mercoledì 24 settembre 2014

164. Somma di Cubi

Il post precedente si concludeva con la bella formula:

13 + 23 + 33 + … + n3  =  (1 + 2 + 3 + … + n)2

La verifica è presto fatta. La somma dei cubi presenti nella parte sinistra abbiamo visto essere uguale a:

Mentre alla destra dell’uguale abbiamo il quadrato della somma dei primi n numeri:


Elevando alla seconda potenza questo risultato si ottiene facilmente la formula precedente.
Ma esiste anche in questo caso una semplice interpretazione grafica.


La somma dei cubi può essere riscritta come:

13 + 23 + 33 + … + n3  =  1 x 12 + 2 x 22 + 3 x 32 + … + n x n2

La costruzione in figura mostra come con ad un primo quadratino di lato 1 si possono aggiungere 2 quadrati di lato 2 e continuando così 3 di lato 3, 4 di lato 4, ecc. Per essere precisi, i quadrati con lato pari vengono posizionati in modo che alle estremità vengano poste 2 metà.
 
 

mercoledì 17 settembre 2014

163. Gauss & Faulhaber

Un famoso aneddoto racconta di come Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matematico, astronomo e fisico tedesco, all'età di 10 anni riuscì a stupire il suo insegnante di matematica (J.G. Buttner).

Un giorno che gli studenti erano particolarmente turbolenti, l’insegnante diede loro il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri (da 1 a 100) pensando così di tenerli impegnati per lungo tempo nell’eseguire un centinaio di somme. Dopo solo pochi minuti, il giovane Gauss gli pose sotto gli occhi il risultato corretto (5050).

Probabilmente, si era accorto che, mettendo in fila tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101; Gauss fece dunque il prodotto 100 x 101 e divise per 2, o più semplicemente 50 x 101 ottenendo facilmente 5050.

Wikipedia riporta che probabilmente Buttner aveva assegnato un compito ancora più complesso, ovvero la somma dei primi 100 numeri della serie 81297 + 81495 + 81693 ... nella quale ogni termine differisce dal precedente per il valore 198 e che il giovane Gauss lo risolse in pochi minuti come detto prima.

La seguente rappresentazione grafica mostra in modo semplice come sistemando i valori in modo opportuno si ottengono N colonne di valore N+1 e visto che ogni valore viene contato 2 volte, si deve alla fine dividere per 2, cioè:

N x (N+1) / 2

 
 
In questo caso si hanno 10 colonne di valore 11, per sommare i numeri da 1 a 10.
 

Al contrario di quello che normalmente si crede, questo risultato fu però ottenuto 150 prima (nel 1631) dal matematico Johann Faulhaber (1580 – 1635), che calcolò anche le somme delle potenze di interi successivi:

 

 

In questa e altre formule intervengono i numeri di Bernoulli Bn . Si osserva che la somma delle potenze m-esime dei primi n interi positivi è data da un polinomio di grado m+1. In effetti Carl Jacobi nel 1834 ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi.

Le singole formule possono essere ricavate per induzione o scrivendo sistemi di equazioni di grado m+1, risolvendole per sostituzione.

Ad esempio per la somma dei primi n interi ipotizziamo che il risultato sia del tipo:

a n2 + b n + c

Sostituendo n con rispettivamente 0, 1 e 2 otteniamo:

                  c = 0                                    
                       a + b + c = 1                >>>>>                 a + b = 1
                       4a + 2b + c = 3                                       4a + 2b = 3

da cui:
                                                                a = b = ½

e quindi la sommatoria risulta:

½ n2 + ½ n + 0  =  ½ n (n + 1)

Per la somma di quadrati e cubi abbiamo rispettivamente:

 

Mentre per le successive espressioni polinomiali prosegue:


Esistono anche rappresentazioni grafiche della somma di serie di quadrati o cubi.

Di seguito viene riportata la rappresentazione grafica della sommatoria dei primi n quadrati:

 
12 + 22 + 32 + 42= 30
        

 
 12 + 22+ 32 + 42 + 52 = 55
 

Come si vede utilizzando 3 serie di quadrati, e combinandoli opportunamente, si ottiene un rettangolo i cui lati sono rispettivamente:

“la somma degli interi da 1 a n    e    “(2 volte n) + 1

L'area di ogni serie di quadrati è quindi:       N x (N +1) x (2N + 1) / 6

 
Il 6 e’ dovuto al fatto che nella somma da 1 a n e’ presente 1/2  e  l’area va divisa per 3 (numero di serie utilizzate).
 
Riporto infine un'altra formula notevole:

13 + 23 + 33 + … + n3  =  (1 + 2 + 3 + … + n)2


 
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
http://www.robertobigoni.eu/Matematica/FTrascendenti/f08/f08.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Somma_di_potenze_di_interi_successivi
http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

lunedì 8 settembre 2014

162. Grandi Numeri

"Fa più rumore un albero che cade di una foresta che cresce"

Lao Tzu


Il tema di questo mese del Carnevale della Matematica, ospitato da Mr. Palomar, “Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa” è molto stimolante per il fatto che diversi argomenti di matematica danno un certo senso di vertigine…

I frattali forniscono un esempio di come con continui ingrandimenti si riescano ad ottenere sempre nuove figure, anche se in qualche modo auto-simili, che danno la sensazione di precipitare in un pozzo senza fondo.


Insieme di Mandelbrot

Anche alcune comuni funzioni dotate di asintoti verticali, come le funzioni  f(x) = 1/x  oppure f(x) = tg(x), tendono all’infinito nell’intorno di alcuni valori, assumendo nel percorso qualsiasi numero: intero, razionale, irrazionale o trascendente che sia.

Ci sono però alcune funzioni che rendono bene il concetto di grandi numeri.

Knuth's up-arrow notation – l’idea è basata sul fatto che, in matematica, la moltiplicazione può essere vista come un’addizione iterata e la potenza come una moltiplicazione iterata. Alla stessa stregua iterando la potenza si arriva alla definizione di tetrazione:


 
dove “a” compare “b” volte

Donald Knuth ha utilizzato la notazione freccia in su per la codifica, dove una freccia indica la potenza, due frecce la tetrazione, ecc.:     + , x , ↑ , ↑↑ , …

All’interno de “Il libro dei numeriJohn Horton Conway e Richard K. Guy definiscono numeri di Ackermann la sequenza:

1↑1 = 11 = 1
2↑↑2 = 2↑2 = 22 = 4
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3)  =  3↑↑7625597484987
4↑↑↑↑4 = 4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4 = …

Il terzo numero di Ackermann è   76255974849873   cioè  


dove  “3”  compare  7625597484987 volte.

Tralascio lo sviluppo del quarto numero, che potete trovare qui.

Ovviamente si possono definire numeri decisamente più grandi, come ad esempio il numero di Graham, considerato il primo numero di grandezza inconcepibile ad essere utilizzato in una seria dimostrazione matematica (riguardo ad un problema della teoria di Ramsey). Per un ulteriore approfondimento potete anche consultare un post del 2013 dell'ospite di questo Carnevale o quello del 2012 di mau.

D’altro canto se pensiamo alle dimensioni o all’età dell’Universo ci rendiamo conto che i numeri in gioco sono più contenuti.

Per chi volesse festeggiare il proprio primo miliardesimo secondo, un miliardo di secondi corrisponde a poco più di 31 anni e mezzo. L’età dell’Universo (espressa in secondi) è rappresentata da una cifra con “solo” 17 zeri; come dire che volendo contare il numero di atomi contenuti in un milligrammo di materia a partire dal Big Bang, si dovrebbe tenere un ritmo di almeno 100 atomi/secondo.

Quello che abbiamo visto sino ad ora tratta di “grandi numeri” che crescono molto velocemente. Ma non bisogna dimenticare che qualsiasi funzione che cresca in modo monotono, raggiunge e supera, prima o poi, questi valori.

