198. Acqua, Luce e Gas

Questo è uno di quei classici problemi presente in molti libri divulgativi.

Ci sono 3 case e 3 aziende che forniscono servizi: Acqua, Luce e Gas.

Ovviamente ogni casa deve ricevere i 3 servizi. Nel mondo reale (avendo a disposizione 3 dimensioni) il problema sarebbe facilmente risolvibile, ma nel mondo matematico possiamo imporre le condizioni che vogliamo, ad esempio:
 

1)    non si può uscire dal piano;

2)    non si può passare dove sono presenti altri servizi o aziende e case.
 

Henry Dudeney (1857–1930) scrisse che il problema è "vecchio come le colline ... molto più vecchio di illuminazione elettrica e anche del gas".

 

 

Se volete pensarci su, dovete fermarvi qui.

Cominciamo con Sam Loyd (1841–1911) che è stato uno scacchista e creatore di enigmi matematici statunitense.

E’ famoso per aver reso popolare, nel 1880, il gioco del 15:

 

 

Offrì anche un premio di 1000 dollari a chiunque fosse riuscito a risolvere il gioco con le tessere 14 e 15 scambiate tra loro:

Sapendo però che la soluzione non esiste.

Per il problema di collegare i servizi è stata proposta la seguente soluzione:

 

© G. Sarcone, giannisarcone.com, immagine tratta da "Puzzillusions", p.82

 
Ma anche in questo caso si tratta di uno scherzo:

 

© G. Sarcone, giannisarcone.com, immagine tratta da "Puzzillusions", p.82

Infatti, per le condizioni poste, la soluzione non esiste, a meno che non si faccia qualche eccezione o non ci si limiti al normale piano euclideo.

 

Il primo caso consiste nel trasgredire la seconda condizione e permettere ad uno dei servizi di passare sotto una casa:

 

Il secondo è più interessante. Consiste nell’ incollare insieme i lati opposti di un quadrato. In questo modo si ottiene una superficie a forma di ciambella che in geometria si chiama Toro o Toroide.

 

 

Sul Toro non valgono molti teoremi della geometria piana. Ad esempio, non vale il teorema dei quattro colori. Per il Toro sono necessari 7 colori diversi affinché due regioni confinanti non abbiano lo stesso colore.

È stata dimostrata una generalizzazione del teorema dei 4 colori da cui consegue che 7 colori sono sufficienti per colorare qualsiasi suddivisione del Toro.

 

Eseguendo 2 tagli (A e B) su un Toro si ottiene un quadrato di lati A e B.

 

 

Su una superficie di questo tipo, se ci si muove verso destra uscendo dal lato A, si rientra dal lato opposto ed equivalentemente se si esce dall’alto (B) si rientra dal basso e viceversa.

 

Anche per la superficie di una Sfera avviene una cosa analoga, ma al contrario di questa, nel caso del Toro il percorso orizzontale NON interseca quello verticale, per cui si può trovare una soluzione al problema “Acqua, Luce e Gas”:

 

 

 

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Water,_gas,_and_electricity
http://www.archimedes-lab.org/How_to_Solve/Water_gas.html
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/3Utilities.shtml

 

http://puzzles.nigelcoldwell.co.uk/twentysix.htm
http://www.wdigitals.com/2015/06/the-water-gas-and-electricity.html
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Dudeney/Dudeney.htm
http://dropseaofulaula.blogspot.it/2014/02/i-rompicapi-di-alice-il-problema-dei.html

Formula di Eulero e teoria dei Grafi

 

Per verificare quanto detto, possiamo fare ricorso alla teoria dei grafi e alla formula di Eulero (che è stata vista in uno dei primi post: 2. Formula di Eulero per i Poliedri):

V + F  =  S + 2

In questo caso i Vertici rappresentano case e servizi, mentre gli Spigoli indicano tubi e cavi. Quindi abbiamo:  V = 6  e  S = 9.

Ogni Faccia ha almeno 4 lati (Spigoli), perché non ci sono collegamenti diretti tra case o tra servizi.
Applicando queste condizioni si ha:

F  =  S + 2 – V  =  9 + 2 – 6  =  5

Se ora moltiplichiamo il risultato per 4 Spigoli e dividiamo per 2 (in quanto ogni lato appartiene a 2 Facce), otteniamo che il numero totale di Spigoli dovrebbe essere:

S  =  5 x 4 / 2  =  10

 

mentre ce ne sono soltanto 9.  Si arriva quindi ad una contraddizione.

Riporto anche l'esempio di 3 case e 2 servizi; come si può vedere qui esiste una soluzione e non ci sono contraddizioni: