble, il cui valore stimato è attorno a 67,15 km/s/Mpc.
Breve inciso: l’anno luce è una misura che indica a che distanza si trova un oggetto che viene raggiunto da un fotone in un anno; ma gli astronomi preferiscono utilizzare il parsec (o il megaparsec, Mpc), questo perché è un’unità di misura molto pratica in astronomia (per dettagli vedete qui). La legge di Hubble venne pubblicata nel 1929 e inizialmente Hubble ottenne per H0 circa 500 km/s/Mpc, un valore 7 volte maggiore di quello attualmente accettato. Dal valore di H0 è anche possibile ricavare un ordine di grandezza dell'età dell'Universo: in tutti i modelli cosmologici che assumono un Big Bang infatti il tempo intercorso fra il Big Bang e l'epoca attuale è dato approssimativamente da 1/H0 = 13,7 ± 0,8 miliardi di anni. La prima valutazione di H0 forniva un’età di 2 miliardi di anni circa.
Per concludere, cento anni fa Albert Einstein aveva appena pubblicato la Teoria della Relatività Generale e si cominciava anche ad ipotizzare come fosse fatto l’atomo (modello di Bohr-Sommerfeld), ma non si conosceva ancora come fosse fatto l’Universo o come veniva prodotta l’energia delle stelle, la Meccanica Quantistica stava per arrivare.




 



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domenica 22 maggio 2016

208. Cicloidi ed acqua


 “La storia non si ripete, ma fa rima”

Mark Twain

Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà. Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa forma: un esempio è la curva Brachistocrona (dal greco, brachistos - il più breve, chronos - tempo).

Il teorema chiave del calcolo delle variazioni classico è l'equazione di Eulero-Lagrange, che corrisponde ad una condizione di stazionarietà per il funzionale. Come nel caso della ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione, l'analisi delle piccole variazioni attorno a una presunta soluzione porta a una condizione del primo ordine. Non è però possibile dire direttamente se è stato trovato un massimo, un minimo, o nessuno dei due. I metodi variazionali sono importanti in fisica teorica: nella meccanica lagrangiana e nell'applicazione del principio di minima azione alla fisica quantistica.

Questa premessa (tratta da Wikipedia, l'enciclopedia libera) fornisce un’idea dell’ambito matematico in cui è possibile risolvere il problema che vedremo ora, di ricavare una curva che soddisfi determinate condizioni; l’effetto Mpemba, che vedremo in seguito, non ha un legame diretto con questa prima parte, ma, parafrasando la citazione di Mark Twain, in qualche modo fa rima.


Problema della Tautocrona: nel 1659 Christiaan Huygens, incoraggiato da Pascal, aveva dimostrato che la Cicloide è la soluzione al problema di trovare una curva per la quale il tempo impiegato da una particella, soggetta alla sola forza di gravità, a scivolare senza attrito lungo la curva sino al suo punto più basso, è indipendente dal punto di partenza.
Basterebbe questa proprietà a rendere la Cicloide, una curva “celebre”.

In geometria, la Cicloide è una curva piana tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; ad esempio, il disegno composto dalla valvola della camera d’aria di una bicicletta in movimento.



https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid


Le dimensioni di una Cicloide sono legate a quella della circonferenza generatrice; per vedere le relazioni esatte potete consultare Wikipedia o Wolfram, per semplicità mi limito al caso di una generatrice di raggio 1:

                 x = t – sin t

                 y = 1 – cos t 
  • l'altezza massima dell'arco è pari a 2;
  • la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro, ovvero 8;
  • la base sottostante l'arco è pari alla circonferenza, ovvero 2 pi (6,28);
  • l'area compresa fra la cicloide e la base è tre volte l'area del cerchio (3 pi).

Quest’ultima proprietà era già stata ricavata da Galileo Galilei, che, non riuscendo a calcolarla, ritagliò una sagoma di metallo e la pesò, confrontandola poi con la sagoma della circonferenza generatrice.

Problema della Brachistocrona: nel 1696, Johann Bernoulli pose una domanda ai lettori degli Acta Erudidorum. Supponiamo di avere 2 punti A e B, con A posizionato ad una altezza maggiore di B (ma non sulla stessa verticale). L’idea è di costruire uno scivolo curvo da A a B e farci scivolare sopra una biglia. Domanda: quale curva dobbiamo utilizzare, se vogliamo raggiungere B nel minor tempo possibile? Molti matematici furono in grado di fornire la risposta corretta, inclusi Newton, Leibniz, Bernoulli stesso e suo fratello Jakob.

La soluzione, anche in questo caso, è la Cicloide.

La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata Brachistocrona, ossia (curva del) tempo più corto, e, come anticipato nella premessa, la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.
Quando Pascal la ripropose ci fu una vera esplosione di interessi e di studi intorno alla curva, spesso così appassionati e accesi che la Cicloide fu definita “la bella Elena” della geometria. Il pendolo cicloidale è un tipo di moto periodico ideato da Christiaan Huygens intorno al 1659 con una interessante proprietà: le sue oscillazioni sono isocrone indipendentemente dalla loro ampiezza. Questo vale nel caso del pendolo semplice solo per ampiezze abbastanza piccole. Huygens dimostrò invece che un punto materiale che oscilla seguendo una traiettoria cicloidale sotto l'azione della gravità ha un periodo costante che dipende unicamente dalle dimensioni della Cicloide.





Nelle 3 figure (tratte dal video https://www.youtube.com/watch?v=qtpaauuGx-Y) sono presenti 6 curve: 3 di queste (curve 3, 4 e 5) sono archi di Cicloide, mentre le prime 2 hanno una pendenza iniziale maggiore e l’ultima ha pendenza costante (piano inclinato). Inoltre, le palline poste sulle Cicloidi partono da posizioni differenti. Quello che si verifica è che le palline poste sulle 3 Cicloidi arrivano prima (Brachistocrona) e contemporaneamente (Tautocrona).

Non so voi, ma a me il fatto che esista una curva con queste caratteristiche e che si possa ricavarla partendo da semplici presupposti a cui deve soddisfare, riesce sempre a stupirmi; cioè mi sembra controintuitivo il fatto che l’istante di arrivo sia indipendente dal punto di partenza sulla curva. Lo stesso stupore lo provo nel caso dell'effetto Mpemba, riscoperto casualmente nel 1969 dallo studente tanzaniano Erasto Mpemba (in realtà questo effetto venne già descritto nel IV secolo a.C. da Aristotele). E la rima è che, anche qui, si ottiene una cosa poco intuitiva, perché arriva prima chi parte da più lontano (con la distanza misurata dalla differenza di temperatura).

Nel 1963 il tredicenne Mpemba frequentava le scuole medie di Magambe, in Tanzania, quando si accorse di un fenomeno bizzarro, un’anomalia che ancora oggi non è possibile spiegare con certezza: a lui e ai suoi compagni di classe piaceva il gelato, che preparavano in casa con latte portato a bollore, zuccherato e messo poi in freezer dopo averlo fatto raffreddare fino a temperatura ambiente. Nel frigo c’era poco spazio e ogni volta che si faceva il gelato c’era la corsa per infilare i recipienti per primi. Un giorno, mentre aspettava con il pentolino sul fuoco, Mpemba si accorse che un suo compagno stava miscelando lo zucchero nel latte freddo per fare prima. Era rimasto un solo spazio nel freezer e non poteva aspettare. Decise quindi di mettere il latte zuccherato ancora bollente nel frigo, rischiando inoltre di danneggiare l’elettrodomestico. Un’ora e mezzo dopo, i ragazzi trovarono qualcosa di strano: il gelato di Mpemba era pronto, mentre per gli altri preparati regolarmente, il liquido non era ancora completamente solidificato.

Effetto Mpemba: si osserva sperimentalmente che, a parità di condizioni, l’acqua calda congela prima di quella fredda.

Attenzione: il fatto che serva meno tempo, non implica che serva meno energia, ma solo che il trasferimento di calore è più efficiente.

