La
quadratura del cerchio, assieme al
problema della trisezione dell'angolo
e a quello della duplicazione del cubo,
è un problema classico della matematica greca, il cui scopo è costruire un
quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga
e compasso.
Nel 1882, Ferdinand Lindemann,
dell’Università di Monaco, dimostrò che pi greco è trascendente, tirando così per
sempre una riga sul problema della quadratura del cerchio; dalla prova fornita
da Lindemann, risulta che è impossibile costruire, soltanto con riga e
compasso, un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato, un problema
che ha tormentato intere generazioni di matematici fin da prima di Euclide. Lindemann
dimostrò che pi greco non è un numero algebrico.
Qualunque
problema di geometria che può essere risolto soltanto con la riga e con il
compasso, quando è posto sotto la sua forma algebrica equivalente, conduce a
una o più equazioni algebriche con coefficienti interi razionali che possono
risolversi per mezzo di successive estrazioni di radici quadrate. Siccome π non
soddisfa nessuna di queste equazioni, non si può arrivare alla quadratura del
cerchio con gli strumenti in questione.
Nota:
con riga e compasso è ovviamente possibile “costruire” gli interi positivi come
distanze intere dall’origine data. Ogni numero razionale è costruibile, e ciò
grazie al bel teorema di Talete sui triangoli simili; inoltre si può dimostrare
che la radice quadrata di qualsiasi numero costruibile è essa stessa costruibile.
Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo
stesso modo su scale diverse, e ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene
una figura simile all'originale.
Nel
precedente post abbiamo visto il tappeto di Sierpinski,
un frattale ottenuto a partire da un
quadrato, descritto dal matematico polacco Wacław
Sierpiński nel 1916. Ad ogni passaggio si dividono i quadrati che
costituiscono la figura in 9 quadrati più piccoli e si rimuove il quadrato
centrale. In questo modo per ogni passo l’area si riduce di 8/9, per cui la
dimensione frattale del tappeto è log 8 / log 3 , pari a 1,892789...
Vediamo
ora un altro oggetto che “potrebbe” sembrare simile al precedente.
Il setaccio di Wallis è così costruito :
si inizia
con un quadrato 2 x 2 e si divide in 4 quadrati;
si divide
ogni nuovo sottoquadro per 9 e si rimuove il quadrato centrale (8/9);
si divide
ogni nuovo sottoquadro per 25 e si rimuove il quadrato centrale (24/25);
si divide
ogni nuovo sottoquadro per 49 e si rimuove il quadrato centrale (48/49);
si divide
ogni nuovo sottoquadro per 81 e si rimuove il quadrato centrale (80/81)
e così
via.
Ecco come appare dopo alcuni passaggi :
Ho
detto “potrebbe” perché il setaccio di Wallis è un simil-frattale, ad ogni passo la regola cambia e quindi l’autosimilarità
non è mantenuta. Però, mentre nel caso del tappeto
l’area (misura di Lebesgue) è nulla, per il setaccio l’area ha un valore ben
noto.
Il
valore iniziale è per definizione 4, poi nell’ordine si moltiplica per 8/9,
24/25, 48/49, 80/81, …, (n2 – 1) / n2
Questo è
il famoso prodotto di Wallis :
che può
anche essere riscritto in questo modo :
La
meraviglia sta nel fatto che le aree del setaccio
di Wallis e del Cerchio sono
uguali.
Vediamo altre 2 visualizzazioni :
nella
prima figura si comincia da 1 solo
quadrato e si mette in relazione con il relativo cerchio inscritto, mentre lo
stesso oggetto viene poi scomposto e ricomposto per evidenziare meglio
l’equivalenza di cerchio e setaccio.
Con
riga e compasso si riesce quindi a costruire un “quadrato” equivalente al
cerchio, basta avere pazienza e il tempo necessario … se non è esattamente una
quadratura, in qualche modo ci assomiglia.
Un
altro modo potrebbe essere il seguente: prendete un quadrato di lato 2,
togliete un quadrato concentrico di area 4/3, aggiungetene uno di area 4/5 e
continuate così all’infinito … avrete così ottenuto la serie di Gregory–Leibniz moltiplicata per 4, cioè pi
greco.
 |
| L'area colorata di giallo ha una misura pari a pi greco |
Poniamoci ora questa
domanda :
esiste una spugna di Menger equivalente al setaccio di Wallis?
Si
parte da un cubo di lato 1 e si divide il lato in 3 parti (27 cubi come per il
cubo di Rubik), si rimuove il cubo centrale e i 6 cubi centrali ad ogni faccia
(restano così 20 cubi), nel passo successivo si divide il lato di ogni nuovo
cubo per 5 rimuovendo il cubo centrale e i cubi che si estendono dal centro,
poi si ripete lo stesso procedimento con 7, 9, 11 e i numeri dispari
successivi.
Meraviglia delle meraviglie, 8 di questi cubi hanno lo stesso volume di una sfera di raggio unitario
oppure in modo
equivalente
il
cubo di lato 1 ha lo stesso volume della sfera di diametro unitario
Nessun commento:
Posta un commento