martedì 24 settembre 2024

267. Teorema del panino al prosciutto

Considerate una focaccina rotonda al prosciutto: una fetta di pane, una di prosciutto e un’altra fetta di pane. Per dividere a metà le 3 fette con un coltello, basta che il taglio passi per il centro delle circonferenze. E se le 3 fette non fossero correttamente impilate? O peggio, se aveste urtato il panino e una fetta di pane fosse rimasta sul tavolo, il prosciutto sulla sedia e l’altra fetta sul pavimento?

Anche in questo caso la geometria ci assicura che un singolo taglio (cioè, un singolo piano), potrà ancora dividere perfettamente in due tutti e tre i pezzi, lasciando esattamente metà del prosciutto e metà di ciascuna fetta di pane su entrambi i lati del taglio. Questo perché il “teorema del panino al prosciutto” asserisce che per tre oggetti qualsiasi (potenzialmente asimmetrici) in qualsiasi orientamento, c’è sempre un piano che può dividerli tutti simultaneamente in due parti uguali.

In due dimensioni, si possono disegnare due forme qualsiasi e ci sarà sempre una linea retta (unidimensionale) che taglia entrambe perfettamente a metà.

Per garantire un taglio uguale per tre oggetti, dobbiamo passare alle tre dimensioni e tagliare con un piano bidimensionale.

In uno spazio quadridimensionale, un panino al prosciutto con quattro ingredienti può essere diviso in due con un taglio tridimensionale. 

Per avere un'idea di come dimostrare il teorema del sandwich al prosciutto, si consideri una versione semplificata: due forme 2D, una un cerchio e l'altra con forma qualsiasi. Una linea che passi attraverso il centro di un cerchio lo dividerà in due (utilizziamo un cerchio per rendere le cose più facili). Scegliamo ora una linea attraverso il centro del cerchio che non intersechi l’altra figura. Il 100% della figura si trova, ad esempio, sotto la nostra linea. Ora ruotando lentamente la linea attorno al centro del cerchio, questa ne taglierà una percentuale sempre minore e, alla fine, arriverà allo 0%. Da questo possiamo dedurre che deve esserci un momento in cui il 50% della massa si trova sotto la linea. Stiamo passando gradualmente ma continuamente dal 100% allo 0%, il che significa che a un certo punto saremo esattamente al 50%.

The Strangely Serious Implications of Math's 'Ham Sandwich Theorem' | Scientific American


In questo caso esiste una linea che divide in due simultaneamente le nostre forme (sebbene non ci dica dove si trova quella linea). Si basa sul fatto che ogni linea che passa per il centro di un cerchio lo divide in due; quindi, possiamo ruotare liberamente la nostra linea e concentrarci sulla figura senza preoccuparci di trascurare il cerchio. Due forme asimmetriche richiedono una versione più sottile della nostra tecnica, e l’estensione alle tre dimensioni implica argomenti più sofisticati.

Il teorema del panino al prosciutto, noto anche come teorema di Stone-Tukey, afferma che dati n oggetti in uno spazio n-dimensionale, di forme, dimensioni e posizioni qualsiasi, esiste sempre un iperpiano (n-1)-dimensionale in grado di bisecarli tutti simultaneamente. Esempi pratici del teorema:

- Fisica: tre nuvole di gas nello spazio, il teorema assicura che esiste sempre un piano che divide esattamente metà della massa di ciascuna nuvola su ciascun lato del piano.

- Statistica: tre distribuzioni di dati in uno spazio tridimensionale, il teorema garantisce che esiste un piano che divide equamente i dati di ciascuna distribuzione.

Si tratta di un importante risultato topologico noto anche come corollario al teorema di Borsuk-Ulam: per ogni funzione continua che mappa la superficie di una sfera in uno spazio Euclideo, esistono due punti diametralmente opposti sulla sfera che vengono mappati nello stesso punto.

Un esempio classico si ha in dimensione 2 (sulla superficie di una sfera); supponiamo che la funzione rappresenti temperatura e pressione atmosferica in ogni punto della Terra. Il teorema di Borsuk-Ulam implica che esiste sempre una coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie terrestre che hanno esattamente stessa temperatura e pressione.

Il teorema di Borsuk-Ulam è strettamente connesso con il teorema del punto fisso di Brouwer. Entrambi appartengono al campo della topologia e condividono alcune idee fondamentali legate alla simmetria e alla continuità.

Un classico esempio del teorema del punto fisso di Brouwer (caso bidimensionale come un disco): data una funzione continua che "deforma" il disco senza sollevarlo dai suoi bordi, ci sarà sempre almeno un punto che rimane fisso.

I due teoremi sono collegati perché entrambi riflettono il comportamento di mappe continue e sono radicati in concetti di simmetria e compattezza.

Entrambi i teoremi hanno importanti applicazioni comuni nella matematica e nell'economia, dove concetti come l'esistenza di punti fissi (Brouwer) o l'equilibrio tra elementi (Borsuk-Ulam) sono utilizzati per risolvere problemi di ottimizzazione o di equità e sono esempi di come le proprietà topologiche degli spazi continui impongano restrizioni sulle mappe, garantendo l'esistenza di punti con proprietà particolari, come punti fissi o coppie di punti antipodali che si comportano allo stesso modo.

Il teorema di Brouwer ha risvolti semplici ma sorprendenti:

- mescolando una tazzina di caffè, in ogni momento almeno un punto del caffè si trova nel punto iniziale (anche se non possiamo sapere quale con esattezza),

- se si mette per terra una cartina stradale del posto in cui ci si trova (con qualsiasi scala), almeno un punto della cartina coinciderà con il luogo che rappresenta.

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)

 

Utilizzando una versione intuitiva del teorema di Borsuk-Ulam si può dimostrare che, per un escursionista che in un fine settimana sale ad un rifugio il sabato e torna per lo stesso sentiero la domenica partendo alla stessa ora, c'è sempre un punto in cui l’escursionista si troverà nello stesso posto alla stessa ora in entrambi i giorni.

Quindi la domanda è: esiste un momento in cui, in entrambi i viaggi, lo scalatore si trova esattamente nello stesso punto del sentiero alla stessa ora?

La risposta è sì. Possiamo immaginare di confrontare il percorso di salita e il percorso di discesa come due funzioni continue che descrivono la posizione dello scalatore lungo il sentiero in base al tempo.

La funzione, che misura la distanza tra la posizione dello scalatore durante la salita e quella durante la discesa in un dato momento della giornata, è continua e all'inizio della giornata (al momento della partenza) la distanza tra le posizioni è massima (uno sta al piede della montagna e l'altro alla cima). Alla fine della giornata (all'ora di arrivo), la distanza è ancora massima, ma opposta (uno è in cima e l'altro è al piede).

Essendo questa una funzione continua, per il teorema degli zeri si conclude che deve esistere almeno un momento della giornata in cui la distanza è zero. Cioè, in un certo istante, lo scalatore si trova nello stesso punto del percorso sia durante la salita che durante la discesa.

Quindi, indipendentemente dalla velocità con cui lo scalatore sale o scende, ci sarà sempre un punto lungo il sentiero in cui egli si troverà alla stessa ora sia durante il primo giorno (salita) che il secondo giorno (discesa).

Ancora più semplice, se due persone partono contemporaneamente dai due estremi, da qualche parte si incontreranno sicuramente. 

TESI TRIENNALE GIACOMO SARAGONI.pdf (unibo.it)

Teorema del panino al prosciutto - Wikipedia

Category:Fixed points (mathematics) - Wikipedia

Ham Sandwich Theorem -- from Wolfram MathWorld

Sandwich problem / Etudes // Mathematical Etudes

Zibaldone Scientifico: 31. Teorema del punto fisso di Brouwer (zibalsc.blogspot.com)


Domanda: Che cosa è meglio, l’eterna felicità o un panino al prosciutto?

Sembrerebbe che fosse meglio l’eterna felicità, ma in realtà non è così!
Dopo tutto, niente è meglio dell’eterna felicità e un panino al prosciutto è certamente meglio di niente.
Quindi un panino al prosciutto è meglio dell’eterna felicità.

Tratto da Raymond M. SmullyanQual è il titolo di questo libro? – Zanichelli


lunedì 26 agosto 2024

266. Formule complesse

Il mio amico L. mi ha fatto conoscere questa equazione che mette in relazione le note costanti matematiche e, pi, i, per ricavare un’altra famosa costante:

il numero aureo φ =  1,61803398874989...



Come per l’identità di Eulero, anche in questo caso compaiono contemporaneamente nella stessa formula alcune delle più importanti costanti matematiche.


Per dimostrare la relazione dobbiamo cominciare dalla Sezione Aurea.

Si tratta di dividere un segmento AB in 2 parti (che chiameremo AC e CB) in modo tale che valga la proporzione continua AB : AC = AC : CB

Euclide usò questa formula lavorando sui pentagoni.

Poniamo il segmento più piccolo CB = 1 e AC = x, da cui AB = 1 + x 

La condizione richiesta è perciò: (1 + x) / x = x / 1

Quindi si ha x2 – x – 1 = 0

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:


La Sezione Aurea fu il punto di partenza per lo studio greco dei pentagoni regolari e di tutto ciò che era associato ad essi, come ad esempio il decagono, il dodecaedro e l’icosaedro. Il decagono si può trovare nella base di molte caffettiere.

Come vedremo poi, se si disegna un pentagono regolare di lato 1, allora le diagonali hanno per lunghezza il numero aureo.

Il termine Sezione Aurea è relativamente recente e pare che fu usato per la prima volta da Martin Ohm (fratello del più famoso Georg Simon Ohm che ha dato il nome alla legge) nel suo libro del 1835.

 

Prima di vedere perché, rivediamo qualche nozione di trigonometria.

La trigonometria studia i triangoli rettangoli a partire dai loro angoli. Il suo compito principale consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi del triangolo (lati, angoli, ecc.) per mezzo di speciali funzioni partendo da misure note.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno) vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale.

1)    Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.

2)    Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.

La formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero, dal nome del matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Wessel, Argand e Gauss.

La dimostrazione più diffusa è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

 

formula di Eulero:   eix = cos x + i sen x

la formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale: 

sen x = ( eix - e-ix ) / 2i          cos x = ( eix + e-ix ) / 2

 

Come noto, gli angoli possono essere espressi in diversi modi, i più utilizzati sono i gradi sessagesimali e i radianti. Di seguito, a seconda dello scopo, verranno presi in considerazione entrambi.

Mostriamo ora alcuni angoli notevoli: 30, 36, 45, 60 e 90 gradi.

In particolare, il seno (30°) = ½ (il cui quadrato è uguale a ¼); in modo analogo i quadrati del seno di 45, 60 e 90 gradi sono rispettivamente: 2/4, 3/4 e 4/4.



Un pentagono regolare di lato 1 (per es. DE) ha invece altre particolari proprietà e si può dimostrare che le diagonali (per es. AD) hanno lunghezza φ.

I 2 triangoli isosceli ADE e DCE sono simili per cui AD : DE = DE : CE

Ponendo AD = x  si ha:

x : 1 = 1 : (x – 1)          1 = x2 – x          x2 – x – 1 = 0

Per cui in analogia a quanto visto sopra: AD = φ

cioè, in un pentagono regolare di lato 1, le diagonali sono uguali a φ


Per il triangolo rettangolo ABC si può quindi ricavare:

cos 36° = AB / AC = φ / 2 = 0,809016994374945…

Combinando questo risultato con la funzione per il coseno, si ottiene l’enunciato iniziale:



Riporto in seguito altre formule notevoli:


 

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 90. Ottantanove bis (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 139. Sezione aurea immaginaria (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 146. Argomenti Complessi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 161. Guarda e dimmi (Look and Say) (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 177. Ottagoni e Sezione Aurea (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 228. Quasi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 229. Penrose (zibalsc.blogspot.com)

Golden ratio - Wikipedia

Generalizations of Fibonacci numbers - Wikipedia

Formula di De Moivre

Formula di Eulero - Wikipedia

Identità di Eulero

Piano complesso

Radice dell'unità

Rappresentazione dei numeri complessi

Storia dei numeri complessi


Calcinator™ Free Online Mobile Web Scientific Calculator: complex numbers, exponential trigonometric statistics hyperbolic and algebraic functions




mercoledì 24 aprile 2024

265. Più veloce della luce

                                           «Anche noi siamo fatti della materia di cui sono fatti i sogni e la nostra breve vita è circondata da un sonno.»