Esiste anche l’effetto opposto: effetto Leidenfrost, un fenomeno fisico che si può osservare quando una sostanza liquida entra in contatto con una superficie avente temperatura significativamente più alta del suo punto di ebollizione. Lo strato più esterno del liquido evapora, producendo uno strato gassoso isolante che impedisce al resto di raggiungere rapidamente la temperatura di ebollizione. Se invece la temperatura è elevata ma resta un po' al di sotto del punto di Leidenfrost l'evaporazione avviene quasi istantaneamente. Un effetto simile si ottiene versando dell'azoto liquido su un pavimento a temperatura ambiente.


Sto leggendo l’interessante “Il libro dell’acqua” di Alok Jha che parla di questo effetto e di molte altre cose. Lo citerò ancora in un prossimo post, per ora mi limito a commentare un’altra particolare e fondamentale caratteristica dell’acqua.

Di norma quando si passa dallo stato liquido a quello solido, si ha un aumento del peso specifico. Per l’acqua questo non vale: in altre parole il ghiaccio galleggia.


Cosa accadrebbe se il ghiaccio non galleggiasse?

La risposta è che questa caratteristica unica risulta indispensabile affinché la vita possa evolversi. Se l'acqua fosse come tutte le altre sostanze, il ghiaccio sarebbe più denso dell'acqua liquida e formandosi nei mari e nei laghi affonderebbe. La pressione sui fondali, dove il ghiaccio si andrebbe raccogliendo, contribuirebbe a mantenere allo stato solido quest'acqua e anno dopo anno se ne formerebbe di nuovo in superficie per poi affondare ancora. Il risultato sarebbe un progressivo congelamento dell'acqua presente in molte zone della Terra, con la conseguente distruzione di tutte le forme di vita presenti sui fondali marini. Inoltre, lo strato di ghiaccio superficiale galleggiante, quando si forma, isola l'oceano sottostante prevenendone il congelamento e la grande pressione degli abissi mantiene liquida anche la freddissima acqua sui fondali. In tale modo essa è disponibile come indispensabile solvente per le creature che vi abitano, e la vita che nell’acqua ha avuto origine, nel cosiddetto brodo primordiale, ha potuto proliferare giungendo sino a creature complesse quali siamo noi. La risposta alla domanda iniziale è quindi che se il ghiaccio non galleggiasse, probabilmente non saremmo qui a parlarne. 

 







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lunedì 4 aprile 2016

207. Wireless


Il cavo sottomarino è un’invenzione dell’ottocento, ma dopo l’avvento di internet e l’esplosione delle comunicazioni elettroniche ha conosciuto una seconda giovinezza.
Al contrario di quello che si può immaginare, i satelliti hanno un ruolo secondario nel traffico di voce e dati, quasi il 99% di questi passa attraverso cavi.

Le comunicazioni intercontinentali utilizzano 900.000 chilometri di cavi (22 volte il giro del mondo) che collegano tutti i continenti e la maggioranza delle isole abitate.

In questo sito  http://www.submarinecablemap.com/  è possibile visualizzare dove sono posizionati i cavi sottomarini.




 

Wireless è una parola che abbiamo imparato ad usare negli ultimi decenni, ma se utilizziamo la traduzione italiana “senza fili” ci rendiamo conto che non è poi così recente. Il Premio Nobel per la Fisica del 1909 venne assegnato a Guglielmo Marconi e Karl Ferdinand Braun: "in recognition of their contributions to the development of wireless telegraphy".











Questo post è dedicato a Keith Emerson il "signore" del Moog che in mezzo ai cavi si destreggiava benissimo.


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206. I ragazzi del coro


In quanti modi 8 coristi possono cambiare di posto, così da trovarsi ogni volta disposti in modo diverso?
(La risposta è: 8! = 40.320)

Ad ogni incontro si scattano una foto ricordo; se si ritrovano tutte le sere, quante foto accumuleranno a fine carriera e quante volte nelle foto avranno la stessa disposizione?
10.000 giorni sono all’incirca 27 anni e 20 settimane. Per superare 40.320 serate servono 110 anni e quindi difficilmente si ripeteranno 2 disposizioni uguali.

Impilando le fotografie di 80 anni (quasi 30.000 con più di 800 rullini), si raggiungerebbe un’altezza di diversi metri, ma se ogni foto avesse una risoluzione di 5 MPixel, potremmo memorizzarle tutte in una scheda da 64GB (la storia di una vita memorizzata in un piccolo chip).
Nel film Smoke, Auggie, il protagonista interpretato da Harvey Keitel, ha una curiosa passione. Ogni mattina alle otto precise esce dalla sua tabaccheria, piazza la macchina sul treppiede e fotografa sempre lo stesso scorcio di Brooklyn. Auggie esegue questa operazione con costanza per anni, estate e inverno, con la pioggia o con il sole, catalogando le foto che conserva in diversi album.






Non è difficile immaginare come diverge il risultato aumentando il numero di coristi. La Fisica risolve il problema introducendo concetti come Pressione e Temperatura.


Le leggi della Termodinamica sono principi generali che hanno un contenuto macroscopico. In essi non compare nessun riferimento esplicito agli atomi che compongono il sistema in esame, sono quindi indipendenti dai possibili modelli microscopici che possono rappresentare gli atomi e le molecole del sistema. Tali principi si possono usare anche quando non si conosce nulla in riguardo alla composizione atomica. E’ importante ricordare che le leggi della Termodinamica furono introdotte molto prima che si stabilisse una teoria atomica della materia.
Se combiniamo i concetti statistici con la conoscenza microscopica del sistema, la nostra possibilità di comprendere e fare previsioni risulta molto accresciuta. Otteniamo così la disciplina della Meccanica statistica. Siamo quindi in grado di calcolare le proprietà di sistemi macroscopici sulla base di dati microscopici. E’ quindi possibile calcolare l’entropia (misura del disordine presente in un sistema fisico)  da principi primi. Ludwig Boltzmann ha sintetizzato questo nel principio:

S = k ln W

Nella termodinamica classica l'entropia S è una funzione di stato di un sistema in equilibrio termodinamico, che, quantificando l'indisponibilità di un sistema a produrre lavoro, si introduce insieme con il secondo principio della termodinamica.

L'approccio molecolare della meccanica statistica generalizza l'entropia alle possibili diverse disposizioni W dei livelli molecolari in cui può trovarsi macroscopicamente un sistema. In base a questa definizione si può dire, in forma non rigorosa, che quando un sistema passa da uno stato di equilibrio ordinato a uno disordinato la sua entropia aumenta; questo fatto fornisce indicazioni sulla direzione in cui evolve spontaneamente un sistema.

Tomba di Boltzmann

“Tutto ciò che esiste nell'universo è frutto del caso e della necessità”   Democrito



Se con 8 coristi si possono ottenere le combinazioni riportate sopra, possiamo immaginare che cosa sia possibile ottenere con un coro composto da 7,4 miliardi di persone (attuale popolazione mondiale – 6 miliardi nel 2000). Questo tipo di considerazioni, risultano però in contrasto con la Teoria del mondo piccolo che sostiene che tutte le reti complesse presenti in natura sono tali che due qualunque nodi possono essere collegati da un percorso costituito da un numero relativamente piccolo di collegamenti. La sua nascita può essere fatta risalire ad una serie di esperimenti condotti da Stanley Milgram che esaminavano la lunghezza media del percorso per reti sociali tra residenti negli Stati Uniti.

Negli anni ’50 lo psicologo Milgram ideò un esperimento interessante. Un centinaio di lettere dovevano essere inviate a Boston da una cittadina del Nebraska senza usare la normale procedura postale, ma con le seguenti regole: chi riceve una lettera per un destinatario a lui sconosciuto può soltanto spedirla a un suo diretto conoscente, che proseguirà con la stessa regola. Ad ogni passo la cerchia dei destinatari è limitata alle conoscenze dirette del mittente, che sceglierà la persona che presumibilmente più si avvicina al destinatario finale. Se questi per esempio è un medico o un idraulico, cercherà un conoscente che rientra nella categoria, oppure cercherà di far avanzare il messaggio geograficamente mandandolo al conoscente che abita più vicino alla destinazione finale, o tutte due le cose assieme. Le due località iniziale e finale furono selezionate da Milgram con l’intento preciso che fossero estremamente diverse tra loro, come posizione geografica e composizione sociale. I risultati furono sorprendenti: la maggioranza delle lettere arrivò a destinazione, e ci arrivò con un numero medio di passaggi decisamente basso. Milgram dimostrò che in media 6 passaggi erano sufficienti per recapitare la lettera, e arrivò alla conclusione che, secondo una relazione di conoscenza diretta, ogni persona degli Stati Uniti è “separata” da qualsiasi altra soltanto da una catena di relazione lunga 6. L’esperimento diventò molto famoso, tanto da ispirare anche un pezzo teatrale, trasformato poi nel 1993 in un film dal titolo: Sei gradi di separazione.


