Zibaldone Scientifico

giovedì 11 dicembre 2025

278. Bilioni

Quando si parla di debito pubblico o di PIL di uno stato non è facile farsi subito un’idea dell’entità di questi valori.

Se poi lo confrontiamo con i valori di altri paesi le cose si complicano.

Questa ulteriore confusione nasce dal fatto che in Italia si usa la scala lunga, mentre, ad esempio, in USA e UK si usa la scala corta. Perciò “billion” in inglese significa miliardo (10⁹), mentre in italiano “bilione” significa mille miliardi (10¹² come il trilione della scala corta). Il “trilione” in italiano è molto più grande: 10¹⁸.

Scala lunga e corta deriva dal fatto che il suffisso “one“ nel primo caso si ripete ogni 6 esponenti, mentre nel secondo ogni 3.

Nel 2024, il debito pubblico italiano ha raggiunto il 135,3% del PIL (Prodotto Interno Lordo), con un valore nominale di circa 2.947 miliardi di euro e con previsioni di un aumento entro la fine del 2025; il picco del rapporto al 154,9% è stato raggiunto nel 2020 a causa della pandemia. Il debito pubblico italiano è uno dei più alti in Europa, secondo solo a quello della Grecia, che ha un rapporto debito/PIL del 152,5%.

Per ricordare più facilmente questo dato basta sapere che ogni italiano ha poco più di 50.000 euro di debito (raddoppiato negli ultimi 20 anni).

Ancora più difficile: il PIL mondiale del 2024 è stato stimato di circa 95.000.000.000.000 di dollari; 95 Bilioni (scala lunga) e 95 Trilioni (scala corta).

Di seguito verrà utilizzata la scala corta.

L’uomo più ricco del mondo ha un patrimonio stimato di mezzo Trilione di dollari e i primi 10 bilionari hanno un patrimonio complessivo di 2,3 Trilioni (pari al PIL italiano) e sono quasi tutti statunitensi. Entro il 2030 ci saranno diversi trilionari.

Ipotizzando uno stipendio annuo medio di un impiegato di 40.000 euro, l’amministratore delegato di una grande azienda percepisce almeno 100 volte di più di questo valore (più eventuali premi, ecc.), mentre l’uomo più ricco possiede un patrimonio 12 milioni di volte maggiore. Come si usa dire, cifre da capogiro.

Per fare un esempio, se questi importi fossero versati al ritmo di 1 dollaro al secondo, nel primo caso servirebbe meno di una mezza giornata, nel secondo 1 mese e mezzo, mentre nel terzo caso occorrerebbero 15.000 anni.

Scala lunga e scala corta - Wikipedia

Debito pubblico - Wikipedia

Distribuzione della ricchezza - Wikipedia

Persone più ricche del mondo secondo Forbes - Wikipedia

Come è distribuita la ricchezza nel mondo? - Oxfam Italia

Zibaldone Scientifico: 174. 4 Lorenz e 1 Lorentz

mercoledì 24 settembre 2025

277. Partizioni

Sezionare un quadrato in parti uguali è semplice, basta dividerlo in strisce con uguali dimensioni.

Se inoltre il numero delle parti è un quadrato, si può dividere in 4 o un numero pari a n² (9, 16, 25, ecc.), colorando le parti in modo alterno, come in una scacchiera. Nell’esempio in figura, se il numero è pari avremo n²/2 caselle bianche e altrettante caselle colorate; se invece è dispari, avremo (n²+1)/2 caselle bianche e (n²-1)/2 caselle colorate.

Data una scacchiera n x n, nella seguente tabella si può vedere che passando alla riga successiva, il numero di caselle aumenta come 2n+1, mentre per le caselle bianche aumenta come n e n+1 in modo alterno e per le caselle colorate come n+1 e n.

n x n	Caselle	Caselle bianche	Caselle colorate
1 x 1	1	1	0
2 x 2	4	2	2
3 x 3	9	5	4
4 x 4	16	8	8
5 x 5	25	13	12
6 x 6	36	18	18

Prima di continuare pongo un quesito a cui darò soluzione alla fine, nel caso foste interessati a risolverlo:

dividere la figura in 4 parti uguali che abbiano la stessa forma della figura data

Il modo più semplice di fare una partizione di una torta è ovviamente di fare fette uguali, ma sarebbe troppo facile. Un modo alternativo è disegnarne altre 2 con raggio uguale alla metà della prima in questo modo:

Dove tutti i pezzi (i 2 cerchi piccoli e le due parti superiore/inferiore) hanno un'area pari a 𝟏/𝟒 dell'area totale, garantendo così quattro porzioni di uguale dimensione.

In modo analogo si possono costruire figure con un numero di partizioni (9, 16, 25, ecc.):

Soluzione del quesito

Zibaldone Scientifico: 258. Pizza al taglio

giovedì 28 agosto 2025

276. La formula più bella – Allegato 2

Nei 2 post (e allegato) precedenti si è visto come sia semplice la forma delle equazioni di campo di Einstein nel vuoto (che permettono di calcolare i moti di tutti gli oggetti sottoposti ad un campo gravitazionale):

R_μν = 0

Per capire la matematica bisogna a volte scavare più a fondo nelle parti più segrete (o se volete più nascoste), come per le opere di Arnaldo Pomodoro.

Una sfera ha una forma affascinante e contemporaneamente semplice: in coordinate sferiche, un cerchio, una sfera o una ipersfera si rappresentano con R = costante.

Ma le sfere di Pomodoro ci fanno intravedere che al loro interno esiste una realtà più complessa.

Rompono una simmetria perfetta e ci portano ad immaginare che sotto la superficie liscia esista un mondo da scoprire.

Lo scultore, scomparso recentemente, era nato nel 1926 nel Montefeltro e dagli anni ’60 sviluppò forme geometriche che si vedono spesso in molte piazze o musei. Sfere, dischi o cubi vengono squarciati per mostrare quanto nascondono. Una delle prime sfere (di 3,5 metri di diametro) fu commissionata per l’Expo di Montreal del 1967 e si trova ora di fronte alla Farnesina.

Tornando al tensore di Ricci, nel post 166 sono state riportate le parole di Einstein:

“Se nella teoria della Relatività Generale esiste un’equazione analoga a quella di Poisson, deve trattarsi di un’equazione tensoriale per il tensore g_µν del potenziale gravitazionale; il tensore energetico della materia dovrà poi figurare in essa a secondo membro, mentre a primo membro dovrà figurare un tensore differenziale nelle g_µν. Dobbiamo ora ricercare tale tensore differenziale, il quale risulta completamente determinato dalle 3 condizioni seguenti:

1) non deve contenere alcuna derivata delle g_µν di ordine superiore al secondo;

2) deve essere lineare e omogeneo nelle derivate seconde;

3) la sua divergenza deve essere identicamente nulla.

Le prime 2 condizioni sono tratte naturalmente dall’equazione di Poisson.”

La terza condizione è necessaria per poter soddisfare il principio di conservazione dell’energia.

Dal tensore metrico g_µν e dalle sue derivate prime possono essere costruite delle grandezze (connessione affine) che non hanno però le caratteristiche di un tensore in quanto possono essere annullate scegliendo un opportuno sistema di riferimento. Senza entrare troppo nei dettagli, queste rappresentano il campo gravitazionale, che può venire annullato localmente scegliendo un sistema in caduta libera.

Ricordo che un tensore è un oggetto matematico che generalizza i concetti di scalare e vettore. In fisica, i tensori descrivono quantità che sono indipendenti dal sistema di riferimento.

Il tensore di Ricci è un concetto fondamentale nella geometria differenziale e nella teoria della Relatività Generale. È una forma matematica che misura come la geometria di uno spazio curvo si comporta localmente e descrive come si deformano i volumi nello spazio curvo.

Per capire il tensore di Ricci, dobbiamo partire dal concetto di curvatura: lo spazio-tempo può essere curvo, cioè non piatto come lo spazio euclideo. Questa curvatura è descritta da un oggetto chiamato tensore di Riemann: un tensore di ordine 4 che contiene tutte le informazioni sulla curvatura locale. Il tensore di Ricci è una forma semplificata della curvatura, ottenuta contraendo (cioè sommando) rispetto a 2 indici del tensore di Riemann:

R_μν = R^λ_μλν

Il numero di componenti del tensore di Ricci dipende dalla dimensione dello spazio su cui è definito; è un tensore simmetrico di rango 2 (2 indici) definito su uno spazio di dimensione n.

È simmetrico: R_μν = R_νμ e il numero di componenti indipendenti è uguale a n(n+1)/2

Dimensione n Componenti indipendenti di R_μν

2 2 (2+1) / 2 = 3

3 3 (3+1) / 2 = 6

4 (spazio-tempo) 4 (4+1) / 2 = 10

5 5 (5+1) / 2 = 15

Nota: anche se il tensore di Riemann in 4 dimensioni ha 256 componenti (4 indici, ognuno da 0 a 3, cioè 4 alla quarta), solo 20 sono indipendenti a causa delle simmetrie.

Il tensore di Ricci ha solo 10 componenti indipendenti in 4 dimensioni.

Per mostrare la complessità di questi due tensori, inizio dalla definizione del tensore di Riemann:

Dove le grandezze Г sono le connessioni affini citate sopra, la virgola indica la derivata rispetto all’indice successivo e si è usata la convenzione di Einstein per la sommatoria degli indici ripetuti 2 volte.

Non è importante seguire i passaggi, e quindi, per non complicare troppo il discorso, mostro solo 2 estratti di Teoria dei campi di Landau/Lifsits, dove si vede la forma covariante (indici tutti in basso) del tensore di curvatura di Riemann e, come ottenere il tensore di Ricci per contrazione di 2 indici:

Come esempio riporto solo la contrazione della prima parte della (92,1) con il primo termine in parentesi:

Che esplicitato risulta la sommatoria di 16 termini:

Potete immaginare ora cosa intendevo all’inizio quando dicevo che scavando più a fondo la semplice R_μν = 0 si arriva ad un risultato difficile anche da scrivere.

Ecco, tutto questo (e molto altro come ad esempio le equazioni di Newton) è contenuto in questi pochi caratteri.

Nota: nel primo articolo di Einstein non si trova in forma esplicita l’equazione di campo della Relatività Generale, come nel primo articolo di 10 anni prima sulla Relatività Ristretta non si trova la più famosa E=mc².

Quest’ultima è stata ricavata in un successivo lavoro di Einstein, mentre l’equazione di campo è stata scritta per un particolare sistema di riferimento per semplificare i calcoli e compare in questa forma: