Del
Paradosso dei Gemelli si è già parlato due anni fa nel post 67, ma uno dei
passaggi riguardante il calcolo del tempo trascorso in uno dei 2 sistemi di
riferimento arrivava a considerazioni sbagliate. Questo può succedere per
motivi legati alla fiducia riposta in Wikipedia o alla pigrizia nel ripetere
tutti i conti.
Riprenderemo
in sintesi quanto già scritto, correggendo gli errori e aggiungendo esempi
dettagliati e alcune tabelle.
Pur
essendone un assiduo frequentatore, non sono in grado di correggere la pagina
di Wikipedia riguardante il Paradosso dei Gemelli che riporta alcune conclusioni inesatte o spiegate in modo non
chiaro, ma sarei felice di collaborare al miglioramento dei contenuti. Voglio
ringraziare Maurizio Cavini che ha
evidenziato l’incongruenza delle conclusioni ottenute.
L'apparente
contraddizione del Paradosso consiste nel considerare l’evoluzione temporale di
2 Gemelli, di cui uno decide di partire per un viaggio interstellare mentre
l’altro rimane a Terra ad attenderlo.
Per
quanto previsto dalla Relatività Ristretta di Albert Einstein,
ognuno dei 2 sistemi inerziali in moto
uniforme, vede il tempo dell’altro sistema dilatato,
cioè gli orologi risultano rallentati.
Nell’esempio riportato
in Wikipedia: Paradosso dei gemelli,
nell’anno 3000 un’astronave parte per un viaggio sino a Wolf 359 (distante 8
anni luce).
Si suppone che la
velocità relativa sia: v = 240.000
km/s (cioè v = 0,8 c).
Per questa velocità si
ha:
per
cui, secondo la teoria della Relatività
Ristretta, nel sistema in movimento il tempo scorre al 60% del tempo nel sistema in quiete.
Quindi:
1) nel sistema di riferimento della
Terra, l'astronave percorre 8
anni luce in 10 anni nel viaggio di andata, e ne impiega altrettanti nel
viaggio di ritorno:
ritorna sulla Terra nel 3020.
Sull'astronave il tempo scorre al 60%
di quello terrestre e secondo l'orologio
dell'astronauta il viaggio dura 6 anni per l'andata e altrettanti per il
ritorno: all'arrivo il calendario dell'astronave segna l'anno 3012 ed il gemello rimasto sulla Terra
è perciò, dopo il viaggio, di 8 anni più vecchio del suo gemello.
Sino
a qui è tutto corretto. Ora però per considerare il punto di vista dell’astronauta,
si devono prima fare alcune premesse; e cioè che tra 2 sistemi inerziali che si
muovono di moto uniforme valgono i seguenti fenomeni:
a)
le lunghezze si
contraggono; per cui ponendo una stazione spaziale ogni anno luce (L0),
l’astronauta misurerà ogni intervallo 0,6 anni luce,
b)
i tempi
rallentano; per cui l’astronauta vedrà i 9 orologi (posti sulla
Terra, sulle 7 stazioni spaziali e vicino a Wolf 359) rallentare,
c)
la simultaneità
di 2 eventi non causalmente connessi dipende dal sistema di riferimento, per
cui se sincronizziamo tra di loro i 9 orologi, l’astronauta, che all’istante
iniziale si trova a passare vicino alla Terra, vedrà ogni singolo orologio in
avanti di
L0 v / c2 = ( 1 anno luce / c ) x ( v / c ) = 1 anno x 0,8
= 0,8 anni
Per l’osservatore T sulla
Terra il suo calendario e quello del collega posizionato vicino a Wolf 359 segnerebbero
il primo gennaio 3000, mentre
l’astronauta A
concorderebbe con la data del calendario terrestre, ma un evento su Wolf 359 avvenuto
in modo simultaneo per T (il primo osservatore) il giorno 1/1/3000, sarebbe registrato da A come avvenuto 6,4 anni dopo cioè il 27/5/3006.
