domenica 9 marzo 2025

271. Terne pitagoriche

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :


Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:



I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a2 + b2 = c2. Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.


Valgono le seguenti condizioni:

   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

      l'ipotenusa DEVE essere dispari (altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

         dai punti precedenti segue che a+b+c e a+b-c DEVONO essere pari

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove p è il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la misura del suo perimetro:  

R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: 

R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P                        A014498 - OEIS 


Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

Più in generale vale: in ogni triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta e i 3 ex-raggi delle 3 circonferenze ex-inscritte sono numeri naturali

R = ½ (a+b–c);   Ra = ½ (a+c–b);   Rb = ½ (b+c–a);   Rc = ½ (a+b+c)


Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)


Esercizio: per le terne pitagoriche, dimostrare: ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER

mercoledì 5 marzo 2025

270. Esponenziali complessi

 Nel post 146. Argomenti Complessi sono state riportate alcune formule notevoli che utilizzano i numeri complessi dove l’unità immaginaria i è definita come:    i 2  =  -1

Si è visto anche che elevando i ad i si ottiene:

                                  i i  =  0.2078795763507619…

E se questo numero reale lo elevassimo ulteriormente a i, con pochi passaggi potremmo ottenere il valore iniziale i cambiato di segno:

(0.20787957…)i   =   ( i i )i   =   i i . i  =  i -1  =  1 / i  =  - i

Continuando con l’elevamento a potenza avremmo un ciclo di 4 valori che si ripetono:

i         0,2078796…       -i         4,8104773…       e di nuovo     i


Piano complesso di Argand-Gauss
Piano complesso di Argand-Gauss

L'elevamento a potenza non è commutativo, ad esempio 23 è differente da 32inoltre, a differenza dell'addizione e della moltiplicazione, non è associativo: 

ad esempio, (23)2 = 82 = 64, mentre 2(3^2) = 29 = 512. 

Cioè, quello che abbiamo detto prima, vale se (((((i^i)^i)^i)^i)^…), ma se invece volessimo calcolare i^(i^(i^(i^(i^…)))), il risultato sarebbe:

0,207879

0,947159 + 0,320764 i

0,050092 + 0,602116 i

0,387166 + 0,030527 i

0,782276 + 0,544607 i

0,142562 + 0,400467 i

0,519786 + 0,118384 i

0,568589 + 0,605078 i

0,242365 + 0,301151 i

0,578489 + 0,231530 i

0,427340 + 0,548231 i

0,330967 + 0,262892 i

0,574271 + 0,328716 i

0,369948 + 0,468173 i

0,400633 + 0,263120 i

…………

Piano complesso di Argand-Gauss

Si può dimostrare che questa serie converge alla soluzione complessa di

z  =  i z       con   z  =  0,4382829 + 0,3605924 i  =  reiϑ

                      r = 0,5675551,   ϑ = 0,6884532


A077589 (parte reale di z)               A077590 (parte immaginaria)

A212479 (valore assoluto di z)        A212480 (argomento di z)

 

Per festeggiare il Pi-day, comincio con ricordare che molte formule contengono sia Pi greco che l’unità immaginaria, l’esempio più noto è l'Identità di Eulero:

e iπ  =  -1

e da questa si può subito ricavare          ln (-1)  =  i π

Continuando si ottengono altre interessanti relazioni:


e queste ci aiutano a comprendere perché elevare l’unità immaginaria a sé stessa fornisca un numero reale.


Iterating complex powers

sequences and series - Infinite exponentiation - Mathematics Stack Exchange

Imaginary Powers | Math in Matter

Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:

sin (i) = 1.1752012i               arcsin (i) = 0.8814i
sinh (i) = 0.8415i                   arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806                arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403                    arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i                     arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i                   arctanh (i) = 0.7854i
csc (i)  = -0.8509i                   arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i                  arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481                      arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508                    arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i                    arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i                  arccoth (i) = -0.7854i


Calcolatrici x numeri complessi:   

http://www.calcinator.com/scicalc.html

Complex number calculator

Per approfondire si possono consultare i link:

Abstract -  Complex numbers

sabato 1 marzo 2025

269. Rinascimento

 Qui se non mi sbrigherò, arriverà il Rinascimento e non ci sarà tempo che per dipingere! (Giullare) - Woody Allen: Tutto quello che avreste voluto sapere sul sesso (ma non avete mai osato chiedere)

 

A due passi dal Duomo di Milano si trova la via Falcone. Stretta e corta, meno di 100 metri.

