271. Terne pitagoriche

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :

Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:

I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a² + b² = c². Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Valgono le seguenti condizioni:

•   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

•       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

•       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

•      l'ipotenusa DEVE essere dispari (altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

•         dai punti precedenti segue che a+b+c e a+b-c DEVONO essere pari

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove p è il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la misura del suo perimetro:  

R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: 

R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P                        A014498 - OEIS 

Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

Più in generale vale: in ogni triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta e i 3 ex-raggi delle 3 circonferenze ex-inscritte sono numeri naturali

R = ½ (a+b–c);   R_a = ½ (a+c–b);   R_b = ½ (b+c–a);   R_c = ½ (a+b+c)

Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)

Esercizio: per le terne pitagoriche, dimostrare: ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER

270. Esponenziali complessi

 Nel post 146. Argomenti Complessi sono state riportate alcune formule notevoli che utilizzano i numeri complessi dove l’unità immaginaria i è definita come:    i ²  =  -1

Si è visto anche che elevando i ad i si ottiene:

                                  i ⁱ  =  0.2078795763507619…

E se questo numero reale lo elevassimo ulteriormente a i, con pochi passaggi potremmo ottenere il valore iniziale i cambiato di segno:

(0.20787957…)ⁱ   =   ( i ⁱ )ⁱ   =   i ^i . i  =  i ^-1  =  1 / i  =  - i

Continuando con l’elevamento a potenza avremmo un ciclo di 4 valori che si ripetono:

i         0,2078796…       -i         4,8104773…       e di nuovo     i

Piano complesso di Argand-Gauss

L'elevamento a potenza non è commutativo, ad esempio 2³ è differente da 3²; inoltre, a differenza dell'addizione e della moltiplicazione, non è associativo: 

ad esempio, (2³)² = 8² = 64, mentre 2^{(3^2)} = 2⁹ = 512. 

Cioè, quello che abbiamo detto prima, vale se (((((i^i)^i)^i)^i)^…), ma se invece volessimo calcolare i^(i^(i^(i^(i^…)))), il risultato sarebbe:

0,207879

0,947159 + 0,320764 i

0,050092 + 0,602116 i

0,387166 + 0,030527 i

0,782276 + 0,544607 i

0,142562 + 0,400467 i

0,519786 + 0,118384 i

0,568589 + 0,605078 i

0,242365 + 0,301151 i

0,578489 + 0,231530 i

0,427340 + 0,548231 i

0,330967 + 0,262892 i

0,574271 + 0,328716 i

0,369948 + 0,468173 i

0,400633 + 0,263120 i

…………

Piano complesso di Argand-Gauss

Si può dimostrare che questa serie converge alla soluzione complessa di

z  =  i ^z       con   z  =  0,4382829 + 0,3605924 i  =  re^iϑ

                      r = 0,5675551,   ϑ = 0,6884532

A077589 (parte reale di z)               A077590 (parte immaginaria)

A212479 (valore assoluto di z)        A212480 (argomento di z)

 

Per festeggiare il Pi-day, comincio con ricordare che molte formule contengono sia Pi greco che l’unità immaginaria, l’esempio più noto è l'Identità di Eulero:

e ^iπ  =  -1

e da questa si può subito ricavare          ln (-1)  =  i π

Continuando si ottengono altre interessanti relazioni:

e queste ci aiutano a comprendere perché elevare l’unità immaginaria a sé stessa fornisca un numero reale.