L’effetto Cerenkov consiste nell’emissione di radiazione elettromagnetica provocata dall’attraversamento di un mezzo dielettrico da parte di una particella carica (quale un elettrone) che si muove a una velocità superiore a quella di propagazione della luce nel mezzo stesso.

In un mezzo denso la velocità di propagazione della luce v è più bassa di quella nel vuoto c (che per la teoria della relatività è una costante universale e non può essere superata). La riduzione della velocità è legata all’indice di rifrazione n, del mezzo stesso, assumendo il valore di v = c/n.

In un mezzo denso può, dunque, accadere che una particella superi la velocità di propagazione della luce nel mezzo stesso.

A causa del campo elettrico della particella carica, le molecole del materiale attraversato si polarizzano. Quando ritornano allo stato inziale, se la velocità della particella carica è superiore a un valore di soglia, emettono un breve impulso di radiazione elettromagnetica. Lo spettro di emissione Cerenkov è continuo e nella regione del visibile l’intensità relativa per unità di frequenza è approssimativamente proporzionale alla frequenza stessa. Ciò vuol dire che la radiazione di maggiore frequenza è più intensa.



Questa è la causa dell’intenso colore blue della luce. In realtà, la maggiore parte della radiazione Cerenkov è nella regione ultravioletta.




Qui di seguito è riportato il discorso di presentazione del Professor Kai Siegbahn, membro dell'Accademia svedese delle scienze, alla consegna del Premio Nobel per la Fisica nel 1958 a Pavel Cerenkov, Il´ja Frank e Igor Tamm "Per la scoperta e l’interpretazione dell’effetto Cerenkov".



Siegbahn ottenne a sua volta il Premio Nobel per la Fisica nel 1981 con la motivazione: “Per il suo contributo allo sviluppo della spettroscopia elettronica ad alta risoluzione”.




Vostre Maestà, Vostre Altezze Reali, Signore e Signori.

La scoperta del fenomeno noto come effetto Cerenkov, per il quale fu assegnato il Premio Nobel, è un interessante esempio di come un'osservazione fisica relativamente semplice, se seguita nel modo giusto, possa portare a scoperte importanti e aprire nuovi percorsi di ricerca.

Tra gli studenti dell'Istituto Lebedev di Mosca all'inizio degli anni Trenta c'era Pavel Cerenkov. Il compito assegnatogli dal suo insegnante, il professor Vavilov, per il suo lavoro di tesi, era quello di studiare cosa succede quando la radiazione proveniente da una sorgente di radio penetra e viene assorbita in diversi fluidi. Lo stesso problema aveva senza dubbio preoccupato molti scienziati prima di questo giovane dottorando e molti avevano anche osservato il debole bagliore bluastro che emanava dal liquido quando la radiazione lo penetrava. Una menzione speciale merita l'importante osservazione del francese Lucien Mallet. Il bagliore bluastro è sempre stato considerato una manifestazione del noto fenomeno della fluorescenza. Questo fenomeno viene utilizzato, ad esempio, dai radiologi nei fluoroscopi a raggi X, dove i raggi X "invisibili" possono colpire uno schermo fluorescente, che poi si illumina.

Cerenkov, tuttavia, non era convinto che il fenomeno luminoso da lui osservato fosse effettivamente di tipo fluorescenza. Già i suoi primi esperimenti indicavano che i suoi sospetti erano fondati. Scoprì, ad esempio, che la radiazione era essenzialmente indipendente dalla composizione del liquido. Ciò era in disaccordo con la spiegazione della fluorescenza. Osservando la radiazione anche nell'acqua doppiamente distillata, eliminò la possibilità che minuscole impurità diventassero fluorescenti nei liquidi.

