32. Colori dei Rumori

Un sistema in grado di generare uno spettro sonoro uniforme per tutte le frequenze esteso da zero a infinito viene definito Rumore Bianco.  Nel Rumore Rosa le componenti a bassa frequenza hanno potenza maggiore, il livello diminuisce di 3 dB per ottava. Se invece l’intensità’ diminuisce di 6 dB per ottava, il Rumore viene chiamato Marrone.

Possono essere definiti anche altri tipi di colore, es.: Rosso, Blu, Violetto, ecc.

http://fisicaondemusica.unimore.it/Diversi_tipi_di_rumore.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Rumore_rosa

http://it.wikipedia.org/wiki/Rumore_bianco

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31. Teorema del punto fisso di Brouwer

Il Teorema di Brouwer è un teorema topologico che afferma:   
in uno spazio euclideo ogni funzione continua che porta la palla unitaria in se stessa ha un punto fisso.

O in generale:  
ogni funzione continua che mandi un sottoinsieme compatto convesso e non vuoto di Rⁿ in sé stesso ha un punto fisso.

In particolare il teorema vale anche per un quadrato (o un cubo o un ipercubo), ecc.

Questi enunciati hanno risvolti semplici ma sorprendenti, ad esempio:

- se si prendono due fogli di carta e  accartocciamo quello superiore, il teorema di Brouwer asserisce che i due fogli hanno almeno un punto in comune;

- un risultato analogo si ha mescolando una tazzina da caffè, in ogni momento almeno un punto si trova nel punto iniziale (anche se non possiamo sapere quale con esattezza),

- infine, se si mette per terra una cartina del posto in cui ci si trova (con qualsiasi scala), almeno un punto della cartina stradale coinciderà con il luogo che rappresenta.

Su, Francis E., et al. "Brouwer Fixed Point Theorem." Math Fun Facts. http://www.math.hmc.edu/funfacts  

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20002.7.shtml

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_punto_fisso_di_Brouwer    http://it.wikipedia.org/wiki/Categoria:Punti_fissi

Abstract -  Brouwer's fixed-point theorem
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30. Doomsday

Ogni anno il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12, sono sempre lo stesso giorno della settimana  (nel 2011 Lunedì,  nel 2012 Mercoledì).
Questo giorno viene chiamato Doomsday.

Questo perché dal mese di Marzo il numero di giorni e’:

mese                    4               6               8             10               12

giorni        31,   30,   31,   30,   31,   31,   30,   31,   30  e  31

Cioè a parità di numero, tra 2 mesi pari successivi ci sono sempre 61 giorni (30+31). Per cui avanzando di 2 giorni ogni 2 mesi si hanno: 30+31+2 = 63 gg = 9 settimane.

http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_rule

http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/

http://zibalsc.blogspot.com/2012/01/92-doomsday-2012.html

Sono Doomsday anche il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

29. Prodotti Infiniti: Wallis e Pippenger

Il prodotto di Wallis e’ una formula trovata nel 1655 da John Wallis, che permette di calcolare il valore di p con il semplice prodotto infinito:

Nick Pippenger ha ricavato un prodotto infinito per  e :

http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product#Product_representations_of_functions

http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html

http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html

Dalla formula di Wallis si puo’ anche ricavare:

Nel sito  WolframMathWorld :

http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html

si può trovare un ampio elenco di prodotti infiniti.
In particolare, la formula ricavata sopra e' un caso semplice (21) di un insieme piu' generale (D.W.Cantrell, 2006)

28. Come Funziona La Macchina Per Cucire

cliccare sulla figura

E' una questione topologica: quando l'ago oltrepassa il tessuto sotto, porta con se' il filo formando un cappio. Dall'altra parte vi e' un sistema che infila il filo del secondo rocchetto (quello piccolino dentro la macchina) in questo cappio, poi l'ago sale portandosi con se' anche il secondo filo.
In questa maniera si formano tutta una serie di nodini lungo la cucitura tra il rocchetto superiore, quello grande, e quello inferiore, quello piccolo.
http://www.colombodimaresso.it/come-funziona-macchina-pm-15.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Macchina_per_cucire
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27. Link Astrofili

Sito ufficiale della UAI (Unione Astrofili Italiani), dove è possibile reperire tutte le informazioni sull'Associazione, gli eventi, le novità, gli osservatori:
http://www.uai.it/web/guest/home

http://forum.astrofili.org/

http://diamante.uniroma3.it/hipparcos/paginainiziale.htm

http://gacb.astrofili.org/

http://www.astrofilimilano.org/

http://astrofilicatanesi.it/index.php

http://osservareilcielo.altervista.org/index.html

http://astronomylinks.com/

http://www.skyandtelescope.com/index.html

CAT - Circolo Astrofili Trezzano, che si riunisce ogni primo mercoledì del mese:  http://www.astrofilitrezzano.it/

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26. Effetto Fionda Gravitazionale

Questo effetto viene sfruttato per incrementare la velocità di una sonda utilizzando il campo gravitazionale di un pianeta. Come scritto in Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Fionda_gravitazionale

“Il guadagno di energia cinetica è spiegato dal fatto che è il pianeta a perdere parte della sua energia cinetica, rallentando il suo moto di rivoluzione e stringendo la sua orbita, ma in maniera del tutto impercettibile. Questo perché il trasferimento di energia dal pianeta al velivolo è inversamente proporzionale alle masse: il pianeta perde così una quantità irrisoria di energia, lasciando praticamente invariata la propria orbita.

In base alla traiettoria, l'astronave può guadagnare fino a due volte la velocità orbitale del pianeta.
Nel caso di Giove, questa è di oltre 13 km/s (46800 km/ora).   In questo modo, il pianeta presta al veicolo una quantità di momento angolare supplementare necessaria affinché raggiunga Saturno usando poco o nessun combustibile in più di quello usato per raggiungere Giove."

25. Corpi in moto a velocità Relativistiche

L’immagine di un cubo in moto coincide con l’immagine del cubo fermo ruotato di un certo angolo j. Questo angolo e’ determinato dalla relazione  sin j = b = v/c.

In accordo con le usuali regole di misura delle lunghezze, il lato parallelo al moto subisce la contrazione di Lorentz:  l’ = l (1 - b²) ^½

Da ciò appare che una sfera ruota, ma il suo contorno non varia.

Vladimir A. Ugarov, Teoria della relatività ristretta, Ed. MIR, 1982 - pag.75

http://jila.colorado.edu/~ajsh/insidebh/intro.html

24. Moto della Ruota

Un disco che rotola su un basamento ha sempre un punto (chiamato centro di istantanea rotazione) che risulta istantaneamente fermo.

Questo e’ il punto di contatto tra il disco e il basamento. Tutti i punti del disco partecipano rigidamente alla rotazione istantanea  attorno al punto di contatto.

http://fisicavolta.unipv.it/didattica/attrito/Geometria.htm

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23. Quanti Anni Luce cubici servono per fare una stella?

Se la densità media dell’Universo fosse come ipotizzato 1 atomo di idrogeno per metro cubo, per accumulare un numero di atomi necessari a formare una stella come il Sole servirebbero circa 1 miliardo di Anni Luce cubici  (1 Anno_Luce³ = 8,5 x 10⁴⁷ m³).

La massa degli atomi contenuti in un cubo con spigolo 1 Anno Luce, basterebbe per 1 quinto della Luna.

                          1 Anno Luce = 9.467.280.000.000.000 metri

http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_intergalattico

http://it.wikipedia.org/wiki/Sole

http://it.wikipedia.org/wiki/Luna

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/8-anni-luce.html

La densità dello Spazio non e’ uniforme. Come riportato nel sito del Gruppo Astrofili Hipparcos:

http://diamante.uniroma3.it/hipparcos/linkgalassiaeccetera.htm

“Le nubi del disco della Via Lattea sono composte per il 99% di gas, principalmente idrogeno, con una densità di appena 1 atomo per 2-3 cm³ (si pensi che invece la densità dell'aria è di 2,7 x 10¹⁹ molecole per cm³). Nonostante la densità sia così bassa rispetto a quella terrestre, risulta quanto mai elevata se la si confronta con la densità media dello spazio interstellare.”

22. Probabilità e Paradossi

La Probabilità di vincita secca azzeccando 6 numeri al Superenalotto e’ 1 su 622.614.630 combinazioni. Questo numero e’ di fatto molto alto. Per rendersene conto basta pensare che nessuno giocherebbe la combinazione " 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ", perché a livello intuitivo sembra talmente improbabile da non potersi verificare … anche se ha la medesima opportunità  di tutte le altre.

http://it.wikipedia.org/wiki/Superenalotto

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21. Dodecaedro e Cubo

Il Dodecaedro possiede  12 Facce, 30 Spigoli e 20 Vertici,
mentre il Cubo possiede    6 Facce, 12 Spigoli e   8 Vertici
Il numero di elementi soddisfa la formula di Eulero:   V + F = S + 2

Come mostrato alla relativa voce di Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Dodecaedro , Euclide nel libro XIII dei suoi Elementi dimostra che un Dodecaedro Regolare e un Cubo possono essere inscritti nella stessa Sfera, facendo coincidere ognuno dei 12 Spigoli del Cubo con una delle 12 Facce del Dodecaedro.

vedi:  http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/2-formula-di-eulero-per-i-poliedri.html

20. Quadrato di Numeri Semidispari

Il calcolo del quadrato di un numero semidispari (metà di un numero dispari, es. 3,5 o 5,5), si ottiene addizionando 0,25 al prodotto del numero intero precedente e con quello successivo al numero dato:

Es.: (3,5)² = 0,25 + 3 x 4 = 12,25;  (5,5)² = 0,25 + 5 x 6 = 30,25

Questo si puo’ dedurre da: (N-0,5) x (N+0,5) = N² – 0,25

19. Ipertetraedro

Come visto nel post:  2. Formula di Eulero per i Poliedri

in 3-dim. si ha   V + F = S + 2,

dove  V = numero di Vertici;   F = numero di Facce  e   S = numero di Spigoli

mentre in 4-dim.   V + F = S + C

Per il tetraedro 3-dim.:   N₀ = V = 4,  N₁ = S = 6   e   N₂ = F = 4

Per l’ipertetraedro 4-dim.:  V = 5,  S = 10,  F = 10  e  N₃ = 5

I valori per 3-dim. e 4-dim. sono rispettivamente gli elementi della quarta e quinta riga del Triangolo di Tartaglia

http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_di_Tartaglia

Ad es. in 5-dim. si ha:    N₀ = 6,   N₁ = 15,   N₂ = 20,   N₃ = 15  e   N₄ = 6
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18. Equazione del Tempo

La differenza tra il tempo medio e il tempo solare vero ad uno stesso istante si chiama Equazione del Tempo. La differenza dipende sostanzialmente da 2 fattori:

1) La Terra non si muove di moto circolare uniforme attorno al Sole, ma percorre un'orbita ellittica variando continuamente la sua velocità, che è massima al perielio e minima all'afelio. Di conseguenza il moto apparente annuo del Sole lungo l'eclittica non è uniforme ma massimo al perigeo e minimo all'apogeo.

2) Il piano dell'eclittica è inclinato di circa 23°.5 rispetto al piano dell'equatore. Se lungo i meridiani celesti proiettiamo sull'equatore archi di eclittica uguali tra loro, le proiezioni non sono archi uguali tra loro. Gli archi vicini ai solstizi sono significativamente più lunghi rispetto a quelli vicini agli equinozi. Di conseguenza, anche per questo motivo, l'ascensione retta del Sole cresce nel corso dell'anno in modo non uniforme.

Sono solo quattro i giorni in cui l'ora del nostro orologio coincide, per quanto riguarda l'equazione del tempo, con quello della meridiana:

16 aprile, 13 giugno, 1 settembre, e 25 dicembre.

La Terra il 3-4 gennaio si trova al perielio, 1.67% più vicina al Sole rispetto alla distanza media e la sua velocità angolare è superiore del 3,37%. Il risultato è che in quella data, il giorno è più lungo di 7.9 secondi.

http://www.aavapieri.org/articoli/eqtempo.htm

http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/app/eqtempo-doc.htm

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_del_tempo

La differenza tra tempo medio e tempo solare vero fa sì che, mentre il giorno più corto rimane il 21 Dicembre, il Sole Tramonti prima il 10 Dic. e Sorga più tardi il 4 Gennaio

http://www.marcomenichelli.it/sole.asp

http://www.cosediscienza.it/tempo/01_santalucia.htm

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17. L'Ipotesi del Continuo

Paul J. Cohen, La teoria degli insiemi e l’ipotesi del continuo, Feltrinelli, 1966

“… La ragione principale per cui si accetta l’assioma dell’infinito e’ forse perché sembra assurdo pensare di poter esaurire tutto l’universo aggiungendo solo un insieme alla volta. Analogamente per gli assiomi forti dell’infinito. Ora À₁ e’ l’insieme degli ordinali numerabili e questo e’ solo un modo speciale , anzi il modo più semplice di generare un cardinale superiore. L’insieme C, al contrario, e’ generato da un principio totalmente nuovo e più potente, vale a dire l’assioma dell’insieme potenza. Non e’ ragionevole aspettarsi di poter raggiungere C con la descrizione di un grande cardinale costruito con mezzi che derivano dall’assioma di rimpiazzamento. Dunque C e’ piu’ grande di À_n, À_w, À_a con a = À_w ecc. Il punto di vista che presentiamo concepisce C come un insieme incredibilmente ricco che ci e’ dato da un solo forte assioma e che non può mai essere raggiunto da nessun processo di costruzione per aggiunte successive. Forse le generazioni future vedranno il problema con maggior chiarezza e si sapranno esprimere in modo più eloquente.”

«Nessuno potrà cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi.» David Hilbert

L’ipotesi del continuo e’ il primo dei 23 problemi formulati da David Hilbert l'8 agosto 1900 nella sua conferenza al Congresso Internazionale dei Matematici svoltasi a Parigi.

In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali R (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere C.