Chi la percorre arrivando da via Mazzini, non la noterà nemmeno: a sinistra ci sono portici con negozi costruiti nel dopoguerra, mentre a destra un muro di mattoni e alcune vecchie case. Ma questa è una delle vie più vecchie di Milano e la storia è passata di qui.

Nell’anno 1242, all’inizio di via Falcone vi era un albergo con l’insegna del falcone. Più che un albergo era un ostello frequentato da avventori e prostitute. Bevitori e giocatori di dadi passavano le giornate sperperando i soldi che avevano.

Si racconta che nell’anno 1242 avvenne un fatto miracoloso che vide l'immagine della Vergine con Bambino, posta sulla via all’esterno del sacello di S. Satiro, sanguinare in seguito ad una coltellata infertale da un giovane squilibrato, tale Massazio da Vigolzone, che aveva perso tutto al gioco. L'immagine restò esposta all'esterno di S. Satiro, fino a quando, circa due secoli più tardi, fu decisa la costruzione di un tempio in cui ospitare l'opera. L'icona con la Vergine del Miracolo fu portata all'interno della chiesa e rimaneggiata nel XV secolo.

In fianco a S. Satiro vi era la Taverna della Lupa, che venne acquistata nel 1478 per creare lo spazio per l'edificazione della bramantesca S. Maria presso S. Satiro.

L'ingaggio del Bramante per la chiesa di S. Maria, commissionata dagli Sforza e dalla madre di Gian Galeazzo, Bona di Savoia, risale al 1480. La prima rivoluzione che introdusse appena giunto in cantiere fu la rotazione della pianta di 90°, rispetto ai primi progetti, cioè con l'altare maggiore verso via Falcone e l'ingresso verso l'attuale via Torino, per restituire gli spazi maggiori al pubblico in pellegrinaggio.


Il finto coro della chiesa di Santa Maria presso San Satiro è una struttura, realizzata in mattoni e decorata con terracotta e stucchi dipinti, creata per risolvere il problema della limitazione di una chiesa con pianta a T dando l'illusione dell'esistenza di una vera abside.







Tale struttura è contraddistinta da una volta con cassettoni a bassorilievo che incornicia la grande lunetta con raffigurato il Miracolo della Vergine pugnalata da Massazio. Sotto, sempre a bassorilievo, sono riprodotte tre campate con pilastri e archi che simulano l'esistenza di navate minori laterali concluse da un fondale al quale poggia il più recente altare che incornicia l'affresco duecentesco della Vergine con il Bambino.

Il finto coro della chiesa fu progettato e verosimilmente realizzato da Donato Bramante contemporaneamente all'intera costruzione dell'edificio, dunque fra il 1482 e il 1486. Infatti, la struttura della finta prospettiva simula un prolungamento della navata centrale con la presenza di tre campate, con pilastri e archi, e suggerisce l'esistenza di navate minori laterali per mezzo di un ordine minore: tutto ciò poteva essere stato pensato solo contemporaneamente alla progettazione e realizzazione di quelle che sono le reali navate della chiesa.


Durante il governo di Ludovico il Moro, Milano conobbe un vero e proprio periodo d'oro, con la presenza a corte di artisti come Leonardo e Bramante e matematici come Luca Pacioli.

Nel 1479 Ludovico Sforza ritorna a Milano e assume la reggenza del giovane nipote Gian Galeazzo Sforza, che era diventato duca di Milano dopo la morte del padre Galeazzo Maria assassinato nella chiesa di Santo Stefano.  Nel 1489 Ludovico assume definitivamente il potere e nel 1495 è incoronato in Duomo come duca di Milano. Dopo 4 anni, le truppe di Luigi XII re di Francia invadono Milano e Ludovico il Moro fugge a Innsbruck.

Nello stesso anno, Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia.

