In matematica una geodetica
è la curva più breve che congiunge
due punti. Le geodetiche nel piano sono le linee rette, su una sfera sono gli
archi di cerchio massimo. In ogni suo punto la normale principale ad essa
coincide con la normale alla superficie in quel punto; ovvero il piano
osculatore alla linea risulta normale alla superficie in quel punto.
Quali sono i cammini più brevi sui poliedri?
Un poliedro è
un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali e, se 2
punti giacciono sulla medesima faccia, il cammino più breve è un segmento di
linea retta. Se invece i 2 punti giacciono su facce adiacenti, allora il
cammino più breve appartiene ad una linea retta sulla superficie sviluppata
(aperta sul piano).
Prolungando questo segmento, oltre i suoi estremi, possiamo
congiungere tutte le coppie di punti della superficie del poliedro.
Questo argomento è stato brillantemente trattato nel numero 500 di Le Scienze nella rubrica dei mitici Rudi Matematici: Il problema di Aprile (500) - Immaginate di essere..., che questo mese ospitano il Carnevale della Matematica.
IL RAGNO E LA MOSCA
Nel precedente post: 16. Se la Terra fosse un Cubo; si
era visto che un pianeta a forma cubica di spigolo pari al diametro della Terra
(12.746 km), avrebbe una diagonale pari a 22.077 km. La differenza tra il punto
più elevato e quello più profondo, sarebbe di 4.665 km (4.665.000 metri). Sulla
Terra tra il Monte Everest (8.844 m) e la Fossa delle Marianne (-10.911 m) si
ha un dislivello di 19.755 m. Ipotizzando oceani profondi 10.000 m, gli 8
vertici sarebbero montagne alte 500 volte il Monte Everest. Per andare da una
delle 6 facce all'altra si dovrebbero superare valichi con altitudine pari a
300 volte il Monte Everest. Gli oceani potrebbero essere al massimo 6.
Nel sito di Carlos
Furuti, potete trovare molte Proiezioni
cartografiche:
e potrete anche stamparvi una Terra cubica.
Questo argomento è stato brillantemente trattato nel numero 500 di Le Scienze nella rubrica dei mitici Rudi Matematici: Il problema di Aprile (500) - Immaginate di essere..., che questo mese ospitano il Carnevale della Matematica.
Il grande matematico britannico Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930) ha inventato centinaia di giochi
matematici
 |
| Martin Gardner - Enigmi e giochi matematici |
ne verranno riportati un paio che trattano di geodetiche su
poliedri.
IL VIAGGIO
DELLA MOSCA
Una mosca, partendo dal punto A, può percorrere i 4 lati della base di un blocco cubico in 4
minuti. Quanto tempo ci vorrà per andare da A all’angolo opposto B?
La mosca selezionerebbe il percorso mostrato dalla linea nell'illustrazione,
che gli richiederà 2,236 minuti. Non andrà invece nella direzione indicata dalla
linea tratteggiata che potrebbe sembrare quella suggerita. Questo percorso è
più lungo e richiederebbe più tempo (2,414 minuti).
IL RAGNO E LA MOSCA
Una stanza rettangolare ha le dimensioni indicate in figura
(in misure inglesi). Un ragno, indicato con la stella gialla, si trova al
centro di una delle due pareti di fondo a un piede dal soffitto. Una mosca,
indicata con la stella scura, si trova invece sulla parete opposta, a un piede
dal pavimento. Qual è la distanza più breve che il ragno deve percorrere per
raggiungere la mosca?
Il modo più semplice per risolvere il problema consiste nello
sviluppare la stanza sul piano. In questo modo il percorso più breve risulta
l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, pari a 40 piedi.
Il paradosso, in questo caso, consiste nel fatto che il
percorso orizzontale potrebbe sembrare più breve, ma non è difficile verificare
che è pari a 42 piedi (2 in più).
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