13. Equazioni del moto

Nel capitolo I del libro: Lev D. Landau, Evgenij M. Lifsits, Meccanica, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976
si puo' leggere:
"La conoscenza delle sole coordinate generalizzate non e' sufficiente per determinare lo "stato meccanico" di un sistema ad un istante dato, non permette cioe' di prevedere la posizione del sistema negli istanti successivi. Se vengono dati solo valori delle coordinate, il sistema puo' avere velocita' arbitrarie, e a seconda dei differenti valori di queste, la posizione in un istante succesivo puo' variare.
Se, invece, tutte le coordinate e le velocita' sono date nello stesso istante, allora, come dimostra l'esperienza, e' possibile determinare interamente lo stato del sistema e, in linea di massima, prevederne il moto futuro...
Le relazioni che legano le accelerazioni con le coordinate e le velocita' si chiamano equazioni del moto. Rispetto alle funzioni q(t) esse sono equazioni ordinarie del secondo ordine la cui integrazione permette di determinare, in linea di massima, queste funzioni, cioe' le traiettorie del sistema meccanico"

Partendo da queste semplici considerazioni, aggiungendo l'isotropia dello spazio e l'omogeneita' dello spazio e del tempo, mediante il principio di minima azione, ricavano poi il principio di relativita' di Galilei

12. Postulati della relatività speciale (o ristretta)

Einstein per la definizione di relatività speciale partì da due postulati:

Primo postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;

Secondo postulato (invarianza della velocità della luce): la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il primo postulato deriva da quello di Galilei, mentre il secondo postulato indica che le equazioni di Maxwell, che permettono di calcolare la velocità della luce nel vuoto, devono valere in ogni sistema di riferimento inerziale.

 

Lo stesso Einstein nell’introduzione a “I fondamenti della teoria della relatività generale” dedica un paragrafo a questi postulati:

 

A. Considerazioni di principio sul postulato della relatività

§1. Osservazioni sulla teoria della relatività speciale

La teoria della relatività speciale si fonda sul seguente postulato, soddisfatto anche dalla meccanica di Galilei-Newton: se un sistema di coordinate K è scelto in modo tale che relativamente ad esso le leggi fisiche valgono nella loro forma più semplice, le stesse leggi valgono anche relativamente ad ogni altro sistema di coordinate K’, assunto in moto di traslazione uniforme rispetto a K. Chiamiamo questo postulato “principio di relatività speciale”. Attraverso la parola “speciale” si allude al fatto che il principio è ristretto al caso che K’ compia un moto di traslazione uniforme rispetto a K, ma che l’equivalenza di K’ e di K non si estende al caso di moto non uniforme di K’ rispetto a K.

La teoria della relatività speciale si discosta quindi dalla meccanica classica non per il postulato di relatività, ma soltanto per il postulato della costanza della velocità della luce nel vuoto, dal quale, in congiunzione con il principio della relatività speciale, discendono in modo noto la relatività della simultaneità, come pure la trasformazione di Lorentz e le leggi con questa associate sul comportamento in moto dei corpi rigidi e degli orologi.

La modificazione che la teoria dello spazio e del tempo ha subito a causa della teoria della relatività speciale è veramente profonda; ma un punto importante rimane intatto. Infatti anche secondo la teoria della relatività speciale le leggi della geometria si devono interpretare direttamente come le leggi sulle possibili posizioni relative di corpi rigidi (a riposo), più in generale le leggi della cinematica come leggi che descrivono il comportamento di regoli e orologi. A due punti materiali prefissati di un corpo (rigido) a riposo corrisponde perciò sempre un segmento di lunghezza completamente determinata, indipendente dalla posizione e dall’orientamento del corpo, come pure dal tempo; a due prefissate posizioni delle lancette di un orologio a riposo rispetto ad un sistema di riferimento (consentito) corrisponde sempre un intervallo temporale di lunghezza determinata, indipendente dalla posizione e dal tempo. Si mostrerà subito che la teoria della relatività generale non può attenersi a questa semplice interpretazione fisica dello spazio e del tempo.

http://it.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A0_ristretta

http://diamante.uniroma3.it/hipparcos/einsteinrelativit%C3%A0link.htm

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/10-relativita-bibliografia.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/09/80-relazione-massa-energia_27.html
http://zibalsc.blogspot.fr/2013/07/125-galilei-salviati-simplicio-e-sagredo.html


Abstract - Principle of relativity

11. Emmy Noether - Simmetrie

Se dopo una trasformazione di un oggetto, il sistema ritorna in una situazione equivalente a quella iniziale, si ha una simmetria.

Il teorema di Noether stabilisce un legame tra l'invarianza di una certa quantità rispetto ad una trasformazione continua e la relativa legge di conservazione. Fu dimostrato dalla matematica Emmy Noether nel 1915.

Il teorema di Noether vale solo per leggi di conservazione locali. Ad oggi, tutte le leggi di conservazione conosciute sono locali.

Leggi di conservazione:

della quantità di moto deriva dall’ipotesi di omogeneità dello spazio

dell’energia deriva dall’ipotesi di omogeneità del tempo
del momento angolare deriva dall'ipotesi di isotropia dello spazio

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Noether

Anche la conservazione della carica elettrica si puo' far derivare dalla simmetria rispetto alle trasformazioni di Gauge

http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=532
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_gauge
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/MeccanicaClassica/LeggiDiConservazione.htm

10. Relatività - Bibliografia

Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley, 1972

Wolfgang Pauli, Teoria della relatività, Bollati Boringhieri, 2008

Kip S. Thorne, Charles W. Misner, John A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, 1973

Albert Einstein, Relatività: esposizione divulgativa, Bollati Boringhieri, 1967

Albert Einstein, Autobiografia scientifica, Bollati Boringhieri, 1979

Albert Einstein, Il significato della relatività, Einaudi, 1950

Albert Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri, 1988

Hermann Weyl, Space, Time, Matter, Dover, 1952

Hermann Bondi, La relatività e il senso comune, Zanichelli, 1963

Dennis W. Sciama, La Relatività Generale, Zanichelli, 1972

Max Born, La sintesi einsteiniana, Bollati Boringhieri, 1969

Arthur S. Eddington, Spazio, Tempo e Gravitazione, Bollati Boringhieri, 2003

Lev D. Landau, Evgenij M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976

Max Jammer, Storia del concetto di spazio, Feltrinelli, 1966


http://longstreet.typepad.com/thesciencebookstore/2013/01/einstein-lists-of-complete-publications-and-most-often-cited-papers.html?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+typepad%2FAeos+%28Ptak+Science+Books%29

Einstein: List of Complete Publications; Most Often Cited Papers & Contemporary Reviews

9. Ipersfere

Come riportato in wikipedia:  http://it.wikipedia.org/wiki/Ipersfera

Il "volume" di una ipersfera è dato da:

dove Γ denota la funzione gamma.
La "area superficiale" dell'ipersfera è invece data da:

 

In 3 dimensioni la formula per il calcolo del Volume e':
         
                                            

Mentre per la Superficie e':  
                                             

Per la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale, si ottiene che la Superficie e' la derivata del Volume.
             E questo in ogni dimensione:            D ( V_n ) = S_n-1

Essendo funzioni di potenza, il loro rapporto in ogni dimensione risulta notevolmente semplice:

                                     V_n / S_n-1  =  R / n           (es. in 3 dim. = R / 3 )

      http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

Nelle formule per il calcolo di Ipervolumi e Ipersuperfici in 2 e 3 dim. compare π, mentre in 4 e 5 dim. π², in 6 e 7 dim. π³   e così via.

Come esempio per un numero di dimensioni pari si ha:

mentre per numero di dimensioni dispari:

.

8. Anni Luce

Un anno luce e’ la distanza percorsa dalla luce in un anno:   9,5 x 10¹²  km

Infatti il numero di secondi in un anno e' circa:
3600 sec  x  24 ore  x  365,24 giorni/anno = 31.500.000 sec/anno  ≈  π x 10⁷ sec/anno

da cui si calcola:
31.550.000 sec/anno  x  300.000 km/sec  = 9,5 10¹²  km/anno = 9,5 10¹⁵  m/anno = 9,5 10²⁵  Ǻ/anno

La stella più vicina alla terra e’ Proxima Centauri a 4,2 anni-luce ma essendo di magnitudine 11,22 non e’ visibile ad occhio nudo, mentre nello stesso sistema stellare e’ visibile Alpha Centauri.

La Luna e’ a 1,3 secondi-luce, mentre il Sole a 8 minuti-luce  (150.000.000 km).

La luce percorre 7,5 volte il giro della Terra in 1 secondo (all’equatore).

Ad un aereo di linea (velocità ≈ 1.000 km/ora) che percorre 8.760.000 km/anno, occorrerebbero circa 1 milione di anni per percorrere 1 anno luce

Nel diamante gli atomi di carbonio si dispongono in geometria tetraedrica formando quattro legami identici di lunghezza 1,54 Ǻ; 

   1 anno luce si puo ottenere mettendo in fila 1,5 kg di atomi di carbonio

http://en.wikipedia.org/wiki/Light-year

7. Sfera + Cono = Cilindro

Il volume di un Cilindro equilatero, dove altezza = diam. base (e quindi h = 2R ) e’  
       V_cil = 2 π R³

Volumi di Sfera e Cono inscritti nel Cilindro sono:  V_sf = 4/3 π R³ ;  V_co = 2/3 π R³ 

Quindi si verifica facilmente che la somma dei Volumi di Sfera + Cono sono equivalenti a quello del Cilindro

Queste considerazioni furono pubblicate da Archimede (287-212 a.C.) nel libro “Della sfera e del cilindro”.

Questa immagine e molto altro si puo' trovare nel sito:
 http://utenti.quipo.it/base5/geosolid/volsfera.htm


Un altro risultato notevole è che la Superficie della Sfera = 4 π R²  risulta equivalente a quella laterale del Cilindro!!

Non solo…   sezionando Sfera e Cilindro circoscritto con 2 piani paralleli, le aree ottenute dei 2 settori di Sfera e Cilindro risultano sempre equivalenti.

Questa proprietà viene utilizzata nella proiezione di Lambert, che è una “proiezione equivalente”  in quanto conserva le aree.

Un approfondimento si può trovare nel sito dell’Università’ di Ferrara:

http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/matcart/prlamb.htm

http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/matcart/tipiprz.htm

6. Link Fisici

http://mysite.du.edu/~jcalvert/phys/physhom.htm

http://www-phys.science.unitn.it/lcosfi/fismod_mat.html

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

http://www.eftaylor.com/leastaction.html

http://theory.fi.infn.it/dominici/metodi.html

http://www.arrigoamadori.com/

http://www.alberteinstein.info/

http://microcosm.web.cern.ch/Microcosm/P10/Italian/P0.html

http://www.cielidelsud.it/argo/univmano.htm

http://www.new-science-theory.com/albert-einstein.html

http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/Glossary/Glossary_A.html

http://www.astro-physics.com/

http://users.telenet.be/nicvroom/contest.htm

http://astrolink.mclink.it/siti.htm

http://www.df.unipi.it/~fabri/

http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll4.html

http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/

http://personalpages.to.infn.it/~ferrari/

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tables/funcon.html

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tables/concom.html#c1

http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Physics

http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Gravitation

5. Sezioni di Cubo

Se si seziona un cubo con un piano parallelo ad una faccia si possono ottenere solo dei quadrati.
Se si seziona con un piano perpendicolare ad una diagonale maggiore del cubo, partendo da un vertice, si ottengono nell'ordine: un punto, triangoli ed esagoni. In particolare nel baricentro del cubo si ha un esagono regolare

Per questo (e non solo) si puo' vedere il sito del centro interuniversitario di matematita:

http://www.matematita.it/materiale/?p=anim.sub3&a=1

In 3 dim. si ottiene un esagono (2x3=6);   in 4 dim. si ha invece un ottaedro (2x4=8)


http://zibalsc.blogspot.it/2012/01/94-sezioni-di-ipercubo.html

4. Paradosso di Olbers

Perché il cielo di notte e’ buio?  (astronomo tedesco Heinrich W. Olbers, 1826).

Se l'Universo fosse infinito nello spazio e nel tempo, ed inoltre omogeneo, stazionario ed isotropo, prima o poi il nostro sguardo incrocerebbe una stella.

