Negli anni ’60, mentre era al lavoro su argomenti
cosmologici con l’amico Stephen Hawking,
Roger Penrose fece importanti
scoperte riguardanti i Buchi Neri e la Teoria della Relatività. In seguito
ottenne altri importanti risultati nel settore della Teoria dei Giochi (o forse
è meglio dire della Geometria), come la
tassellazione di Penrose, che permette di ricoprire un piano con 2 tipi di figure
in modo aperiodico e che furono inventate (o scoperte) ignorando che potessero avere un’applicazione pratica; ad
esempio, che le forme tridimensionali di queste tassellature potevano essere alla
base di un nuovo strano tipo di materia. Lo studio di questi “quasi-cristalli”
è diventato un’area di ricerca nella moderna cristallografia.
https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3APenrose_tiling
http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html
http://mathworld.wolfram.com/PentagonTiling.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling
https://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/penrose.htm
https://www.goldennumber.net/penrose-tiling/
In generale esistono solo 3 poligoni regolari che
consentono di ricoprire il piano infinito: triangolo
equilatero, quadrato ed esagono.
Se invece utilizziamo il pentagono, ci rendiamo conto che resta sempre un’area che non
riusciamo a ricoprire. Ma anche se è vero che con i pentagoni non si riesce ad
ottenere la copertura del piano, scomponendo il pentagono in figure di 3 o 4
lati, si possono ricavare figure che, prese a coppie, riescono a ricoprire il
piano infinito. Se poi si aggiunge la richiesta di soddisfare ad alcune
semplici regole, si ottengono disposizioni decisamente inaspettate.
Si è creduto per molto tempo che nessuna figura con
simmetria quintupla potesse avere un ordine ripetitivo. Tuttavia, nel 1974, Roger Penrose scoprì 2 schemi di
intarsio (per la loro forma chiamati “Kite and Dart” o “Dardo ed Aquilone”) capaci
di ricoprire il piano con simmetria quintupla. Si tratta però di schemi non
periodici, anche se dotati di una certa regolarità. Gli angoli di questi
oggetti geometrici sono tutti multipli di 36 gradi, come nel pentagono regolare
e nei triangoli ricavati da quest’ultimo.
Pentagono e tasselli di Penrose hanno il rapporto aureo “phi” presente un po’ ovunque nelle loro componenti; non a caso phi
= 2 *
cos 72 = 1.6180339....
Potrete anche notare che nelle varie figure i lati hanno
valori differenti, e questo per le proprietà di phi. Ne riporto alcune che ho preso da Wikipedia:
Una delle proprietà più affascinanti di queste
tassellature, è che, col crescere dell’area presa in considerazione, il
rapporto tra il numero dei Dardi e
quello degli Aquiloni tende al
solito phi.
Nel 1977 Martin Gardner scrisse un famoso
articolo intitolato: Una straordinaria
tassellatura non periodica che arricchisce la teoria delle tassellature, per
la rubrica “GIOCHI MATEMATICI” de “Le
Scienze” da lui gestita per molti anni. Qui di seguito ne viene riportato
un estratto.
GIOCHI
MATEMATICI
di
Martin Gardner
Una straordinaria tassellatura non periodica che
arricchisce la teoria delle tassellature
Una tassellatura periodica è una tassellatura in cui si
può delimitare una regione che ricopre il piano per traslazione, cioè per
spostamento della regione senza rotazione né riflessione. Si pensi di coprire
il piano con un foglio di carta trasparente su cui siano segnati i contorni di
ogni regione. Solo se la tassellatura è periodica si può spostare il foglio,
senza ruotarlo, in una nuova posizione in cui tutti i contorni corrispondono ancora
esattamente. Un'infinità di forme, per esempio l'esagono regolare, tassellano
il piano solo in modo periodico. Un'infinità di altre forme lo tassellano sia
periodicamente che non periodicamente. La figura in basso mostra come una forma
detta “sfinge” costituisca una tassellatura non periodica dando luogo a sfingi sempre
più ampie.
Anche qui due sfingi (una delle quali ruotata di 180 gradi) costituiscono
ovviamente una tassellatura periodica. Ci sono insiemi di tessere di due o più forme
differenti che diano luogo solo a tassellature non periodiche? Per «solo» intendiamo
che né una singola forma, né un sottoinsieme né l'intero insieme danno luogo a
tassellature periodiche ma che, usando tutte le tessere, è possibile ottenere
una tassellatura non periodica. Sono permesse rotazioni e riflessioni delle tessere.
Per molti decenni gli esperti credettero che un tale insieme non esistesse, ma
la supposizione si rivelò inesatta. Nel 1961 Hao Wang cominciò a interessarsi
alla tassellatura del piano con insiemi di quadrati unitari i cui spigoli
venivano colorati in vari modi, noti come domino di Wang. Nel 1964 Robert
Berger, nella sua tesi di dottorato in matematica applicata all'Università di
Harvard, dimostrò che non c'è nessuna procedura generale. Esiste quindi un
insieme di domino di Wang che tassella solo non periodicamente. Berger costruì un
insieme siffatto servendosi di più di 20 000 domino. Più tardi ne trovò uno molto
più piccolo di 104 domino. L'anno scorso Raphael M. Robinson ridusse l'insieme
a 24 domino. E’ facile trasformare tale insieme di domino di Wang in tessere
poligonali che diano luogo solo a tassellature non periodiche. Basta aggiungere
delle sporgenze e delle rientranze sugli spigoli in modo da ottenere dei pezzi
come quelli dei rompicapo jigsaw che combaciano nella maniera precedentemente
imposta dai colori.
Uno spigolo, originariamente di un colore, combacia solo
con un altro che originariamente era dello stesso colore; relazioni analoghe si
ottengono per gli altri colori. Ammettendo la rotazione e la riflessione di
tali tessere, Robinson costruì sei tessere (si veda lo figura in alto)
che «inducono la non periodicità» nel senso precedentemente spiegato. All'Università
di Oxford, dove è Rouse Bali Professor di matematica, Penrose si diede a ricercare insiemi ancora più piccoli. Sebbene si
occupi soprattutto di teoria della relatività e di meccanica Quantistica,
continua ad avere per i giochi matematici quel vivo interesse che condivideva
con il padre, il genetista l.S. Penrose. (A loro si deve la scoperta della famosa
«scala di Penrose» che gira e gira senza salire; Escher la raffigurò nella sua
litografia Ascending and Descending.)
Nel 1973 Penrose trovò un insieme di sei tessere che riuscì a ridurre a quattro
e, nel 1974, a due. Dato che le tessere si prestano a essere utilizzate per
rompicapo commerciali, Penrose non volle renderle note finché non chiese il
brevetto in Gran Bretagna, negli Stati Uniti e in Giappone. Ora che questi
brevetti stanno per arrivare ho avuto il permesso di parlare di queste tessere.
A John Horton Conway devo molti
risultati derivanti dai suoi studi sulle tessere di Penrose. La forma di una
coppia di tessere di Penrose può variare, ma le due forme più interessanti sono
quelle che Conway chiama «punte» e «aquiloni».
Nella figura in alto si può vedere come possano essere derivate da un rombo con angoli
di 72 e 108 gradi. Si divida la diagonale maggiore secondo il noto rapporto aureo di 1.6180339 ... poi si unisca il punto con gli
angoli ottusi. Questo è tutto. Sia phi
il rapporto aureo. Ogni segmento di retta è 1 o phi come indicato in
figura. Il rombo dà luogo ovviamente a una tassellatura periodica, ma non è
consentito unire i pezzi in questa maniera. Si possono proibire per mezzo di
sporgenze e tacche certi modi di unire i lati di uguale lunghezza, ma ci sono
mezzi più semplici per farlo. Per aiutare a rispettare questa regola si possono
mettere negli angoli punti di due colori ma un metodo migliore, proposto da
Conway, è disegnare archi circolari di due colori su ogni tessera come si vede rappresentato nel pavimento in
figura.
Ogni arco
taglia sia i lati sia l'asse di simmetria in modo che le parti staccate siano
tra loro in rapporto aureo. La nostra regola sarà che i lati posti vicini
devono congiungere archi dello stesso colore. Per apprezzare pienamente la
bellezza e il mistero della tassellatura di Penrose, si dovrebbero costruire
almeno 100 aquiloni e 60 punte. I pezzi devono essere colorati solo da una
parte. Le aree delle due figure stanno tra loro in rapporto aureo e lo stesso
vale per il numero dei pezzi di ciascun tipo di cui avete bisogno. Si potrebbe credere
di aver bisogno di un numero maggiore di punte, dato che sono più piccole, ma è
proprio il contrario. C'è bisogno di 1,6180339... aquiloni per ogni punta.
Se usate tessere colorate, tuttavia, sarete colpiti dalla bellezza dei disegni che
vengono creati da queste curve. Penrose e Conway hanno dimostrato, uno indipendentemente
dall'altro, che, quando una curva è chiusa, ha una simmetria pentagonale e
l'intera regione all'interno della curva ha simmetria quintupla. Una struttura
può avere al massimo due curve non chiuse. Nella maggior parte delle strutture
tutte le curve sono chiuse. Sebbene sia possibile costruire strutture di
Penrose con un alto grado di simmetria (un'infinità di strutture ha simmetria bilaterale)
la maggior parte delle strutture sono un ingannevole miscuglio di ordine e
inaspettate deviazioni dall'ordine. Quando le strutture si espandono sembra che
stiano sempre lottando per ripetere se stesse ma che non ci riescano mai del
tutto. C'è qualcosa di ancor più sorprendente sugli universi di Penrose. In un
curioso senso finito, espresso dal “teorema di isomorfismo locale”, tutte le
strutture di Penrose sono simili. Penrose riuscì a dimostrare che ogni regione
finita in una struttura è contenuta in qualche posto all'interno di ogni altra
struttura. Per di più essa compare un numero infinito di volte in ogni
struttura. Per comprendere quanto sia folle questa situazione, si immagini di
vivere su un piano infinito ricoperto da una delle più che numerabili
tassellature di Penrose. Si può esaminare la struttura pezzo per pezzo, in
tutte le aree di espansione, ma non si può mai determinare su quale
tassellatura si è, indipendentemente da quanta parte della struttura si è esplorata.
Non serve viaggiare in lungo e in largo ed esaminare regioni non connesse, perché
tutte le regioni esaminate appartengono a un 'ampia regione finita che è
duplicata esattamente un numero infinito di volte su tutte le strutture. Ovviamente
questo è banalmente vero per una tassellatura periodica, ma gli universi di Penrose
non sono periodici: essi differiscono uno dall'altro in un numero infinito di
modi, eppure è solo al limite, che non è ottenibile, che si possono distinguere
uno dall'altro. Come ha detto Conway, i due insiemi di tessere sono costituiti
dalla medesima sostanza aurea.
Esistono
coppie di tessere non basate sul rapporto aureo che inducano una tassellatura
non periodica? Esiste un singolo pezzo
che dia luogo solo a tassellature non periodiche? Questi sono due tra i più
interessanti e difficili problemi aperti nella teoria della tassellatura.