 

Nel 1823 Giuseppe Diotti (1779 – 1846) dipinse la famosa tela “La corte di Ludovico il Moro”, dove vengono rappresentati intellettuali e artisti chiamati da ogni parte d’Italia a contribuire al rinnovamento di Milano. Nel quadro viene raffigurato Leonardo da Vinci mentre mostra al duca il disegno dell’Ultima cena. Partendo da sinistra sono rappresentati:

·       il segretario di Stato, Bartolomeo Calco mentre entra nella stanza,

·       il ragazzo che apre la porta

·       il matematico Fra’ Luca Pacioli

·       Donato Bramante

·       il cardinale Ascanio Sforza

·       La duchessa Beatrice d’Este

·       Ludovico Sforza detto il Moro

·       il musico Franchino Gaffurio da Lodi

·       Leonardo da Vinci

·       il poeta Bernardo Bellincioni da Firenze

·       lo storico Bernardino Corio

Come anticipato, tra le prime opere in cui si misurò Donato Bramante per Ludovico il Moro ci fu la ricostruzione della chiesa di Santa Maria presso San Satiro. Fu progettato un corpo longitudinale a tre navate, con uguale ampiezza tra navata centrale e bracci del transetto, entrambi coperti da poderose volte a botte con cassettoni dipinti. L'incrocio dei bracci presenta una cupola, immancabile motivo bramantesco, ma l'armonia dell'insieme era messa a rischio dall'insufficiente ampiezza che, nell'impossibilità di estenderlo, venne "allungato" illusionisticamente, costruendo una finta fuga prospettica in stucco in uno spazio profondo meno di un metro, con tanto di volta cassettonata illusoria.

Leonardo da Vinci fu ospite di Milano in diversi periodi, in modo continuativo dal 1482 al 1499, e poi in varie occasioni tra il 1506 e il 1513.

Con il primo esempio di Curriculum Vitae, Leonardo si propose al signore della città come esperto di tecniche militari e in quell'occasione scrisse la famosa "lettera d'impiego" di nove paragrafi, in cui descriveva innanzitutto i suoi progetti di ingegneristica, di apparati militari, di opere idrauliche, di architettura, e solo alla fine, di pittura e scultura, di cui occuparsi in tempo di pace, tra cui il progetto di un cavallo di bronzo per un monumento a Francesco Sforza.

Più precisamente, la lettera, conservata nel Codice Atlantico, elenca tutte le sue competenze:

·      costruire ponti

·      togliere acqua dai fossati

·      “ruinare” rocche e fortezze

·      scavare cunicoli

·      costruire bombarde

·      costruire mortai

·      costruire imbarcazioni da guerra

·      costruire carri armati

Solo in coda, quando si dice la modestia, esibisce le sue doti di scultore, architetto e infine di pittore.

Altri esempi degni di nota, dove l’architettura modifica la percezione dello spazio, ingannando l’osservatore in merito alle reali dimensioni, sono, ad esempio, il Teatro Olimpico: un teatro progettato dall'architetto rinascimentale Andrea Palladio nel 1580, situato a Vicenza, e la galleria di Palazzo Spada, a Roma, realizzata da Francesco Borromini.

Le sette meraviglie prospettiche in architettura (didatticarte.it)

Santa Maria presso San Satiro - Divina Milano

Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento italiano - Wikipedia

Arte del Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento lombardo - Wikipedia

Sovrani di Milano - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 141. Regola del 72

 

1476    Galeazzo Maria Sforza è assassinato in S.Stefano

1476    Gian Galeazzo Maria succede al padre come sesto duca di Milano

1479    Ludovico il Moro rientra a Milano e assume la reggenza del nipote

1480    Bramante si trasferisce da Bergamo a Milano

1482    Leonardo giunge a Milano

1489    Ludovico il Moro assume il potere

1490    Isabella d’Aragona sposa il duca Gian Galeazzo (nipote di Ludovico)

1491    Beatrice d’Este sposa Ludovico il Moro

1495    Ludovico il Moro è incoronato in Duomo come duca di Milano

1495    Leonardo inizia i lavori al Cenacolo di Santa Maria delle Grazie

1499    Ludovico il Moro fugge a Innsbruck

1499    Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia