179. Anno Luce (Blu)

L'Assemblea Generale delle Nazioni Unite ha proclamato il 2015

Anno Internazionale della luce e delle tecnologie basate sulla luce.

Quest’anno si celebrano 2 importanti anniversari:

1815, Concetto di luce come onda proposto da Fresnel

1865, Teoria elettromagnetica della propagazione della luce proposta da Maxwell

Anche il Nobel per la Fisica 2014 ha voluto premiare una tecnologia basata sulla luce:

è stato assegnato a Isamu Akasaki, Hiroshi Amano e Shuji Nakamura per la loro invenzione dei LED (diodo a emissione luminosa) a luce blu.

 

 

I LED a luce blu sono la base delle moderne lampadine a basso impatto ambientale (risparmio energetico) e di una vasta gamma di altre applicazioni.

Realizzati nella loro forma concreta 20 anni fa, i LED blu sono l’anello mancante (inseguito per oltre 30 anni) che ha reso possibile le lampade LED a luce bianca.

 

La prima luce allo stato solido è stata prodotta nel 1907 da Henry J. Round; diversi studi sono stati fatti negli anni ’20 e ’30 in Unione Sovietica, ma la mancanza di una comprensione teorica del fenomeno ha limitato la scoperta ad una curiosità di laboratorio.

Filamenti riscaldati o gas ionizzati producono luce come prodotto “secondario”, mentre un LED produce luce “primaria” fornendo una vera luce "fredda".

Un LED è composto da strati di materiale semiconduttore e, nella sua forma più semplice, è costituito da uno strato drogato N, che ha un eccesso di elettroni, ed uno strato drogato P che manca di elettroni (o che ha un eccesso di lacune positive).

Quando una corrente passa attraverso il dispositivo, elettroni e lacune si combinano nello strato attivo intermedio e generano luce.

 

La lunghezza d'onda della luce (e quindi il suo colore) è funzione dei materiali utilizzati.

 

I LED rossi sono stati inventati nel 1950 e ben presto trovarono applicazioni come spie e come display in calcolatrici e orologi digitali.

Entro la fine del 1960, sono stati inventati LED infrarossi e verdi.

Tuttavia il LED blu necessario per creare luce bianca si rivelò molto più difficile da produrre.

Il LED blu è necessario per ottenere luce bianca:

-        per combinazione con LED rossi e verdi,

-        utilizzando fosforo che crea luce gialla.

 

 

 

Questo ha richiesto una lunga serie di innovazioni in fisica dei materiali.

Akasaki, Amano, e Nakamura, hanno lavorato per anni al problema, spesso costruendo le attrezzature necessarie. La soluzione era il nitruro di gallio (GaN).

 

Le lampade a LED emettono luce fino a 300 lumen per watt (lm/W), molto più efficienti rispetto ai 16 lm/W delle lampadine a incandescenza tradizionali e ai 70 lm/W delle lampade fluorescenti.

 

Oltre che per l’illuminazione domestica e commerciale, sono utilizzati per i fari delle automobili, le luci dei lampioni, le luci delle luminarie, i flash per fotocamere e le torce tascabili.

Inoltre, questa tecnologia ha permesso lo sviluppo dei più moderni televisori, dei laser LED per lettori Blu-ray e di stampanti laser più efficienti.

I LED blu hanno un notevole impatto positivo sull'ambiente. Non utilizzano mercurio (come in molte lampade per l’illuminazione stradale) e visto che una notevole frazione della produzione di energia mondiale viene utilizzata per l'illuminazione, la luce fredda del LED ha un grande potenziale per ridurre la domanda di energia. Infine i LED durano fino a 100.000 ore invece delle 1.000 ore per le lampade a incandescenza e delle 10.000 ore per le lampade fluorescenti.

 

I link seguenti riguardano le Letture di Akasaki, Amano e Nakamura effettuate alla consegna dei Nobel (8 Dicembre 2014, Aula Magna, Università di Stoccolma).

 

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2014/

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2014/popular-physicsprize2014.pdf

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2014/nakamura-lecture-slides.pdf

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2014/amano-lecture-slides.pdf

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2014/akasaki-lecture-slides.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Electomagnetic_spectrum
http://en.wikipedia.org/wiki/Blue_laser
http://en.wikipedia.org/wiki/OLED

178. Castel del Monte e Frattali

Il mio amico G. vedendo il disegno della pianta di Castel del Monte ha pensato ad una struttura frattale.

Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) introdusse la parola frattale nel 1975 per descrivere qualsiasi forma che continui ad avere una struttura “intricata” per quanto la si ingrandisca.

Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

Definizione più criptica: un frattale è un oggetto la cui dimensione frattale è maggiore di quella topologica.

E’ un oggetto “infinitamente complicato” e, per quanto venga ingrandito, non si riesce mai a ridurne la complessità. Molti frattali posseggono anche la particolare proprietà di essere auto-similari: al loro interno esistono repliche dell’oggetto considerato.

Il grado di complessità può essere rappresentato da un numero detto dimensione frattale.

 

Esistono due metodi per generare una struttura frattale:

il primo è ingrandire un oggetto unitario,
il secondo è costruire la sotto sequenza di divisione della struttura originale.

Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare pari a 1 nella dimensione euclidea D, e ingrandiamo la sua dimensione lineare di un fattore L in ogni direzione spaziale, esso prende un numero pari a N = L^D di oggetti simili, per ricostruire l'oggetto originale.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension

La dimensione frattale è quindi definita da:

dove il logaritmo può essere di qualsiasi base.
 

La curva di Koch è uno degli esempi più famosi di curva auto-similare e apparve per la prima volta in un documento del 1904 del matematico svedese Helge von Koch.

Si costruisce dividendo un segmento in tre parti uguali e sostituendo la parte centrale con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero; l’algoritmo continua ripetendo questa sostituzione all’infinito per ogni nuovo segmento generato.

Ad ogni passaggio la lunghezza aumenta di un terzo (rapporto 4/3); facendo tendere il numero dei passaggi all’infinito anche la lunghezza diverge e, se vogliamo trovare una metrica per “misurare” i vari frattali, dobbiamo trovare nuove definizioni.

Nella figura si possono vedere i primi passaggi per costruire la curva:

 

 

La dimensione della Curva di Koch (come anche della Polvere di Cantor) è:

log(4) / log(3) = 1.2619

Ci sono decine di modi per definire la dimensione di un frattale. Quella più usata dai matematici è la definizione data nel 1918 da Felix Hausdorff.

I frattali non sono necessariamente curve, ma possono essere anche superfici o solidi molto “intricati”.

La dimensione frattale delle vere coste è vicina a 1,25 (simile a quella della curva di Koch).

 

Torniamo ora a Castel del monte. Per semplificare il calcolo consideriamo un castello a pianta quadrata con torri quadrate; questo tipo di frattale “Boundary of theT-Square fractal” potete trovarlo nel lungo elenco:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension

 

I passaggi principali per costruire il T-Square sono:

1 – Partiamo con un quadrato di lato 2 x 2  (di perimetro 8)

2 – Raddoppiamo il lato e aggiungiamo la struttura precedente ai 4 angoli

nota: ¼ di ogni torre si sovrappone alla nuova struttura

3 – Continuiamo a raddoppiare la struttura centrale aggiungendo ogni volta 4 strutture precedenti come torri.
 

 

La lunghezza del perimetro al primo passaggio passa da 8 a 32, poi a 112 e di seguito a 368, 1.168, 3.632, 11.152, 33.968, 102.928, 310.832, 936.592, 2.817.968, 8.470.288, 25.443.632, 76.396.432, ...

 

Per un numero di passaggi sempre maggiore, il rapporto tra due valori consecutivi ad ogni raddoppio tende a 3.
Quindi, per calcolare la dimensione frattale, basta calcolare il rapporto tra i logaritmi:

D = log(3) / log(2) = 1.5849

 

Per chi fosse interessato ad approfondire l’argomento, è interessante notare che il Triangolo di Sierpinski ha la stessa dimensione del Contorno di un frattale T-square.

 

http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/ksnow/ksnow.htm

http://www.batmath.it/matematica/a_fiocchineve/pg1.htm

http://www.mat.unimi.it/users/alzati/Geometria_Computazionale_98-99/apps/frattalip/teoria.html

http://www.orianapagliarone.it/articoli%20quaderni%20liceo/articolo%20frattali%20e%20figure/articolo%20frattali.htm

http://www.lanostra-matematica.org/2013/12/la-curva-di-koch-un-elegante-frattale.html

http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html

http://zibalsc.blogspot.it/2013/01/108-mandelbrot.html

http://zibalsc.blogspot.it/2014/04/146-argomenti-complessi.html
http://zibalsc.blogspot.it/2014/09/162-grandi-numeri.html
http://myweb.lmu.edu/bmellor/courses/Symmetry/FractalDimension-Spring2013.pdf
http://scienceblogs.com/goodmath/2007/08/01/geometric-lsystems/

http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

 

 

 

177. Ottagoni e Sezione Aurea

Castel del Monte è un edificio del XIII secolo (1235-1240) fatto costruire da Federico II di Svevia in Puglia, nell'attuale frazione omonima del comune di Andria, a 18 km dalla città (provincia di Barletta-Andria-Trani).