A volte il caso …

Tsutomu Yamaguchi stava scendendo dal tram ad Hiroshima il 6 agosto 1945 ed essendo sopravvissuto all’esplosione della bomba atomica, denominata Little Boy, volle tornare subito nella sua città natale. Fu accontentato e venne quindi riportato a Nagasaki; dove, dopo lo scoppio della seconda bomba atomica, visse fino al 4 gennaio 2010. A ottant'anni scrisse un'autobiografia riguardante la sua esperienza, e fu invitato a partecipare a un documentario (nel 2006) intitolato Nijuuhibaku (Bombardati due volte) sulle 165 persone ufficialmente vittime di entrambe le bombe atomiche giapponesi. Fu un attivista anti-nucleare, e si prodigò presso l'assemblea generale delle Nazioni Unite affinché le armi nucleari fossero bandite. In una intervista disse: "La ragione per cui odio le bombe nucleari è per ciò che fanno alla dignità degli esseri umani".
 

 
Il concetto di entropia venne introdotto agli inizi del XIX secolo, nell'ambito della termodinamica, per descrivere una caratteristica (la cui generalità venne osservata per la prima volta da Sadi Carnot nel 1824) di tutti i sistemi allora conosciuti, nei quali si osservava che le trasformazioni avvenivano spontaneamente in una direzione sola, quella verso il maggior disordine.
In particolare la parola entropia venne introdotta per la prima volta da Rudolf Clausius nel suo “Trattato sulla teoria meccanica del calore” pubblicato nel 1864. Entropia deriva dal greco ἐν en, "dentro", e da τροπή tropé, "cambiamento".
Esistono diversi enunciati equivalenti del Secondo principio della termodinamica. Quelli che storicamente si sono rivelati più importanti sono:

«È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l'apporto di lavoro esterno» (formulazione di Clausius).
«È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea» (formulazione di Kelvin-Planck).
«È impossibile realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%.»
«È impossibile realizzare il moto perpetuo.»

Nella Fisica moderna la formulazione più ampiamente usata è quella che si basa sulla funzione entropia:

«In un sistema isolato l'entropia è una funzione non decrescente nel tempo.»

Questo principio ha avuto, da un punto di vista storico, un impatto notevole. Infatti, tramite la non reversibilità dei processi termodinamici, definisce la freccia del tempo.

Boltzmann fu il primo a mettere in relazione entropia e probabilità nel 1877, ma sembra che tale relazione non sia mai stata espressa con una specifica costante finché Planck, nel 1900 circa, introdusse per primo kB, calcolandone il valore preciso, e dandole il nome in onore di Boltzmann.
Infatti l'equazione S = kB log W presente sulla tomba di Boltzmann è dovuta a Planck, che la introdusse nello stesso articolo in cui introdusse la costante di Planck h. Come Planck ha scritto nella sua Nobel lecture nel 1920:
«Questa costante è spesso chiamata costante di Boltzmann, sebbene, per quanto ne so, Boltzmann non l'ha mai introdotta — una situazione particolare che può essere spiegata con il fatto che Boltzmann, come risulta dalle sue esternazioni occasionali, non ha mai pensato alla possibilità di effettuare una misurazione esatta della costante.»
 
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F.Luccio - L.Pagli, Storia matematica della rete, Bollati Boringhieri, Torino, 2007


 
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