281. La linea più corta

Problema: dividere in 2 parti uguali la superficie di un triangolo equilatero di lato unitario con la linea di minima lunghezza.

Le rette più semplici per sezionare il triangolo sono AH e EF. La prima, in blu, lo divide in 2 parti uguali e (come noto) è lunga 0,866; mentre la seconda, in verde, è più corta: 0,707.

Però nessuna delle 2 è di lunghezza minima. L’arco di circonferenza MN è il più corto: 0,673.

Questo può essere mostrato facilmente se si immagina un esagono (6 triangoli uguali con centro in A) di cui questo triangolo è quello posto in basso.

A questo punto la circonferenza (rossa) ha la proprietà di essere la curva di lunghezza minima che racchiude un’area data.

Questo vale per i singoli settori dell’esagono e può essere dimostrato che anche per un triangolo qualsiasi si hanno sempre archi di circonferenza.

Un altro esempio interessante è il seguente, dove per costruzione l’arco di circonferenza ha la stessa lunghezza dell’ipotenusa del triangolo (ma io faccio fatica a vederlo)

Ho provato a porre il quesito a 2 motori di ricerca: in un caso ho ottenuto risposte corrette, mentre l’altro ha scritto che esistono tagli rettilinei e anche dopo aver chiesto se esistessero sezioni curve ho ottenuto questo: