13. Equazioni del moto

Nel capitolo I del libro: Lev D. Landau, Evgenij M. Lifsits, Meccanica, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976 si puo' leggere:

"La conoscenza delle sole coordinate generalizzate non è sufficiente per determinare lo "stato meccanico" di un sistema ad un istante dato, non permette cioè di prevedere la posizione del sistema negli istanti successivi. Se vengono dati solo valori delle coordinate, il sistema puo' avere velocità arbitrarie, e a seconda dei differenti valori di queste, la posizione in un istante successivo può variare.

Se, invece, tutte le coordinate e le velocità sono date nello stesso istante, allora, come dimostra l'esperienza, è possibile determinare interamente lo stato del sistema e, in linea di massima, prevederne il moto futuro...

Le relazioni che legano le accelerazioni con le coordinate e le velocità si chiamano equazioni del moto. Rispetto alle funzioni q(t) esse sono equazioni ordinarie del secondo ordine la cui integrazione permette di determinare, in linea di massima, queste funzioni, cioè le traiettorie del sistema meccanico"

Partendo da queste semplici considerazioni, aggiungendo l'isotropia dello spazio e l'omogeneità dello spazio e del tempo, mediante il principio di minima azione, ricavano poi il principio di relativita' di Galilei

12. Postulati della relatività speciale (o ristretta)

Einstein per la definizione di relatività speciale partì da due postulati:

Primo postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;

Secondo postulato (invarianza della velocità della luce): la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il primo postulato deriva da quello di Galilei, mentre il secondo postulato indica che le equazioni di Maxwell, che permettono di calcolare la velocità della luce nel vuoto, devono valere in ogni sistema di riferimento inerziale.

 

Lo stesso Einstein nell’introduzione a “I fondamenti della teoria della relatività generale” dedica un paragrafo a questi postulati:

 

A. Considerazioni di principio sul postulato della relatività

§1. Osservazioni sulla teoria della relatività speciale

La teoria della relatività speciale si fonda sul seguente postulato, soddisfatto anche dalla meccanica di Galilei-Newton: se un sistema di coordinate K è scelto in modo tale che relativamente ad esso le leggi fisiche valgono nella loro forma più semplice, le stesse leggi valgono anche relativamente ad ogni altro sistema di coordinate K’, assunto in moto di traslazione uniforme rispetto a K. Chiamiamo questo postulato “principio di relatività speciale”. Attraverso la parola “speciale” si allude al fatto che il principio è ristretto al caso che K’ compia un moto di traslazione uniforme rispetto a K, ma che l’equivalenza di K’ e di K non si estende al caso di moto non uniforme di K’ rispetto a K.

La teoria della relatività speciale si discosta quindi dalla meccanica classica non per il postulato di relatività, ma soltanto per il postulato della costanza della velocità della luce nel vuoto, dal quale, in congiunzione con il principio della relatività speciale, discendono in modo noto la relatività della simultaneità, come pure la trasformazione di Lorentz e le leggi con questa associate sul comportamento in moto dei corpi rigidi e degli orologi.

La modificazione che la teoria dello spazio e del tempo ha subito a causa della teoria della relatività speciale è veramente profonda; ma un punto importante rimane intatto. Infatti anche secondo la teoria della relatività speciale le leggi della geometria si devono interpretare direttamente come le leggi sulle possibili posizioni relative di corpi rigidi (a riposo), più in generale le leggi della cinematica come leggi che descrivono il comportamento di regoli e orologi. A due punti materiali prefissati di un corpo (rigido) a riposo corrisponde perciò sempre un segmento di lunghezza completamente determinata, indipendente dalla posizione e dall’orientamento del corpo, come pure dal tempo; a due prefissate posizioni delle lancette di un orologio a riposo rispetto ad un sistema di riferimento (consentito) corrisponde sempre un intervallo temporale di lunghezza determinata, indipendente dalla posizione e dal tempo. Si mostrerà subito che la teoria della relatività generale non può attenersi a questa semplice interpretazione fisica dello spazio e del tempo.

http://it.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A0_ristretta

http://diamante.uniroma3.it/hipparcos/einsteinrelativit%C3%A0link.htm

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/10-relativita-bibliografia.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/09/80-relazione-massa-energia_27.html
http://zibalsc.blogspot.fr/2013/07/125-galilei-salviati-simplicio-e-sagredo.html


Abstract - Principle of relativity

11. Emmy Noether - Simmetrie

Se dopo una trasformazione di un oggetto, il sistema ritorna in una situazione equivalente a quella iniziale, si ha una simmetria.

Il teorema di Noether stabilisce un legame tra l'invarianza di una certa quantità rispetto ad una trasformazione continua e la relativa legge di conservazione. Fu dimostrato dalla matematica Emmy Noether nel 1915.

Il teorema di Noether vale solo per leggi di conservazione locali. Ad oggi, tutte le leggi di conservazione conosciute sono locali.

Leggi di conservazione:

della quantità di moto - deriva dall’ipotesi di omogeneità dello spazio

dell’energia - deriva dall’ipotesi di omogeneità del tempo

del momento angolare - deriva dall'ipotesi di isotropia dello spazio

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Noether

Anche la conservazione della carica elettrica si può far derivare dalla simmetria rispetto alle trasformazioni di Gauge

http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=532

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_gauge

Legge di conservazione - Wikipedia

10. Relatività - Bibliografia

Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley, 1972

Wolfgang Pauli, Teoria della relatività, Bollati Boringhieri, 2008

Kip S. Thorne, Charles W. Misner, John A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, 1973

Albert Einstein, Relatività: esposizione divulgativa, Bollati Boringhieri, 1967

Albert Einstein, Autobiografia scientifica, Bollati Boringhieri, 1979

Albert Einstein, Il significato della relatività, Einaudi, 1950

Albert Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri, 1988

Hermann Weyl, Space, Time, Matter, Dover, 1952

Hermann Bondi, La relatività e il senso comune, Zanichelli, 1963

Dennis W. Sciama, La Relatività Generale, Zanichelli, 1972

Max Born, La sintesi einsteiniana, Bollati Boringhieri, 1969

Arthur S. Eddington, Spazio, Tempo e Gravitazione, Bollati Boringhieri, 2003

Lev D. Landau, Evgenij M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976

Max Jammer, Storia del concetto di spazio, Feltrinelli, 1966


http://longstreet.typepad.com/thesciencebookstore/2013/01/einstein-lists-of-complete-publications-and-most-often-cited-papers.html?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+typepad%2FAeos+%28Ptak+Science+Books%29

Einstein: List of Complete Publications; Most Often Cited Papers & Contemporary Reviews

9. Ipersfere

Come riportato in wikipedia:  http://it.wikipedia.org/wiki/Ipersfera

Il "volume" di una ipersfera è dato da:

dove Γ denota la funzione gamma.
La "area superficiale" dell'ipersfera è invece data da:

 

In 3 dimensioni la formula per il calcolo del Volume e':
         
                                            

Mentre per la Superficie e':  
                                             

Per la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale, si ottiene che la Superficie e' la derivata del Volume.
             E questo in ogni dimensione:            D ( V_n ) = S_n-1

Essendo funzioni di potenza, il loro rapporto in ogni dimensione risulta notevolmente semplice:

                                     V_n / S_n-1  =  R / n           (es. in 3 dim. = R / 3 )

      http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

Nelle formule per il calcolo di Ipervolumi e Ipersuperfici in 2 e 3 dim. compare π, mentre in 4 e 5 dim. π², in 6 e 7 dim. π³   e così via.

Come esempio per un numero di dimensioni pari si ha:

mentre per numero di dimensioni dispari:

.