La famosa ipotesi del continuo afferma che C è anche il primo numero aleph, cioè À₁. In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme A avente cardinalità strettamente compresa tra À₀ e C.
Nel 1938 Gödel dimostra che l'ipotesi del continuo è consistente con la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel; nel 1963 Cohen dimostra che anche la sua negazione lo è.

Oggi quindi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi.

http://www.vialattea.net/pagine/infinito/index.html#somm      http://www.arrigoamadori.com/cmc/TutorialMatematica/InsiemiFinitiEdInfiniti/InsFinInfin.htm
http://matematica-old.unibocconi.it/hilbert/problemi.htm#dieci
http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit%C3%A0_del_continuo
http://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_di_Hilbert

http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo

Lucio Lombardo Radice, L’infinito, Ed Riuniti, 2006

16. Se la Terra fosse un Cubo

Un pianeta a forma cubica di spigolo pari al diametro della Terra (12746 km), avrebbe una diagonale pari a 22077 km. Cioe' la differenza tra il punto piu' elevato e quello piu' profondo, sarebbe di 4665 km (4665000 metri).
Sulla Terra tra il Monte Everest (8844 m) e la Fossa delle Marianne (-10911m) si ha un dislivello di 19755m.
Ipotizzando oceani profondi 10000 m, gli 8 vertici sarebbero montagne alte 500 volte il Monte Everest! Per andare da una delle 6 facce all'altra si dovrebbero superare valichi con altitudine pari a 300 volte il Monte Everest. Gli oceani potrebbero essere al massimo 6.

http://it.wikipedia.org/wiki/Terra
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15. Spaziotempo di Minkowski

Albert Einstein in ”Relatività’: Esposizione Divulgativa” commenta:

“(la scoperta di Minkowski ha) riconosciuto che il continuo quadridimensionale della teoria della relatività rivela la più stretta affinità con il continuo tridimensionale (sostituendo t con ict) … Queste osservazioni possono dare una vaga idea dell’importante concezione di Minkowski, senza la quale la teoria della relatività generale sarebbe probabilmente rimasta in fasce.”

Hermann Minkowski (1864-1909) nel 1907 introdusse uno spaziotempo quadridimensionale composto dall'usuale spazio a 3 dimensioni con il tempo come coordinata aggiuntiva “immaginaria”. Purtroppo Minkowski non ebbe occasione di vedere la relatività generale perché morì nel 1909 in seguito ad un attacco di appendicite.

http://it.wikipedia.org/wiki/Hermann_Minkowski

http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Minkowski

http://it.wikipedia.org/wiki/Spaziotempo

la "distanza" fra due eventi (x,y,z,t) e (x',y',z',t') è la quantità:

        

La presenza di “c” trasforma il tempo in “spazio”. Un’automobile con velocità 90 km/h percorre 25 metri in 1 secondo; mentre nel tempo “percorre” 300.000.000 di metri!

E’ questa enorme differenza che rende difficile rilevare gli effetti relativistici.

Considerazioni analoghe si possono fare anche in relatività generale per la curvatura dello spaziotempo.

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/10-relativita-bibliografia.html

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14. Potenze Complesse

Roger Penrose nel capitolo 5 del suo libro,
La strada che porta alla realtà, Rizzoli, 2005,  cita la grandezza:

                          iⁱ = e^{i lni} = e^{i ½πi} = e^-π/2 = 0,207879…

In effetti esistono infinite soluzioni, che possono essere ottenute da:  e^{-(π/2 + 2kπ)}
con k intero; essendo  e ^2π = 535,491655…, al variare di k per esempio si hanno anche:   0,0003882.. ;  111,3177.. ;  59609,741.. ;  31920519,15..

Come indica Penrose “la cosa più immaginaria che si potesse ottenere” e’ tuttavia un numero reale.

Anche in questo caso i 3 valori:   e , i , π  partecipano alla stessa formula.

Il caso piu' noto dove compaiono contemporaneamente e' l'Identità di Eulero:  

 e ^iπ = -1

considerata da molti la piu' bella formula della matematica.

La  radice i-esima di i      ⁱ√ i  =  4,810477… = e ^π/2
Quest’ultima ha la peculiare proprietà di essere il reciproco di iⁱ

Dall'Identità di Eulero si ricava anche la costante di Gelfond:

   e^π = (-1)^-i  =  23,14069...

Sottraendo π a questo valore si ha un numero "quasi intero":
                                  e^π - π = 19,999099979  (circa 20)


http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Gelfond

http://zibalsc.blogspot.com/2011/08/73-somma-di-ipersfere.htmlhttp://it.wikipedia.org/wiki/La_strada_che_porta_alla_realt%C3%A0
http://www.ildiogene.it/EncyPages/Ency=Penrose.html
http://www.arrigoamadori.com/cmc/TutorialMatematica/NumeriComplessi/NumeriComplessi.htm
http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

Murray R. Spiegel,  Variabili Complesse, McGraw-Hill (Schaum), 1994