Iterating complex powers

sequences and series - Infinite exponentiation - Mathematics Stack Exchange

Imaginary Powers | Math in Matter

Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:

sin (i) = 1.1752012i               arcsin (i) = 0.8814i
sinh (i) = 0.8415i                   arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806                arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403                    arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i                     arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i                   arctanh (i) = 0.7854i
csc (i)  = -0.8509i                   arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i                  arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481                      arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508                    arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i                    arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i                  arccoth (i) = -0.7854i

Calcolatrici x numeri complessi:   

http://www.calcinator.com/scicalc.html

Complex number calculator

Per approfondire si possono consultare i link:

• Exponentiation - Wikipedia
• Formula di De Moivre
• Identità di Eulero
• Piano complesso
• Radice dell'unità
• Rappresentazione dei numeri complessi
• Storia dei numeri complessi
• Teorema fondamentale dell'algebra
• Leonhard Euler
• Caspar Wessel
• Jean-Robert Argand
• Carl Friedrich Gauss
• http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

Abstract -  Complex numbers

269. Rinascimento

 Qui se non mi sbrigherò, arriverà il Rinascimento e non ci sarà tempo che per dipingere! (Giullare) - Woody Allen: Tutto quello che avreste voluto sapere sul sesso (ma non avete mai osato chiedere)

 

A due passi dal Duomo di Milano si trova la via Falcone. Stretta e corta, meno di 100 metri.

Chi la percorre arrivando da via Mazzini, non la noterà nemmeno: a sinistra ci sono portici con negozi costruiti nel dopoguerra, mentre a destra un muro di mattoni e alcune vecchie case. Ma questa è una delle vie più vecchie di Milano e la storia è passata di qui.

Nell’anno 1242, all’inizio di via Falcone vi era un albergo con l’insegna del falcone. Più che un albergo era un ostello frequentato da avventori e prostitute. Bevitori e giocatori di dadi passavano le giornate sperperando i soldi che avevano.

Si racconta che nell’anno 1242 avvenne un fatto miracoloso che vide l'immagine della Vergine con Bambino, posta sulla via all’esterno del sacello di S. Satiro, sanguinare in seguito ad una coltellata infertale da un giovane squilibrato, tale Massazio da Vigolzone, che aveva perso tutto al gioco. L'immagine restò esposta all'esterno di S. Satiro, fino a quando, circa due secoli più tardi, fu decisa la costruzione di un tempio in cui ospitare l'opera. L'icona con la Vergine del Miracolo fu portata all'interno della chiesa e rimaneggiata nel XV secolo.

In fianco a S. Satiro vi era la Taverna della Lupa, che venne acquistata nel 1478 per creare lo spazio per l'edificazione della bramantesca S. Maria presso S. Satiro.

L'ingaggio del Bramante per la chiesa di S. Maria, commissionata dagli Sforza e dalla madre di Gian Galeazzo, Bona di Savoia, risale al 1480. La prima rivoluzione che introdusse appena giunto in cantiere fu la rotazione della pianta di 90°, rispetto ai primi progetti, cioè con l'altare maggiore verso via Falcone e l'ingresso verso l'attuale via Torino, per restituire gli spazi maggiori al pubblico in pellegrinaggio.

Il finto coro della chiesa di Santa Maria presso San Satiro è una struttura, realizzata in mattoni e decorata con terracotta e stucchi dipinti, creata per risolvere il problema della limitazione di una chiesa con pianta a T dando l'illusione dell'esistenza di una vera abside.

Tale struttura è contraddistinta da una volta con cassettoni a bassorilievo che incornicia la grande lunetta con raffigurato il Miracolo della Vergine pugnalata da Massazio. Sotto, sempre a bassorilievo, sono riprodotte tre campate con pilastri e archi che simulano l'esistenza di navate minori laterali concluse da un fondale al quale poggia il più recente altare che incornicia l'affresco duecentesco della Vergine con il Bambino.

Il finto coro della chiesa fu progettato e verosimilmente realizzato da Donato Bramante contemporaneamente all'intera costruzione dell'edificio, dunque fra il 1482 e il 1486. Infatti, la struttura della finta prospettiva simula un prolungamento della navata centrale con la presenza di tre campate, con pilastri e archi, e suggerisce l'esistenza di navate minori laterali per mezzo di un ordine minore: tutto ciò poteva essere stato pensato solo contemporaneamente alla progettazione e realizzazione di quelle che sono le reali navate della chiesa.