Cerenkov fece della nuova radiazione sconosciuta oggetto di un'indagine sistematica. Nel suo lavoro scoprì che la radiazione era “polarizzata” lungo la direzione della radiazione incidente del radio e che erano gli elettroni secondari veloci, prodotti da quest'ultima, ad essere la causa primaria della radiazione visibile. Ciò è stato verificato irradiando i liquidi con i soli elettroni provenienti da una sorgente di radio.

Le ricerche che Cerenkov pubblicò sui periodici russi tra il 1934 e il 1937 stabilirono essenzialmente le proprietà generali della radiazione appena scoperta. Tuttavia, mancava ancora una descrizione matematica dell’effetto. Qui entrano in gioco due colleghi di Cerenkov a Mosca. Come può un elettrone veloce, attraversando un liquido, dare origine a una radiazione con le proprietà osservate da Cerenkov? All'inizio il fenomeno sembrava difficile da comprendere, ma nel lavoro di Frank e Tamm (1937) fu data una spiegazione che oltre ad essere semplice e chiara, soddisfaceva anche i requisiti di rigore matematico.

Il fenomeno può essere paragonato all'onda di prua di un'imbarcazione che si muove nell'acqua con una velocità superiore a quella delle onde. Questo è, per inciso, un semplice esperimento che chiunque può fare. Per prima cosa si lascia cadere un oggetto in una ciotola d'acqua e si osserva la velocità di propagazione del fronte d'onda circolare. Quindi si sposta l'oggetto lungo la superficie dell'acqua molto lentamente all'inizio, ma aumentando gradualmente la velocità. Quando quest'ultima supera la velocità dell'onda precedentemente osservata, si forma un'onda ad arco che si estende obliquamente all'indietro nel modo ben noto.

La velocità dell'onda sulla superficie dell'acqua è ovviamente bassa e quindi in questo caso è facile produrre l'onda di prua. Nell’aria un fenomeno analogo si verifica quando un aereo a reazione supera la cosiddetta barriera del suono a circa 1.000 km/h, cioè quando la velocità del getto supera la velocità di propagazione delle onde sonore. Questo è accompagnato da un botto.


La condizione richiesta per formare la corrispondente onda dell'arco di Cerenkov della luce ordinaria quando una particella carica, ad es. un elettrone attraversa un mezzo è, analogamente, che la particella si muove con una velocità maggiore di quella della luce nel mezzo. Inizialmente si potrebbe pensare che ciò sia impossibile, poiché secondo la teoria della relatività di Einstein la velocità della luce è la massima velocità possibile. Questo è di per sé corretto, ma la velocità a cui fa riferimento la teoria di Einstein è la velocità della luce nello spazio vuoto o nel vuoto. In un mezzo, ad es. un liquido o un solido trasparente, la velocità della luce è inferiore a quella del vuoto e inoltre varia con la lunghezza d'onda. Questo fatto è ben noto dagli esperimenti scolastici sulla rifrazione della luce in un prisma. In un mezzo del genere è quindi del tutto possibile che un elettrone ultraveloce, emesso da una sorgente radioattiva, si muova con una velocità maggiore di quella della luce nel mezzo. In questo caso si forma un'onda ad arco di Cerenkov e il liquido si illumina con la brillante magia blu della corsa frenetica degli elettroni con la luce distante.

Uno spettacolo bellissimo si ha guardando dall'alto in un reattore di uranio contenente acqua; un cosiddetto reattore a piscina. L'intero nucleo è illuminato dalla luce blu di Cerenkov e in questa luce si può persino fotografare l'interno del reattore.

Negli studi di successo su nuove particelle elementari intrapresi negli ultimi anni, ad es. Con la scoperta nel 1955 dell'antiprotone, l'effetto Cerenkov ha giocato un ruolo decisivo. Basandosi su questo effetto è stato progettato uno strumento in grado di registrare il passaggio delle singole particelle. Solo a condizione che la particella abbia una velocità sufficientemente elevata verrà registrata dallo strumento che, allo stesso tempo, potrà misurarne la velocità. Per la determinazione della velocità, che può essere effettuata con notevole precisione, si sfrutta il fatto che l'angolo dell'onda ad arco dipende dalla velocità delle particelle. Più velocemente si muove la particella, minore sarà l'angolo tra di loro. Ciò è facilmente comprensibile dall'esempio con la nave in acqua. Questo nuovo tipo di rilevatore di radiazioni porta il nome di Cerenkov ed è ora uno degli strumenti più importanti nei grandi laboratori atomici, dove le particelle elementari vengono accelerate a velocità estremamente elevate.

