Spesso
lo spazio viene visualizzato come un foglio di gomma incurvato dal Sole posizionato
al centro del foglio stesso, ma questa visione è abbastanza fuorviante e
ingannevole.
Mentre
è vero che il Sole introduce una piccola quantità di curvatura spaziale, la forza
di gravità newtoniana che sentiamo è dovuta quasi interamente alla curvatura
del tempo. La curvatura spaziale introduce solo una piccola correzione, che fino
alla seconda metà del XX secolo, si manifestava nell'unico effetto osservabile
della curvatura spaziale: l’avanzamento del perielio di Mercurio. In altre
parole, ciò che sperimentiamo come gravità ha a che fare con le (lievissime) differenze
alla velocità degli orologi, a seconda della loro distanza dalla sorgente di
gravità.
Le
orbite sono ciò che sono perché i pianeti si muovono non solo nello spazio, ma
anche nel tempo, seguendo la loro geodetica nello spazio-tempo. In assenza di
gravità queste geodetiche sarebbero linee rette. La presenza del Sole curva le
geodetiche verso la sorgente della gravità stessa. Quindi la flessione della
loro traiettoria spazio-temporale si manifesta come un'orbita curva attorno al
Sole. Questo significa semplicemente che lo stesso pianeta, ad esempio la Terra
che si sposta "di lato nello spazio" a 30 km/s, procede anche “in avanti
nel tempo” a quasi 300.000 km/s, e sarà la "curvatura temporale"
dello spazio-tempo che deciderà (quasi esclusivamente) il destino della sua
traiettoria.
Dopo aver fatto questa premessa, occupiamoci un po’ di
come la curvatura modifica la nostra realtà. Ad esempio, sappiamo tutti dai
nostri studi scolastici che, nella geometria euclidea, le formule per il
calcolo di circonferenza e area di un cerchio sono le ben note:
Come si è
già visto nel precedente post:
il valore di Pi Greco 3,14159 … è tale solo nel caso del piano euclideo, ma se cominciamo a curvare lo spazio, ci rendiamo conto che può assumere il valore che vogliamo; non solo, dato uno spazio a curvatura costante, cambia in funzione del raggio della circonferenza. Vediamo qualche esempio.
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Nella seguente tabella possiamo vedere che a in alcuni specifici casi, nella geometria sferica il rapporto è un numero intero: ad esempio per un angolo pari a 30 gradi il rapporto vale 6, mentre per 90 gradi vale (ovviamente) 4, e quello che potremmo identificare con Pi Greco vale la metà, rispettivamente 3 e 2.
Nella geometria iperbolica si possono avere i valori interi maggiori di 6.
Attenzione
però, il "Pi Greco" che usiamo per il calcolo dell’area non coincide con “quello”
usato per il calcolo della circonferenza:
Cioè
possiamo verificare che il valore di Pi Greco, definito come rapporto tra
circonferenza e diametro oppure come
rapporto tra area e quadrato del raggio, nel caso della geometria euclidea è la
stessa cosa, mentre sulla superficie della sfera assume valori differenti. L’ultima riga della
tabella corrisponde ad una circonferenza di raggio massimo che raggiunge gli
antipodi del suo centro, in questo caso la circonferenza si riduce a un punto,
mentre il rapporto dell’area con il quadrato del raggio vale 1,27 e qui salta fuori ancora il personaggio di
questo post, perché questo valore corrisponde a 4 / Pi Greco.
Vengono qui di seguito riportate alcune utili formule:
E per finire una bella foto di colui che di spazi
curvi se ne intendeva:
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