Zibaldone Scientifico: 247. Lunule

venerdì 21 giugno 2019

247. Lunule

Ippocrate di Chio (440 a.C. circa) nacque sull'omonima isola, non lontano dall'isola di Kos, dove nacque un altro "Ippocrate” che divenne il padre della medicina greca e iniziatore del ben noto giuramento.

La leggenda narra che Ippocrate di Chio fu vittima di una truffa in cui perse tutto il suo denaro. Per guadagnarsi da vivere si dedicò alla geometria e tentò di risolvere due classici problemi della matematica greca: la quadratura del cerchio e la duplicazione del cubo. Ippocrate non riuscì in questa impresa ma calcolò l’area delle lunule e trovò una loro interessante proprietà, che, per vie traverse, è arrivata fino a noi.

Una regione del piano i cui confini sono archi di due cerchi è detta lunula (per la sua forma caratteristica).

https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Ott_06/LunuleIppocrate.htm

Sappiamo che è impossibile "quadrare" un cerchio, che significa che non possiamo costruire un quadrato con la stessa area usando solo riga e compasso, ma è possibile "quadrare" certe lunule e Ippocrate di Chio fu il primo a dimostrarlo.

Solo 5 particolari lunule possono essere “quadrate” con metodi euclidei: 3 di queste furono descritte da Ippocrate stesso, mentre altre 2 furono scoperte a metà del 1700. Queste ultime 2 sono spesso accreditate ad Eulero.

La prova che queste 5 sono le uniche lunule “quadrabili” con metodi euclidei, fu data nel XX secolo da N.G. Tschebatorew e A.W. Dorodnow.

Non è troppo difficile scoprire queste 5 lunule “quadrabili”, specialmente con l'aiuto dei moderni metodi trigonometrici. In generale, si consideri la lunula descritta da segmenti di arco di due cerchi sfalsati, uno di raggio r e l'altro di raggio R, come mostrato qui di seguito:

https://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm

La prima figura (nel riquadro in alto a sinistra) serve solo per mostrare gli elementi principali della generica configurazione; le altre 5 figure riportano R ed r (con R > r ) ed il rapporto u tra i loro quadrati.

Ad esempio, per u = 2 , R è uguale alla diagonale del quadrato di lato r.

In questo caso vale quanto riportato nel sito di Gianfranco Bo:

http://utenti.quipo.it/base5/pitagora/lunula.htm

L’area del triangolo giallo è uguale a quella della lunula azzurra.

E questo vale per tutte le 5 lunule mostrate. La dimostrazione che l’area della lunula è uguale a quella del triangolo, è probabilmente la prima “quadratura” della storia.

Nel gravitare intorno alla Terra, nelle notti di plenilunio, la Luna può entrare nel cono d’ombra terrestre. In questo caso si ha un’eclisse lunare, che risulta visibile da tutto l’emisfero notturno della Terra.

Se invece è la Luna a proiettare la sua ombra sulla Terra si ha un’eclisse solare.

Il numero massimo di eclissi in un anno è 7, in ragione di 2 eclissi lunari e 5 solari oppure 3 lunari e 4 solari. Comunque questi casi sono abbastanza rari; di norma ci sono 2 eclissi solari e 2 lunari per anno. Il numero minimo è 2 per anno (entrambi solari).

Come detto in un precedente post , ci sono occasioni che possono capitare una sola volta nella vita, e il fotografo della NASA Joel Kowsky ne ha avuta una, riuscendo a catturare, vicino a Banner nel Wyoming, un’immagine (composta da 7 fotogrammi) che mostra la Stazione Spaziale Internazionale (ISS) mentre transita davanti al Sole a 7,66 km/s (circa 27.600 km/h) durante l'eclissi parziale.

Ecco, questa è una delle immagini più spettacolari di una lunula.