La spiegazione più accettata è che l’Universo in cui viviamo ha “solo” 13,7 miliardi di anni e come previsto da Edwin Hubble nel 1929 si espande; per cui la luce subisce uno spostamento verso il rosso ed ad una certa distanza scompaiono dal “visibile”. Inoltre le stelle brillano da “poco” tempo.
 
Un’altra spiegazione interessante è che l’Universo abbia una dimensione frattale inferiore a 2.
Questo implica che ad ogni scala la materia occupa una piccola percentuale dello spazio (es. nucleo/atomo, sole/sistema solare, ecc.)

http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Olbers

“Una possibilità puramente statistica è che l'universo visibile abbia una distribuzione frattale, con dimensione frattale inferiore a 2. In questo modo, il limite per r → ∞ tenderebbe comunque ad un numero finito.”

http://fr.wikipedia.org/wiki/Edmund_Edward_Fournier_d'Albe#Bibliographie

http://it.wikipedia.org/wiki/Edmund_Edward_Fournier_d'Albe

 

“En 1907, Edmund Edward Fournier d'Albe s'est attaché à la question de l'organisation de l'Univers et dans son livre « Two new Worlds » a défini un univers hiérarchisé en couches d'étoiles de catégories différentes, dont une partie absorbe la lumière des autres en réponse à un paradoxe connu : pourquoi la nuit est-elle noire alors qu'il y a une quantité incommensurable d'étoiles, si c'est un nombre infini? Son système jugé trop rigide a été réfuté, mais il est considéré comme le précurseur de la théorie de l'Univers fractal et Benoît Mandelbrot cite aussi ses réflexions sur la structure du flocon de neige qui est décomposable en une multitude de sous-structures identiques.”

"Nel 1907 pubblicò il piccolo, ma straordinario libro, Two New Worlds^[10] nel quale si trova la prima descrizione matematica di una possibile distribuzione gerarchica delle stelle: fu il primo tentativo di descrizione frattale dell'universo. Nel mondo di Fournier le stelle sono distribuiti in uno spazio infinito, ma la massa all'interno di ogni sfera aumenta in modo direttamente proporzionale al suo raggio (si ricordi che in una distribuzione uniforme, tale massa aumenterebbe in proporzione al cubo del raggio). Il suo libro si occupa sia del mondo microscopico (Infra-World) che del mondo in larga scala (Supra-World) e suggerisce che: «un universo costruito su un modello non molto diverso dal nostro viene rilevato su una piccolissima scala definita e misurabile, e un altro su un scala corrispondente molto più grande». Era eccitato dalla possibilità che un tale universo potesse risolvere i due principali paradossi dello spazio infinito, vale a dire il cielo buio stellato (paradosso di Olbers) e la gravità infinita."

http://en.wikipedia.org/wiki/Olbers'_paradox

“A different resolution, which does not rely on the Big Bang theory, was first proposed by Carl Charlier in 1908 and later rediscovered by Benoît Mandelbrot in 1974. They both postulated that if the stars in the universe were distributed in a hierarchical fractal cosmology (e.g., similar to Cantor dust)—the average density of any region diminishes as the region considered increases—it would not be necessary to rely on the Big Bang theory to explain Olbers' paradox. This model would not rule out a Big Bang but would allow for a dark sky even if the Big Bang had not occurred.”

 

Abstract - Olbers' Paradox

3. Link Matematici

http://www.math.it/formulario/index.htm

http://www.piergiorgioodifreddi.it/

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

http://xahlee.org/PageTwo_dir/more.html#

http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Contents/Portals#Mathematics_and_logic

http://www.simonsingh.com/Mathematics_Links.html

http://diamante.uniroma3.it:16080/hipparcos/matematicalink.htm

http://www.manuali.it/manuali-guide/Arte-Cultura-e-Scienze/Matematica/72.htm

http://lear.inrialpes.fr/people/triggs/pubs/isprs96/node1.html

http://www.arrigoamadori.com/

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Glossary/index.html

http://www.falstad.com/fourier/

http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eLessonsHTML/Freq/Freq4.html

http://oeis.org/

http://www.math.com/students/wonders/life/life.html

http://www.matematicamente.it/

http://www.matematita.it/

http://it.wikipedia.org/wiki/Cronologia_della_matematica

http://it.wikipedia.org/wiki/Storia_della_matematica#Matematica_medioevale

http://it.wikipedia.org/wiki/Categoria:Costanti_matematiche

http://it.wikipedia.org/wiki/Mathematics_Subject_Classification

http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria

http://en.wikipedia.org/wiki/Hypersphere

http://it.wikipedia.org/wiki/Lista_di_frattali_per_dimensione_di_Hausdorff

http://it.wikipedia.org/wiki/Elenco_di_costanti_matematiche_ordinato_per_rappresentazione_con_frazione_continua

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_dei_numeri_primi

http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulae_involving_%CF%80

http://www.robertobigoni.it/Matematica/

http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/

http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=334

http://www.angio.net/pi/piquery

2. Formula di Eulero per i Poliedri

Per un POLIEDRO Semplice (cioe' senza buchi) si ha:        V + F = S + 2

dove V = numero di Vertici;  F = numero di Facce  e  S = numero di Spigoli

Questo vale ad es. per il cubo dove V = 8 ;  F = 6  e  S = 12   per cui:  8 + 6 = 12 + 2

Nel libro: "CHE COS'E' LA MATEMATICA?" R.Courant e H.Robbins - Univ.scient.Boringhieri, si puo' trovare una chiara spiegazione.

Questo si puo' estendere anche a dimensioni superiori, ad es. per un iperpoliedro in 4 dim. si ha:

       V + F = S + C        dove  C = numero di volumi (Cubi)

e per un ipercubo:  V = 16 ;  S = 32 ;  F = 24  e  C = 8    per cui:   16 + 24 = 32 + 8

http://www.matematicamente.it/magazine/dicembre2009/123zucco-politopi.pdf

In generale ponendo N₀ il numero dei vertici,  N₁ degli spigoli,  N₂ delle facce, ecc.,

per un numero d  di dim. pari si ha:   N₀ + N₂ + … + N_d-2 = N₁ + N₃ + … + N_d-1

per un numero di dim.  dispari:          N₀ + N₂ + … + N_d-1 = N₁ + … + N_d-2  + 2  

La formula per il calcolo dei vari componenti e':

dove C(k,d)  e’ il numero di combinazioni di d oggetti presi k a k.

Se si vogliono calcolare le facce quadrate di un cubo, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un cubo, cioè  si pone  k = 2 , d = 3  e si applica la formula: 

http://www.maecla.it/Matematica/pagine_matematica/geometria.htm

Per costruire Poliedri in carta si veda il sito:
http://www.korthalsaltes.com/
.

1. Numero di Avogadro di stelle

  All’inizio del 20^o secolo l’idea di Universo era differente da quella attuale. In seguito agli studi di William Herschel, Harlow Shapley e Heber Curtis, Edwin Hubble arrivo' all’idea di Universo come struttura di galassie.

http://it.wikipedia.org/wiki/Portale:Astronomia

  La via Lattea, la nostra galassia, e’ costituita da circa 10¹¹ stelle e il Sole si trova alla distanza dal centro galattico di 10 kparsec, cioe' circa 32614.7 anni luce.

  Quindi se in una galassia media ci sono poco piu' di 10¹¹ stelle e nell’Universo sono stimate non piu' di 10¹² galassie, possiamo concludere che in totale ci sono 10²³ stelle, cioe’ un numero di Avogadro!!!.

Fa riflettere che ci siano piu’ molecole in un bicchier d’acqua che stelle nell’Universo!!!


http://www.esa.int/esaSC/SEM75BS1VED_index_0.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe

Intro

Quello che potrete trovare in questo Blog e' il risultato di riflessioni su argomenti scientifici noti e meno noti, di link e di riferimenti bibliografici... insomma uno zibaldone di idee.

Molte descrizioni o fonti citate nei post sono tratte da Wikipedia, L'enciclopedia libera; in ogni caso gli autori di citazioni e link possono chiedere di essere rimossi dal blog o, nel caso servisse loro,citare liberamente questo sito.
I vari post hanno il solo scopo di esporre i piu' disparati argomenti, che potranno essere approfonditi seguendo i link riportati nel testo.
In sintesi una libera circolazione di idee.