E’ importante precisare che non
prenderemo in considerazione i ritardi dovuti al tempo di viaggio ed ai ritardi
dovuti al fatto che la luce impiega anni ad arrivare all’osservatore, perché’
possiamo pensare di avere telecamere situate in ogni postazione che registrano
i passaggi con le indicazioni di data e ora; ed in seguito inviano le
informazioni a Terra o all’astronave.
E’
ora riproposto il punto di vista riveduto
e corretto del secondo sistema di
riferimento.
2) nel sistema di riferimento
dell'astronave, per effetto della contrazione
relativistica delle lunghezze, la
distanza fra Terra e Wolf 359 si
accorcia al 60%, cioè da 8 a 4,8
anni luce. Alla velocità di 0,8 c, si impiegano quindi, secondo l'orologio
dell'astronave, 6 anni per l'andata
e 6 per il ritorno, coerentemente con quanto calcolato nel sistema di
riferimento della Terra. Poiché in questo sistema di riferimento è la Terra a
muoversi, è l’orologio di T che va al 60%
del tempo A
dell'astronave: quindi per A il tempo trascorso per T è di 3,6 anni solamente!!!
Ora
però non
si deve dimenticare che A vede gli orologi inerziali con T non
simultanei tra loro ed in particolare quello posizionato vicino a Wolf 359 in anticipo di 6,4 anni.
3,6 anni + 6,4 anni = 10
anni
Quindi entrambi gli osservatori
concordano che una volta arrivato vicino a Wolf 359 il calendario inerziale con
T
segnerà 1/1/3010, mentre quello di A il 1/1/3006.
Per
evitare considerazioni legate all’accelerazione a cui si sottopone l’astronave
per invertire la rotta, che, come mostrato nel precedente post, possono essere
risolte con il formalismo utilizzato dalla Relatività
Generale, possiamo supporre che una seconda astronave (la chiameremo B) si
trovi a passare nei pressi di Wolf 359, con uguale velocità e direzione ma
verso opposto, il 1/1/3010 (per T). Per B
valgono le stesse considerazioni fatte per A, solo che in questo caso la simultaneità degli orologi
come visti da B
risulta invertita rispetto a prima.
Non
rifarò un altro ragionamento analogo al precedente, ma all’arrivo di B sulla
Terra
il calendario terrestre indicherà 1/1/3020, mentre quello di B 1/1/3012.
e
questo per entrambi gli osservatori.
Di
seguito sono riportate alcune tabelle che esemplificano quanto detto in
precedenza.
La prima tabella mostra i 9 orologi (posti sulla Terra, sulle 7
stazioni spaziali e vicino a Wolf 359) come visti dai 2 osservatori al momento
della partenza; come si vede sono simultanei solo nel sistema inerziale
terrestre:
La seconda tabella nella prima colonna
mostra quanto indicato dai calendari simultanei a quello terrestre e
naturalmente anche quello che vede l’astronauta al passaggio nelle varie
stazioni spaziali, mentre nel resto della tabella quanto indicato dal
calendario sull’astronave:
La terza tabella nella prima colonna mostra
quanto visto all’andata da A e al ritorno da B in modo analogo alla situazione
precedente, ma considerando a riposo il sistema inerziale della navicella
spaziale:
Oltre
ai libri già citati consiglio la lettura di:
Daniel
Styer, Capire davvero la relatività,
Zanichelli, 2012
http://online.scuola.zanichelli.it/chiavidilettura/capire-davvero-la-relativita/
che
ha contribuito a chiarirmi le idee.
Hermann Bondi, La relatività e il senso comune,
Zanichelli, 1965
L.
D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei
Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976
B.A.
Dubrovin et al., Geometria contemporanea
I, Editori Riuniti, 1987
Steven Weinberg, Gravitation and
Cosmology, J.Wiley, 1972
http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/12-postulati-della-relativita-speciale.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/06/67-paradosso-dei-gemelli_28.html
