37. Funzioni Analitiche

Una funzione analitica è una funzione localmente espressa da una serie di potenze convergente.
Le funzioni analitiche possono essere viste come un ponte fra i polinomi e le funzioni generiche. Funzioni di questo tipo sono infinitamente derivabili.

Una funzione è analitica se e solo se, preso comunque un punto appartentente al dominio della funzione, esiste un suo intorno in cui la funzione è uguale alla sua serie di Taylor.

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_analitica

Questo ha come conseguenza che, a partire da un qualsiasi intervallo di una funzione analitica, si può ricostruire l'intera funzione.

Sono funzioni analitiche polinomi, funzioni trigonometriche, ecc.

36. Il paradosso di Monty Hall

Nel gioco a premi americano “Let's Make a Deal” erano presenti tre porte.

Dietro due c’erano due capre, mentre dietro la terza un’automobile.

Veniva chiesto al concorrente di scegliere una delle tre porte.

Dopo che il giocatore aveva selezionato una porta, ma non l'aveva ancora aperta, il conduttore dello show, che conosceva dove si trovava l’automobile, apriva una delle altre due, rivelando una delle due capre; quindi offriva al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante.

La domanda e’: cambiare porta migliora le possibilità del giocatore di vincere l'automobile?

Anche se può apparire strano, la risposta è sì.

Accettare lo scambio significa sostituire la propria condizione iniziale con quella del conduttore.
Quindi, cambiando, le probabilità di successo aumentano da 1/3 a 2/3.

Questo perché il giocatore dopo la prima scelta ha probabilità 1/3 e il conduttore 2/3.    Aprire la porta che sicuramente non nasconde l’automobile, non modifica le condizioni iniziali.

http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall
http://xmau.com/notiziole/arch/200909/005994.html

35. Escher - Studio per Stelle

http://www.youtube.com/watch?v=9WHdyG9mJaI&context=C3ceadd3ADOEgsToPDskLlwtChO3oZKUxKT4LOX5P_

http://www.mcescher.com/

http://britton.disted.camosun.bc.ca/escher/jbescher.htm

http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/index.asp

http://aixa.ugr.es/escher/table.html

http://zibalsc.blogspot.com/2012/01/95-galleria-di-stampe.html

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34. Formula prodotto di Eulero

Il Prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737,

dove il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa importante formula mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi.

Esemplificando il prodotto infinito:

ha lo stesso valore della sommatoria della serie:

Più di un secolo dopo Bernhard Riemann nel 1859 utilizzò questa formula per stabilire una relazione tra i suoi zeri e la distribuzione dei numeri primi -  Ipotesi di Riemann:

le radici non banali si trovano tutte sulla retta descritta dall'equazione s = 1/2 + it , con t numero reale e  i  unità immaginaria.

http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_prodotto_di_Eulero

http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann

http://it.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://it.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
http://mathworld.wolfram.com/EulerProduct.html
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

.

33. Partizione di un Numero Intero

Una partizione e' un modo di esprimere un numero come somma di interi positivi.
Il numero di partizioni P(n) per n uguale a 3 e 4 vale:

P(3) = 3 ;       3   :   2+1   :   1+1+1
P(4) = 5 ;       4   :   3+1   :   2+2   :   2+1+1   :   1+1+1+1

Questo numero cresce molto rapidamente con n  (es. P(10) = 42 ):

  n  0 1 2 3 4 5  6  7  8  9 10 11 12  13  14  15  16 
P(n) 1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231
Al contrario di Combinazioni e Permutazioni, non esiste una formula semplice per questa successione; nel 1918 Ramanujan e Hardy pubblicarono una formula asintotica per questa funzione.
       
                 
          
http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione_di_un_intero
http://mathworld.wolfram.com/Partition.html

Recentemente e' stata trovata una relazione tra la distribuzione delle partizioni e i frattali:
http://www.wired.com/wiredscience/2011/01/partition-numbers-fractals/#