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Durante il governo di Ludovico il Moro, Milano conobbe un vero e proprio periodo d'oro, con la presenza a corte di artisti come Leonardo e Bramante e matematici come Luca Pacioli.

Nel 1479 Ludovico Sforza ritorna a Milano e assume la reggenza del giovane nipote Gian Galeazzo Sforza, che era diventato duca di Milano dopo la morte del padre Galeazzo Maria assassinato nella chiesa di Santo Stefano.  Nel 1489 Ludovico assume definitivamente il potere e nel 1495 è incoronato in Duomo come duca di Milano. Dopo 4 anni, le truppe di Luigi XII re di Francia invadono Milano e Ludovico il Moro fugge a Innsbruck.

Nello stesso anno, Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia.

 

Nel 1823 Giuseppe Diotti (1779 – 1846) dipinse la famosa tela “La corte di Ludovico il Moro”, dove vengono rappresentati intellettuali e artisti chiamati da ogni parte d’Italia a contribuire al rinnovamento di Milano. Nel quadro viene raffigurato Leonardo da Vinci mentre mostra al duca il disegno dell’Ultima cena. Partendo da sinistra sono rappresentati:

·       il segretario di Stato, Bartolomeo Calco mentre entra nella stanza,

·       il ragazzo che apre la porta

·       il matematico Fra’ Luca Pacioli

·       Donato Bramante

·       il cardinale Ascanio Sforza

·       La duchessa Beatrice d’Este

·       Ludovico Sforza detto il Moro

·       il musico Franchino Gaffurio da Lodi

·       Leonardo da Vinci

·       il poeta Bernardo Bellincioni da Firenze

·       lo storico Bernardino Corio

Come anticipato, tra le prime opere in cui si misurò Donato Bramante per Ludovico il Moro ci fu la ricostruzione della chiesa di Santa Maria presso San Satiro. Fu progettato un corpo longitudinale a tre navate, con uguale ampiezza tra navata centrale e bracci del transetto, entrambi coperti da poderose volte a botte con cassettoni dipinti. L'incrocio dei bracci presenta una cupola, immancabile motivo bramantesco, ma l'armonia dell'insieme era messa a rischio dall'insufficiente ampiezza che, nell'impossibilità di estenderlo, venne "allungato" illusionisticamente, costruendo una finta fuga prospettica in stucco in uno spazio profondo meno di un metro, con tanto di volta cassettonata illusoria.

Leonardo da Vinci fu ospite di Milano in diversi periodi, in modo continuativo dal 1482 al 1499, e poi in varie occasioni tra il 1506 e il 1513.

Con il primo esempio di Curriculum Vitae, Leonardo si propose al signore della città come esperto di tecniche militari e in quell'occasione scrisse la famosa "lettera d'impiego" di nove paragrafi, in cui descriveva innanzitutto i suoi progetti di ingegneristica, di apparati militari, di opere idrauliche, di architettura, e solo alla fine, di pittura e scultura, di cui occuparsi in tempo di pace, tra cui il progetto di un cavallo di bronzo per un monumento a Francesco Sforza.

Più precisamente, la lettera, conservata nel Codice Atlantico, elenca tutte le sue competenze:

·      costruire ponti

·      togliere acqua dai fossati

·      “ruinare” rocche e fortezze

·      scavare cunicoli

·      costruire bombarde

·      costruire mortai

·      costruire imbarcazioni da guerra

·      costruire carri armati

Solo in coda, quando si dice la modestia, esibisce le sue doti di scultore, architetto e infine di pittore.

Altri esempi degni di nota, dove l’architettura modifica la percezione dello spazio, ingannando l’osservatore in merito alle reali dimensioni, sono, ad esempio, il Teatro Olimpico: un teatro progettato dall'architetto rinascimentale Andrea Palladio nel 1580, situato a Vicenza, e la galleria di Palazzo Spada, a Roma, realizzata da Francesco Borromini.

Le sette meraviglie prospettiche in architettura (didatticarte.it)

Santa Maria presso San Satiro - Divina Milano

Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento italiano - Wikipedia

Arte del Rinascimento - Wikipedia

Rinascimento lombardo - Wikipedia

Sovrani di Milano - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 141. Regola del 72

 

1476    Galeazzo Maria Sforza è assassinato in S.Stefano

1476    Gian Galeazzo Maria succede al padre come sesto duca di Milano

1479    Ludovico il Moro rientra a Milano e assume la reggenza del nipote

1480    Bramante si trasferisce da Bergamo a Milano

1482    Leonardo giunge a Milano

1489    Ludovico il Moro assume il potere

1490    Isabella d’Aragona sposa il duca Gian Galeazzo (nipote di Ludovico)

1491    Beatrice d’Este sposa Ludovico il Moro

1495    Ludovico il Moro è incoronato in Duomo come duca di Milano

1495    Leonardo inizia i lavori al Cenacolo di Santa Maria delle Grazie

1499    Ludovico il Moro fugge a Innsbruck

1499    Bramante parte per Roma e Leonardo per Venezia

268. Falla di Gödel

 

Articolo V

Il Congresso, quando i due terzi di ciascuna Camera lo ritengano necessario, potrà proporre emendamenti a questa Costituzione o, su richiesta dei Legislativi dei due terzi dei vari Stati, potrà convocare una Convenzione per proporre emendamenti, che, in entrambi i casi, saranno validi ad ogni intento e proposito come parte di questa Costituzione quando ratificati dai Legislativi dei tre quarti dei diversi Stati, o da apposite Convenzioni nei tre quarti di essi, a seconda che l'uno o l'altro modo di ratifica sia proposto dal Congresso; con l'eccezione che nessun emendamento che sia fatto prima dell'anno 1808 potrà in qualsiasi modo incidere sulla prima e sulla quarta clausola della Sezione nona dell'articolo primo; e che nessuno Stato potrà, senza il suo consenso, esser privato della sua parità di suffragio nel Senato.

Nel 1947, Kurt Gödel, Albert Einstein e Oskar Morgenstern guidarono da Princeton a Trenton con l'auto di Morgenstern. I tre uomini, che erano fuggiti dall'Europa nazista e che erano diventati amici intimi all'Institute for Advanced Study, stavano andando in tribunale dove Gödel, un esule austriaco, avrebbe dovuto sostenere l'esame di cittadinanza statunitense, cosa che i suoi due amici avevano già fatto.

Tra le altre cose, Morgenstern aveva fondato la teoria dei giochi, Einstein aveva fondato la teoria della relatività e Gödel aveva rivoluzionato la matematica e la filosofia con i suoi teoremi di incompletezza.

Kurt Gödel e Albert Einstein a Princeton. Fotografia scattata da Oskar Morgenstern

Oskar Morgenstern e Kurt Gödel a Princeton. Fotografia scattata da Albert Einstein

Morgenstern guidava. Gödel si sedette dietro. Einstein, davanti con Morgenstern, si voltò e disse, scherzando:

"Ora, Gödel, sei davvero ben preparato per questo esame?"

Gödel sembrava colpito.

Secondo Morgenstern, lo scopo di Einstein nel chiedere questo era quello di innervosire Gödel, la cui reazione lo divertì.

In tribunale

I testimoni normalmente rimanevano fuori dalla stanza durante un esame di cittadinanza, ma poiché Einstein era coinvolto, e poiché il giudice, Phillip Forman, aveva prestato giuramento di cittadinanza a Einstein, tutti e tre gli uomini furono invitati a presentarsi.

Durante l'esame, Forman chiese a Gödel la storia del governo austriaco: 

Examiner:    "Now, Mr. Gödel, where do you come from?"
Gödel:         "Where I come from? Austria."
Examiner:    "What kind of government did you have in Austria?"
Gödel:         "It was a republic, but the constitution was such that it finally was changed into a dictatorship."
Examiner:    "Oh! This is very bad. This could not happen in this country."
Gödel:         "Oh, yes. I can prove it."

