martedì 11 giugno 2019

246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni

Nel post precedente si è visto come, partendo dal setaccio di Wallis, si possa arrivare ad un simil-frattale in 3D (cubico) e assemblando 8 di questi cubi si ha lo stesso volume di una sfera di raggio unitario. Qui di seguito verrà illustrato in modo analitico come costruire un setaccio in 2D, 3D, ecc.

 Per il 2D abbiamo un quadrato diviso in 9 parti uguali:

 
Il numero di elementi (o cardinalità) del prodotto cartesiano di 2 insiemi è il prodotto del numero di elementi dei 2 insiemi. Generalizzando, il numero di elementi del prodotto cartesiano di n insiemi è il prodotto del numero di elementi di ogni insieme.

Possiamo dare una rappresentazione tabulare, che consiste nello scrivere tutte le coppie possibili racchiuse tra parentesi graffe:

{(1 , 1) ; (1 , 2) ; (1 , 3) ; (2 , 1) ; (2 , 2) ; (2 , 3) ; (3 , 1) ; (3 , 2) ; (3 , 3)}

oppure tramite tabella a doppia entrata, ottenuta con gli elementi del primo insieme messi in colonna e quelli del secondo nella prima riga; le caselle contengono le varie coppie che si ottengono:


Come si vede l’unico quadrato tolto corrisponde a (2 , 2).

Nel caso del simil-frattale in 3D possiamo fare un ragionamento analogo e i 7 cubi rimossi saranno:

(1, 2, 2) ; (3, 2, 2) ; (2, 1, 2) ; (2, 2, 2); (2, 3, 2) ; (2, 2, 1) ; (2, 2, 3)

Nella seguente tabella viene rassunto (per ogni dimensione) quanti raggruppamenti di numeri 2 possiamo trovare; ad es. in 3D abbiamo 8 terne con zero 2, 12 con un solo 2, 6 con 2 elementi uguali a 2 e 1 con tutti i numeri uguali a 2 (che corrisponde al cubo centrale):


le combinazioni con almeno 2 elementi uguali a 2 sono 6 + 1 = 7, su un totale di 27 cubi (riportato nell’ultima colonna) e per un cubo di lato 3.


Possiamo fare lo stesso ragionamento per un cubo di lato 5:


qui è stata aggiunta l’ultima colonna che riporta il numero di cubi rimasti.

 Nota: i coefficienti che appaiono in tabella, possono essere facilmente calcolati utilizzando la formula del binomio di Newton  -  in questo caso ( 4 + 1 )n  -


Ora, nel precedente post si è visto che in 2D per un valore iniziale pari a 4, moltiplicato nell’ordine per 8/9, 24/25, 48/49, 80/81, …, (n2 – 1) / n2  
si ha la formula derivata dal prodotto di Wallis:



che può essere schematizzata così:



Mentre in 3D si ha questo risultato:


dove i numeri in grigio rappresentano i vari denominatori. 


Tralascio i passaggi e riporto quanto calcolato con Wolfram|Alpha:


che può essere riassunto:
Nelle formule appare la funzione Gamma di Eulero che estende il concetto di fattoriale (anche ai numeri complessi). In coda al post ne riporto il grafico e alcune notevoli formule che la riguardano.

Qui mi interessa solo notare che la parte destra delle formule che contiene l’indice n tende a 1 al tendere di n all’infinito.




 Per cui ciò che rimane delle 3 formule è pi greco ed il numero che si trova al denominatore. Ricordando che ogni formula deve essere moltiplicata per il numero di “quadranti”, la prima (2D) 22 = 4, la seconda (3D) per 23 = 8 e la terza (4D) per 16.

Ottenendo così i “Volumi” delle sfere n-dimensionali:


Questa non è ancora una vera e propria dimostrazione, ma ne contiene tutti gli elementi e si potrebbe anche utilizzare come metodo alternativo per calcolare il Volume di una iper-sfera.
La prima stesura di questo post verrà probabilmente rivista in seguito …

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martedì 4 giugno 2019

245. Wallis e la Quadratura del Cerchio


La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca, il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.


Nel 1882, Ferdinand Lindemann, dell’Università di Monaco, dimostrò che pi greco è trascendente, tirando così per sempre una riga sul problema della quadratura del cerchio; dalla prova fornita da Lindemann, risulta che è impossibile costruire, soltanto con riga e compasso, un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato, un problema che ha tormentato intere generazioni di matematici fin da prima di Euclide. Lindemann dimostrò che pi greco non è un numero algebrico.
Qualunque problema di geometria che può essere risolto soltanto con la riga e con il compasso, quando è posto sotto la sua forma algebrica equivalente, conduce a una o più equazioni algebriche con coefficienti interi razionali che possono risolversi per mezzo di successive estrazioni di radici quadrate. Siccome π non soddisfa nessuna di queste equazioni, non si può arrivare alla quadratura del cerchio con gli strumenti in questione.
Nota: con riga e compasso è ovviamente possibile “costruire” gli interi positivi come distanze intere dall’origine data. Ogni numero razionale è costruibile, e ciò grazie al bel teorema di Talete sui triangoli simili; inoltre si può dimostrare che la radice quadrata di qualsiasi numero costruibile è essa stessa costruibile.

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

Nel precedente post abbiamo visto il tappeto di Sierpinski, un frattale ottenuto a partire da un quadrato, descritto dal matematico polacco Wacław Sierpiński nel 1916. Ad ogni passaggio si dividono i quadrati che costituiscono la figura in 9 quadrati più piccoli e si rimuove il quadrato centrale. In questo modo per ogni passo l’area si riduce di 8/9, per cui la dimensione frattale del tappeto è log 8 / log 3 , pari a 1,892789...


Vediamo ora un altro oggetto che “potrebbe” sembrare simile al precedente.

Il setaccio di Wallis è così costruito :

si inizia con un quadrato 2 x 2 e si divide in 4 quadrati;
si divide ogni nuovo sottoquadro per  9 e si rimuove il quadrato centrale (8/9);
si divide ogni nuovo sottoquadro per 25 e si rimuove il quadrato centrale (24/25);
si divide ogni nuovo sottoquadro per 49 e si rimuove il quadrato centrale (48/49);
si divide ogni nuovo sottoquadro per 81 e si rimuove il quadrato centrale (80/81)
e così via. 
Ecco come appare dopo alcuni passaggi :


Ho detto “potrebbe” perché il setaccio di Wallis è un simil-frattale, ad ogni passo la regola cambia e quindi l’autosimilarità non è mantenuta. Però, mentre nel caso del tappeto l’area (misura di Lebesgue) è nulla, per il setaccio l’area ha un valore ben noto.
Il valore iniziale è per definizione 4, poi nell’ordine si moltiplica per 8/9, 24/25, 48/49, 80/81, …, (n2 – 1) / n2
Questo è il famoso prodotto di Wallis :


che può anche essere riscritto in questo modo :


La meraviglia sta nel fatto che le aree del setaccio di Wallis e del Cerchio sono uguali. 

Vediamo altre 2 visualizzazioni :


nella prima figura si comincia da 1 solo quadrato e si mette in relazione con il relativo cerchio inscritto, mentre lo stesso oggetto viene poi scomposto e ricomposto per evidenziare meglio l’equivalenza di cerchio e setaccio.

Con riga e compasso si riesce quindi a costruire un “quadrato” equivalente al cerchio, basta avere pazienza e il tempo necessario … se non è esattamente una quadratura, in qualche modo ci assomiglia.

Un altro modo potrebbe essere il seguente: prendete un quadrato di lato 2, togliete un quadrato concentrico di area 4/3, aggiungetene uno di area 4/5 e continuate così all’infinito … avrete così ottenuto la serie di Gregory–Leibniz moltiplicata per 4,  cioè  pi greco.

L'area colorata di giallo ha una misura pari a pi greco




Poniamoci ora questa domanda :

esiste una spugna di Menger equivalente al setaccio di Wallis?

Si parte da un cubo di lato 1 e si divide il lato in 3 parti (27 cubi come per il cubo di Rubik), si rimuove il cubo centrale e i 6 cubi centrali ad ogni faccia (restano così 20 cubi), nel passo successivo si divide il lato di ogni nuovo cubo per 5 rimuovendo il cubo centrale e i cubi che si estendono dal centro, poi si ripete lo stesso procedimento con 7, 9, 11 e i numeri dispari successivi.

Meraviglia delle meraviglie, 8 di questi cubi hanno lo stesso volume di una sfera di raggio unitario

oppure in modo equivalente

il cubo di lato 1 ha lo stesso volume della sfera di diametro unitario


 

http://zibalsc.blogspot.com/2015/01/175-prodotti-infiniti.html?_sm_au_=iQWvnf7D1rtDk883
https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/a-few-of-my-favorite-spaces-the-wallis-sieve/?redirect=1
https://demonstrations.wolfram.com/WallisSievePiApproximation/
https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/822984
https://mathsedideas.blogspot.com/2018/02/on-pi-day.html?_sm_au_=iQWkRvfFNHZnNJj6


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domenica 19 maggio 2019

244. Buchi Neri

“Gli aerei stanno al cielo, come le navi al mare”

Renoir  -  Francesco De Gregori

Qualche settimana fa è stato dato l’annuncio che l’Event Horizon Telescope, un gruppo di otto radiotelescopi che opera su scala planetaria, ha fornito la prima prova visiva diretta mai ottenuta di un Buco Nero e della sua ombra, posizionato nel cuore di Messier 87, un’enorme galassia situata nel vicino ammasso della Vergine. In una serie di sei articoli di “The Astrophysical Journal Letters”, l’immagine rivela un Buco Nero supermassiccio con una massa pari a 6,5 miliardi di volte quella del Sole e che dista dalla Terra 55 milioni di anni luce.






Quando parliamo di un Buco Nero di questa massa di cosa stiamo parlando?

Ad esempio la massa del pianeta Terra è 5,97 × 1024 kg (diametro di 12.750 km), mentre quella del Sole è 1,99 × 1030 kg (diametro 1,39 × 106 km); il rapporto tra i valori delle 2 masse è facile da ricordare: 333.333. 

 Dalla seguente tabella, si può notare che il diametro del BN è direttamente proporzionale alla sua massa; se il Sole diventasse un BN avrebbe un raggio di 2,95 km; moltiplicando quest’ultimo valore per il numero di masse solari (Mo) si ottiene il raggio del BN.
La massa di Sgr A (il Buco Nero situato al centro della nostra galassia) è 4,31 × 106  Mo ed infine quella del BN di M87 citato all’inizio è pari a 6,5 × 109  Mo (1,29 × 1040 kg).


Questo perché il Raggio di Schwarzschild è direttamente proporzionale alla sua massa:

dove G = 6,67 × 10−11 N m² / kg²   è la costante di gravitazione universale.

 Il Buco Nero di M87 che ha una massa 6,5 miliardi di masse solari ha quindi un RS di circa 20 miliardi di km (127 Unità Astronomiche). Plutone all’afelio si trova a circa 49,3 UA, per cui il Sistema Solare potrebbe essere comodamente contenuto nel Buco Nero di M87.

Il Raggio di Schwarzschild RS è la distanza alla quale la velocità di fuga è pari a c (velocità della luce).

Nel post 86. Velocità di fuga, si è parlato della legge di Titius-Bode, una formula empirica che descrive con buona approssimazione i valori dei semiassi maggiori a delle orbite dei pianeti del sistema solare (espressi in Unità Astronomiche) e viene espressa con la semplice formula:
                                                   ( 3n + 4 ) / 10

dove n assume i valori  0, 1, 2, 4, 8, 16, …



Di questa semplice progressione geometrica, la scala logaritmica riesce a darne una bella rappresentazione grafica:




dove a 1 troviamo per definizione la Terra e a circa 10 Saturno. Come detto prima, a 127 possiamo posizionare l’orizzonte degli eventi del Buco Nero di M87.

Ma qual è la densità media di un Buco Nero?



Per i Buchi Neri di "piccole" dimensioni, la densità media all'interno dell'orizzonte degli eventi è incredibilmente elevata (vedi la prima tabella) e ai confini del Buco Nero si hanno forze di marea superiori a mille miliardi di volte la forza gravitazionale. Però (in modo abbastanza sorprendente) la densità media diminuisce drasticamente per i Buchi Neri massicci.Un BN di 387 milioni di masse solari avrebbe la densità media dell'acqua e sarebbe paragonabile a un gigantesco pallone d'acqua che si estende dal Sole fino quasi a Giove.Un BN di 11 miliardi di masse solari avrebbe la densità media dell'aria e sarebbe analogo ad un gigantesco pallone aerostatico 2,5 volte più grande dell’orbita di Plutone.La densità di massa media nello spazio stesso, per quanto piccola, alla fine può diventare un BN a bassa densità.Se la densità media dell'Universo corrispondesse alla densità critica di soli 5,67 atomi di idrogeno per metro cubo, si formerebbe un Buco Nero a bassa densità di circa 13,8 miliardi di anni luce, corrispondente al modello del Big Bang dell'Universo. Un BN può utilizzare la rotazione e/o la carica elettrica per evitare il collasso. Le forze gravitazionali diventano trascurabili per i grandi Buchi Neri a bassa densità.

Così si può vivere in un grande BN a bassa densità senza nemmeno accorgersene. 
Mi fermo qui e lascio fantasticare il lettore...

 Unità Astronomica U.A. (distanza Terra - Sole): 149.597.870 km = 8,5 minuti luce
Anno luce (distanza percorsa dalla luce in un anno): 9.460 miliardi di km = 63.300 U.A.
Parsec: 3,262 anni luce = 30.860 miliardi di km = 206.000 U.A.
Velocità della luce: 299.792 km/sec


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