La scoperta di Cerenkov, Frank e Tamm, avvenuta circa vent'anni fa, ha quindi trovato negli ultimi anni un'applicazione di decisiva importanza nello studio della struttura fondamentale e della natura della materia.

Il professor Cerenkov, il professor Frank, l'accademico Tamm. L'Accademia reale svedese delle scienze vi ha assegnato il Premio Nobel per la fisica per la scoperta e la spiegazione dell'effetto che ora porta il nome di uno di voi. Questa scoperta non solo getta luce su un fenomeno fisico finora sconosciuto, ma fornisce anche un nuovo ed efficace strumento per lo studio dell'atomo.

Mi congratulo di cuore con voi a nome dell'Accademia e vi chiedo di accettare il premio dalle mani di Sua Maestà il Re.

 

Cerenkov luminescence imaging: physics principles and potential applications in biomedical sciences | EJNMMI Physics | Full Text (springeropen.com)

Cherenkov Radiation: Sonic Boom For Light? Beautiful Phenomenon! — Steemit

Cherenkov Telescope Array - Wikipedia

T17FIS501MC: NEMO: A caccia di neutrini negli abissi | spark (liceodesio.edu.it)

Pavel A. Cherenkov - Facts (nobelprize.org)

Effetto Čerenkov - Wikipedia



domenica 31 marzo 2024

264. Caos & Feigenbaum

 Solo la gente mediocre non giudica dalle apparenze.

Il vero mistero del mondo è ciò che si vede, non l'invisibile… 

 Oscar Wilde, Il ritratto di Dorian Gray


Verso la metà degli anni ’70 venivano introdotte le prime calcolatrici scientifiche e molti calcoli complicati potevano così essere eseguiti in modo semplice e veloce. Una delle più economiche era la TI-30 che rimase in produzione dal 1976 per diversi anni, con una vendita di circa 15 milioni di unità.

Ne comprai una anch’io. Uno dei “giochi” era di inserire un numero e digitare la stessa funzione per molte volte: ad esempio inserendo 0.5 e pigiando il tasto cos, a un certo punto arriveremo a 0.7390851332… e successivamente otterremo sempre lo stesso valore. Questo vale anche inserendo un qualsiasi altro valore iniziale.

La cosa, di per sé, sembra solo una peculiarità della funzione coseno.

Ma non è così.

Negli stessi anni Mitchell Feigenbaum “giocava” anche lui con una calcolatrice e scopriva cose ben più interessanti. Se avessi moltiplicato per una costante k prima di schiacciare cos, mi sarei potuto accorgere, ad esempio, che per k > 1.33 non si ha una convergenza ad un singolo valore, ma un’oscillazione tra 2 valori.

Facciamo un passo indietro.

Tra il XVIII e il XIX secolo Thomas Malthus e successivamente Pierre Verhulst ipotizzarono che la popolazione di una specie in un certo anno fosse una funzione della popolazione dell’anno precedente.

Se la popolazione aumenta troppo, la mancanza di risorse tende a farla diminuire, ma se cala sotto un certo livello, tenderà ad aumentare nell’anno successivo.

La formula che rappresenta questa idea è nota con il nome di equazione logistica: 

xn+1 = r xn ( 1 – xn )

 Feigenbaum studiò questa funzione e, nell'agosto del 1975, trovò per la prima volta 4.669, con 3 soli decimali a causa del limite dell'accuratezza della sua calcolatrice HP65, dopo aver passato un po’ di tempo a cercare di capire se si trattasse di una semplice combinazione di numeri "noti", non trovò nulla.

Ora il numero è "noto" e viene chiamato numero di Feigenbaum.

Il primo numero di Feigenbaum è definito come il limite del rapporto fra 2 intervalli successivi di biforcazione: δ = 4,66920160910299067185320382…



Indipendentemente dalla scelta di x0 la successione converge a un’orbita stabile. I valori di questi punti di accumulazione si possono leggere sull’asse verticale del diagramma di Feigenbaum. A partire da r = 3.57 circa, comincia a succedere qualcosa di strano: il caos. Non ci sono più dei periodi riconoscibili e piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali producono valori estremamente diversi nella successione. Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Infatti esiste un legame tra il diagramma di Feigenbaum e l’insieme di Mandelbrot (che nasce dall’interazione zn+1 = zn2 + c).

 

 

 Sull’asse reale gli sdoppiamenti dei periodi corrispondono ai valori del diagramma di Feigenbaum. 

http://www.fabioruini.eu/unimore/ttps/Mappa%20logistica.pdf

 Per differenti r, si possono osservare i seguenti comportamenti per n grandi.

Questo comportamento non dipende dal valore iniziale, ma solo da r :

·       Con r = 0 la popolazione diventa nulla alla prima iterazione.

·       Con r da 0 a 1 si ottiene sempre 0 dopo alcune iterazioni.

·       Con r tra 1 e 3, viene stabilito un certo limite. Questi limiti sono chiamati attrattori.

·       Con r tra 3 e 1 + √6 (circa 3,45), la sequenza commuta tra due attrattori per quasi tutti i valori iniziali (tranne 0, 1 e 1 - 1/r).

·       Con r tra 1 + √6  e circa 3,54, la sequenza commuta tra quattro attrattori per quasi tutti i valori iniziali.

·       Se r è maggiore di 3,54, arrivano 8 attrattori, quindi 16, 32 ecc.

·       Verso 3.57 inizia il caos.

Questa transizione dal comportamento convergente al raddoppio periodico al comportamento caotico è generalmente tipica dei sistemi non lineari che mostrano un comportamento caotico o non caotico in funzione di un parametro r.

Le transizioni per raddoppiare il periodo sono chiamate punti di biforcazione.


Riassumendo.

La prima costante di Feigenbaum è definita come il limite del rapporto fra due intervalli successivi di biforcazione.

Nel caso della mappa logistica, inizialmente studiata da Feigenbaum:

δ = 4,66920160910299067185320382

Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Tutti i sistemi caotici che seguono questa legge biforcano alla stessa velocità. La prima costante di Feigenbaum può essere usata per predire quando il caos sopraggiungerà nel sistema.

Per definire la seconda costante di Feigenbaum, per ciascun attrattore ciclico della cascata di biforcazioni si deve considerare il punto più vicino a xm, indicato con dn nel caso dell'attrattore di 2n punti. Si costruisce così la successione dn e si definisce:



Sempre nel caso della mappa logistica:

α = 2,502907875095892822283902873218

Il rapporto tra due intervalli di biforcazione successivi tende a δ, mentre il rapporto tra il più piccolo attrattore ad una biforcazione e il più piccolo attrattore alla biforcazione successiva tende ad α.

Queste costanti si applicano a una larga classe di sistemi dinamici.

Si ritiene, infatti non è stato ancora dimostrato, che esse siano trascendenti. 


https://www.researchgate.net/figure/Feigenbaum-graphs-from-the-Logistic-map-The-main-figure-portrays-the-family-of_fig5_51641487

Mitchell Feigenbaum (1944 - 2019) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

Chronology for 1970 - 1980 - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html

http://zibalsc.blogspot.it/2013/12/130-colosseo-e-stadi-ergodici.html

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per mandelbrot (zibalsc.blogspot.com)

http://www.bitman.name/math/article/485

https://www.google.it/search?q=web+diagram+logistic+map&client=tablet-android-samsung&prmd=ivn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjp0Zj9scvXAhUCQBQKHdr9AukQ_AUIEigB&biw=1280&bih=800#imgrc=DaUMimX7h5jiTM:&spf=1511134893215

http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

https://physics.info/

https://hypertextbook.com/chaos/