In sintesi: era una repubblica, ma la costituzione era tale che alla fine cambiò in una dittatura; il giudice commentò che ciò non poteva accadere negli Stati Uniti e Gödel rispose "Oh, sì, posso provarlo", ma il giudice rifiutò di approfondire la questione.

Per prepararsi al test di cittadinanza, sapendo che gli sarebbero state poste domande sulla Costituzione degli Stati Uniti, Gödel si era dedicato allo studio della storia americana e del diritto costituzionale. Più e più volte, aveva telefonato a Morgenstern con il panico crescente per l'esame. Morgenstern lo rassicurò che "al massimo potrebbero chiedersi che tipo di governo abbiamo". Ma Gödel si arrabbiò sempre di più. Alla fine, come ricordò in seguito Morgenstern, "mi disse piuttosto eccitato che guardando la Costituzione, con sua angoscia, aveva trovato alcune contraddizioni interne e che poteva mostrare come in modo perfettamente legale sarebbe stato possibile per qualcuno diventare un dittatore e instaurare un regime dittatoriale, mai voluto da coloro che hanno redatto la Costituzione". Aveva trovato un difetto logico.

Morgenstern parlò ad Einstein della teoria di Gödel; entrambi dissero a Gödel di non parlarne durante l'esame.

Quanto invece successo, quando arrivarono in aula, è stato mostrato prima.

Né Gödel né i suoi amici hanno mai spiegato quale fosse la teoria, che da allora è stata chiamata la falla di Gödel.

Kurt Gödel ha esaminato attentamente le più di quattromila parole della Costituzione degli Stati Uniti e ha individuato un difetto logico.

Gli Stati Uniti sono stati la prima nazione la cui costituzione ha previsto una propria revisione. Senza l'articolo V, la Costituzione avrebbe molto probabilmente fallito la ratifica. Tutti sapevano che la Costituzione era imperfetta; L'articolo V lasciava socchiusa una porta costituzionale per rendere essa "più perfetta".

In ogni caso, negli Stati Uniti, è estremamente difficile modificare la Costituzione.

La Costituzione degli Stati Uniti è stata riscritta tre volte: nel 1791, i primi dieci emendamenti; dopo la guerra civile e più recentemente, con la ratifica di alcuni emendamenti.

La falla di Gödel in realtà è una versione costituzionale dell'idea che, se il genio della lampada ti offrisse tre desideri, dovresti iniziare desiderando altri desideri.

Articolo V: la disposizione di modifica non vieta di modificare l'articolo V stesso.

È molto difficile ratificare un emendamento costituzionale, ma se un presidente riuscisse ad accumulare abbastanza potere e ad accumulare abbastanza seguaci, potrebbe ottenere la ratifica di un emendamento che riveda il meccanismo stesso dell'emendamento. Se un articolo V rivisto rendesse possibile a un Presidente di emendare la Costituzione per decreto (ad esempio, "Il Presidente, ogni volta che lo riterrà necessario, apporterà emendamenti a questa Costituzione, che saranno validi a tutti gli effetti, come parte di questa Costituzione"), potrebbe trasformare una democrazia in una dittatura senza far nulla di incostituzionale.

Dopo l'udienza

Torniamo a quanto scritto da Morgenstern nel suo memorandum, dopo l'udienza: "Partimmo, tornammo a Princeton, e quando arrivammo all'angolo di Mercer Street, chiesi a Einstein se volesse andare all'Istituto o a casa". Risposta: "Portami a casa, il mio lavoro non vale più nulla". […] "Poi via di nuovo a casa di Einstein". Quando raggiunsero la casa,  Einstein si voltò verso Gödel e disse:

 

Einstein:      "Ora Gödel, questo è stato il tuo penultimo esame"
Gödel:         "Santo cielo, ce n'è ancora un altro in arrivo?"
Einstein:      "L'esame successivo è quando entri nella tomba"
Gödel:         "Ma Einstein, non devo entrare nella tomba" 

Einstein:      "È solo uno scherzo!"

"Detto questo, se ne andò. Ho accompagnato Gödel a casa. Tutti erano sollevati che questa formidabile faccenda fosse finita: Gödel aveva di nuovo la testa libera per affrontare problemi di filosofia e di logica". — Oskar Morgenstern

Gödel’s Constitutional Quarrel. The Gödel Essays | by Jdennysmess | Medium

XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America - Wikipedia

Oskar Morgenstern's account of Kurt Gödel's naturalization

Falla di Gödel - Wikipedia

In conclusione, aggiungo una nota in merito alle regole di rielezione alla carica di Presidente degli Stati Uniti.

Franklin Delano Roosevelt  (30 gennaio 1882 –  12 aprile 1945) fu eletto 4 volte ed ebbe una durata del mandato di 12 anni, dal 4 marzo 1933, al 12 aprile 1945.

Roosevelt trascorse i mesi precedenti alla Convenzione nazionale democratica del 1940 rifiutandosi di comunicare se avrebbe richiesto un terzo mandato. Quando iniziò la convention, inviò un messaggio dicendo che si sarebbe candidato solo se fosse stato scelto, affermando che i delegati erano liberi di votare per chi volevano. Questo messaggio fu interpretato come la volontà di essere nominato e fu rinominato al primo scrutinio. Roosevelt ottenne una vittoria decisiva sul repubblicano Wendell Willkie, diventando l'unico presidente a superare gli otto anni di mandato. La sua decisione di cercare un terzo mandato dominò la campagna elettorale. Willkie si oppose al mandato presidenziale a tempo indeterminato, mentre i democratici citarono la Guerra in Europa come motivo per rompere con i precedenti.

Quattro anni dopo, Roosevelt affrontò il repubblicano Thomas E. Dewey nelle elezioni del 1944. Verso la fine della campagna elettorale, Dewey annunciò il suo sostegno a un emendamento costituzionale per limitare i presidenti a due mandati. Secondo Dewey, “quattro mandati, o sedici anni, un riferimento diretto al mandato del presidente di lì a quattro anni, sono la minaccia più pericolosa alla nostra libertà mai proposta”. Con discrezione sollevò anche la questione dell'età del presidente. Roosevelt emanava energia e carisma sufficienti per conservare la fiducia degli elettori e fu eletto per un quarto mandato.

Sebbene durante la campagna elettorale avesse smentito le voci sulla sua cattiva salute, la salute di Roosevelt stava peggiorando. Il 12 aprile 1945, solo 82 giorni dopo il suo quarto insediamento, fu colpito da un'emorragia cerebrale e morì, succeduto dal vicepresidente Harry Truman. Alle elezioni di metà mandato del 1946, 18 mesi dopo, i repubblicani presero il controllo della Camera e del Senato. Poiché molti di loro avevano fatto campagna elettorale sulla questione del mandato presidenziale, dichiarandosi a favore di un emendamento costituzionale che limitasse la durata del mandato presidenziale, la questione ebbe la priorità nell'80° Congresso quando si riunì nel gennaio 1947.

Il XXII emendamento della Costituzione degli Stati Uniti d'America limita il numero di volte in cui una persona può essere eletta alla carica di Presidente degli Stati Uniti a due mandati e stabilisce ulteriori condizioni di eleggibilità per i Presidenti che succedono ai mandati non scaduti dei loro predecessori. Il Congresso approvò il Ventiduesimo Emendamento il 21 marzo 1947 e lo sottopose alle legislature statali per la ratifica. Il processo si è concluso il 27 febbraio 1951, quando 36 stati su 48 hanno ratificato l'emendamento e le sue disposizioni sono entrate in vigore in quella data.

Roosevelt sostenne anche, a partire dal 1942, lo sviluppo e la costruzione delle prime bombe atomiche della storia dell'umanità che verranno impiegate dal suo successore Harry Truman sulle città di Hiroshima e Nagasaki.

Zibaldone Scientifico: 197. Tempo: 9.192.631.770