Situato su una collina della catena delle Murge occidentali, a 540 metri s.l.m. nei pressi del 41° parallelo, è stato inserito nell'elenco dei patrimoni dell'umanità dell'UNESCO nel 1996.

L'edificio è a pianta ottagonale e a ogni spigolo si innesta una torretta a sua volta ottagonale.

Se si disegnano 4 rettangoli sulla pianta del castello con i lati sovrapposti ai lati delle sale trapezoidali e gli angoli coincidenti i punti in cui si innestano le torri, sono uguali al numero aureo i rapporti tra:

a) i lati di ciascun rettangolo

b) il lato minore del rettangolo e il lato maggiore delle sale

c) il lato maggiore e il lato minore delle sale

 

 

Del numero aureo si è già scritto in altri post:

 

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/89-ottantanove.html

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/90-ottantanove-bis.html

http://zibalsc.blogspot.it/2014/02/139-sezione-aurea-immaginaria.html

Le sale del castello hanno forma trapezoidale e se moltiplichiamo il lato minore del trapezio per 1,618 (il numero aureo) otteniamo il lato maggiore.

Inoltre se dividiamo il lato minore per la radice quadrata di 1,618 (1,272) otteniamo la larghezza della sala.

 

Negli appunti per il corso di Teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico -

“LA SEZIONE AUREA NELL’ARCHITETTURA” - Alessandra Simi (La Sapienza Università di Roma):

http://dsg.uniroma1.it/monti/ar-tetcss/testi/Appunti%20sulla%20Sezione%20Aurea.pdf

viene mostrato come la sezione aurea sia stata utilizzata da molti architetti.

Anche il portale di Castel del Monte scaturisce dal pentagono stellato e contiene quindi il rapporto aureo.

 

Un altro famoso esempio è rappresentato dalla piramide di Cheope: 

 

Nota 1: Castel del Monte è a pianta ottagonale (lato esterno: 10,30 m intervallo tra le torri più diametro di ogni torre: 7,90 m) e a ogni spigolo si innesta una torretta a sua volta ottagonale (lato 2,70 m), mentre l'ottagono che corrisponde alla corte interna ha lati la cui misura varia tra i 6,89 m e i 7,83 m. Il diametro del cortile interno è di 17,86 m. Il diametro dell'intero castello è di 56 m, mentre il diametro di ogni torre è di 7,90 m.

Le torri sono alte 24 m e superano di poco l’altezza delle pareti del cortile interno (20,50 m).
 

Nota 2: Federico II di Svevia, sensibile ai problemi scientifici, si interessò in modo particolare alla matematica. Ne fa testimonianza l’importante Liber Quadratorum, scritto da Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, e ispirato da un quesito posto dall’imperatore. Grazie a questa ed a tutte le altre sue opere, Fibonacci diventò uno dei più grandi matematici del Medioevo. Insieme a molti altri scienziati presenti alla corte di Federico II, egli riuscì a capire, diffondere e approfondire le idee e i risultati del mondo scientifico arabo. A Fibonacci si deve, quindi, il merito di aver divulgato in Europa i numeri arabi ed il modo di calcolare con essi.

 

Nota 3: la presenza più comune degli ottagoni è nella forma dei segnali di stop. Tale forma venne scelta in Canada e subito adottata anche negli Stati Uniti, nazioni in cui le nevicate abbondanti spesso rendono illeggibili i cartelli stradali; anche se coperto di neve gelata, un segnale ottagonale si riconosce a prima vista, e ciò basta per informare della presenza di un incrocio pericoloso.

Probabilmente anche il cartello che indica il divieto d’accesso non dovrebbe essere rotondo; potrebbe essere, ad esempio, esagonale.

 

 

Nota 4: oltre al “golden ratio” è stato definito in modo analogo il “silver ratio”:

http://www.johndcook.com/blog/2009/05/20/the-silver-ratio/

silver ratio ψ

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_ratio

 http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html

 

Ottagono della Galleria Vittorio Emanuele II di Milano

 

La pianta di Palmanova è un altro bell’esempio di utilizzo della geometria: 

176. Alla ricerca del tempo perduto - Il secondo in più

“Il tempo è definito in modo che il moto sembri semplice”

Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, Freeman, 1973

Il 2015 durerà un secondo in più, lo ha annunciato l’International Earth Rotation and Reference Systems Service. Il secondo verrà introdotto a fine giugno ed il motivo è semplice: la Terra sta rallentando il suo moto di rotazione intorno al proprio asse.

Molti possono essere i motivi, ma il contributo principale è dovuto alla Luna la cui forza di gravità oppone resistenza alla Terra prolungando il giorno solare.

E così tutti gli orologi (tranne le meridiane) sono destinati a correre troppo.

Il “secondo intercalare” è stato introdotto nel 1972 e da allora ne sono stati introdotti altri per un totale di 25.
 

Misner, Thorne, Wheeler,Gravitation, Freeman, 1973

Il secondo è definito come frazione del giorno: 1 giorno = 86.400 secondi.

Ma in genere, dura un poco di più, e il valore di questa durata varia in modo piuttosto irregolare.

Si potrebbe definire un "secondo" un po' più lungo, in modo tale che vi siano esattamente 86.400 di questi secondi in una rotazione terrestre.

Un’altra soluzione è di lasciare il "secondo" come quello definito dall'orologio atomico: durata di 9.192.631.770 oscillazioni di un particolare stato di un atomo di Cesio.

In questo caso, poiché una certa rotazione della Terra durerà un po' più di 86.400 secondi, sarà necessario, di tanto in tanto, aggiungere un secondo "in più" alla fine di un giorno: una specie di "secondo bisestile". Questo procedimento è del tutto analogo a quello in cui (poiché un anno dura un po' di più di 365 giorni) si deve talvolta inserire un "giorno bisestile" nel calendario. Questo tipo di Tempo Universale è chiamato TUC (in inglese UTC) o Tempo Universale Coordinato.

Questi giorni possono essere quindi costituiti da 86.401 invece che da 86.400 secondi. Poiché la rotazione terrestre è irregolare, anche questa inserzione di “secondi intercalari” avviene in modo irregolare.

In quel secondo gli orologi segnano 23:59:60, un orario che di norma non esiste.
E di solito questo non crea problemi.

Molti sistemi, però, usano il Network Time Protocol e allineano il loro orologio per confronto, e se l’NTP mostra al computer un orario che non esiste, il sistema può avere problemi.

E’ quello che è successo il 30 giugno 2012. Quella mezzanotte molti siti si sono bloccati e circa 400 voli della Qantas Airlines hanno subito ritardi perché il “bug” aveva mandato in tilt il sistema delle prenotazioni.

Google ha evitato inconvenienti grazie al “secondo spalmato”: ha modificato i server NTP apportando aumenti di millisecondi nell’arco della giornata e, quando il “secondo intercalare” è stato inserito, i server di Google erano già allineati.

Recenti studi hanno mostrato che la durata del giorno era esattamente 86.400 secondi nel 1820; mentre attualmente è di circa 86.400,002 secondi.

Ciò implica che si deve aggiungere un secondo ogni 500 giorni.

 

175. Prodotti Infiniti

Nel post “29. Prodotti Infiniti: Wallis e Pippenger” si sono visti il prodotto di Wallis (ricavato nel 1655 da John Wallis) che permette di calcolare il valore di pi greco con il semplice prodotto infinito:

 

 

 

E la formula che Nick Pippenger (nel 1980) ha ricavato per un prodotto infinito di  e :

 

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product#Product_representations_of_functions
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html
 

Ora se raggruppiamo i termini a coppie in 2 modi differenti:

-       prima moltiplichiamo tra di loro la seconda e la terza frazione, la quarta e la quinta, ecc.

-       successivamente, la prima e la seconda, la terza e la quarta, ecc.

otteniamo:

 

Lasciando al primo membro il 2 e portando sulla destra dell’uguaglianza tutte le atre frazioni, abbiamo come risultato la formula che nel post citato veniva riportata senza dimostrazione:

 

 

 

Un altro modo per ottenere lo stesso risultato è di utilizzare la coppia di formule fornita da D.W.Cantrell nel 2006 (qui riporto solo quella per k pari) che permettono di ottenere il valore del prodotto infinito:
 

 

 

Come caso particolare (per n=2) si ottiene ancora la formula precedente:

 

Vedi formula (21) nel sito  Wolfram Math World :

http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html

Dove si può trovare un ampio elenco di prodotti infiniti.