Si potrebbe continuare accennando alla Teoria degli Insiemi sviluppata da George Cantor;  dove, oltre che ad insiemi finiti, si fa riferimento ad insiemi infiniti,  come
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} che contiene “tutti” i numeri naturali, ma non “tutti” i numeri reali (che avendo una cardinalità maggiore) sono di un altro tipo di infinito. Ma Cantor non si è accontentato di questo e ha fornito un metodo per costruire insieme infiniti sempre più grandi.


La citazione di Lao Tzu fatta all’inizio, diventata famosa anche per essere stata riportata su molte magliette o negli incipit di parecchi libri, serve a ricordare come nella matematica che si impara durante un normale corso di studi siano contenuti concetti mostruosi, spaventosi e vertiginosi, che crescendo con noi facevano poco rumore.

Lao Tzu è una figura leggendaria della filosofia cinese. La tradizione tramanda che sia vissuto nel VI secolo a.C. ed è considerato il fondatore del Taoismo.
Alcuni affermano che un giorno abbandonò le sue attività e intraprese un viaggiò verso Occidente con il suo bufalo, attraverso lo Stato di Qin. Arrivato al posto di guardia di Hangu, Lao Tzu fu interpellato da un ufficiale, il quale gli chiese di lasciare qualche scritto sulla sua filosofia prima di andarsene. La risposta di Lao Tzu all'ufficiale furono i cinquemila ideogrammi del Tao Te Ching, la prima e unica opera scritta del filosofo.
Lao Tzu lasciò il suo testo su tavolette di bambù al guardiano.
Fatto questo ripartì e scomparve nelle distese desertiche senza essere mai più visto.
 


Volevo cambiare il mondo, ma ho perso lo scontrino.

Letto su una T-shirt


http://en.wikipedia.org/wiki/Names_of_large_numbers
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number
http://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html
http://misterpalomar.blogspot.it/2013/09/nomi-di-numeri-parte-seconda.html
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/Archimede%20e%20i%20grandi%20numeri/Archimede.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function#Ackermann_numbers
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Skewes



venerdì 29 agosto 2014

161. Guarda e dimmi (Look and Say)

John Horton Conway viene citato in questo Blog ogni anno quando si fa riferimento al Doomsday o, per esempio, nel post:  113. Let Me Through.

E’ un noto matematico britannico, residente a Princeton, attivo nella teoria dei gruppi finiti, teoria dei nodi, teoria dei numeri, teoria combinatoria dei giochi e teoria dei codici.




Un altro suo stravagante risultato è la sequenza look-and-say:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, 31131211131221, 13211311123113112211,  11131221133112132113212221, 

in cui ogni termine è costruito "leggendo" il termine precedente nella sequenza.

Ad esempio, il termine 1 viene letto come "una volta 1", che diventa: 11;
il numero 11 viene letto come "due volte 1", che diventa: 21 
e così via.

La cosa notevole di questa sequenza è che, anche se a prima vista sembra essere del tutto arbitraria e non matematica, ha alcune caratteristiche interessanti che sono state evidenziate da Conway. Più in particolare, ha mostrato che il numero di cifre in ciascun termine della successione in media cresce di circa il 30% da un termine all'altro:

1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20, 26, 34, 46, 62, 78, 102, 134, 176, 226, 302, 408, 528, 678, 904, 1182, 1540, 2012, 2606, 3410, 4462, 5808, 7586, 9898, 12884, 16774, 21890, 28528, 37158, 48410, 63138, 82350, …

Più specificamente, ha mostrato che se Ln è il numero di cifre per il termine n-esimo della sequenza, allora il limite del rapporto del termine n-esimo diviso il precedente vale:

                                    Ln  / Ln-1  =  1,303577269…

La stesso risultato si ottiene per ogni numero di partenza, tranne che per 22.
In questo caso si legge sempre “due volte 2” in modo ricorrente.

Un esaustivo approfondimento lo si può trovare nel sito del Politecnico di Torino:



Che il rapporto di due termini consecutivi di una sequenza converga ad un valore costante, avviene anche i numeri di Fibonacci dove il rapporto in questo caso tende al numero aureo Φ al crescere di n.


Per un altro esempio si può vedere il “numero di plastica1,324717957244746...  e la relativa “successione di Padovan”.



http://oeis.org/search?q=A005150+-id:A005150

http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Padovan



domenica 17 agosto 2014

160. Un’Ostinata Illusione

Qualche anno orsono, non esisteva ancora Street View, mi è venuta la curiosità di vedere dove “finiva” il naviglio.

Il Naviglio Grande nasce dal Ticino poco prima di Turbigo. La portata è di 64 m³ al secondo in estate e di 35 in inverno. Le cronache del duecento narrano dell'inizio dei lavori intorno al 1177; nel 1187 il naviglio giunse a Trezzano e nel 1211 alle porte di Milano, a Sant'Eustorgio, nei pressi dell'attuale porta Ticinese.
Da questo punto di arrivo (la darsena) qualche secolo dopo venne costruito il Naviglio Pavese, un canale navigabile che unisce Milano a Pavia. Il dislivello tra la darsena di porta Ticinese e il Ticino è di 56,6 metri, dei quali 4,40 sono superati dall'inclinazione del fondo, mentre agli altri 52,2 provvedono dodici conche con cascate. L'ultima conca è assai profonda, in modo da poter funzionare sia in regime di piena che di magra del Ticino.

Attraversata Pavia sono giunto in viale Partigiani, qui:



Dopo qualche anno ho scoperto che cos’era il fabbricato che si vede sulla sinistra.

Hermann Einstein (Bad Buchau, 30 agosto 1847 – Milano, 10 ottobre 1902), padre di Albert e Maja, era un proprietario di fabbriche elettrotecniche che dalla Germania approdò, con il fratello ingegnere Jacob e le rispettive famiglie, prima a Pavia, poi a Milano, a causa di dissesti finanziari. Infatti, dopo alcuni anni di prosperità, elettrificando anche il sito in cui si svolgeva l'Oktoberfest, i due furono costretti a liquidare la piccola fabbrica che possedevano a Monaco e a volgere l’attenzione verso il mercato italiano, impiantando un nuovo stabilimento a Pavia nel 1894, in società con l’ingegnere italiano Lorenzo Garrone.
Nel marzo 1894 a Pavia vengono fondate le Officine Elettrotecniche Nazionali Einstein-Garrone e nell’autunno, in pochi mesi, viene costruita una grande fabbrica, presso un doppio salto del Naviglio, strategico per la produzione di energia elettrica (quella che si vede nella foto riportata sopra).

 
La famiglia di Albert trovò la residenza in una casa signorile abitata in precedenza da Ugo Foscolo (1778-1827) ora via Foscolo 11. Durante questo periodo, Albert venne incoraggiato a frequentare le "Officine Einstein-Garrone" e a interessarsi delle macchine elettriche. Fu anche una stagione di intense relazioni sociali; la famiglia Einstein si era infatti integrata bene nell’ambiente borghese pavese, stringendo amicizia soprattutto con la famiglia Marangoni.
Fu così che Ernesta, figlia primogenita di Giulio Marangoni e di Rachele Venco, nata a Casteggio, un paese a circa 25 km a sud di Pavia, all’epoca diciannovenne, conobbe Maja ed Albert; i tre iniziarono a frequentarsi assiduamente. Furono mesi di vita spensierata trascorsi tra gite in campagna, bagni al lido sul fiume Ticino, incontri musicali settimanali dedicati all’esecuzione di autori classici tedeschi.
Parecchi anni più tardi, nel 1955, il soggiorno pavese di Albert fu rievocato da Ernesta in persona, la quale rese altresì nota la corrispondenza intercorsa fra loro nel 1946, a guerra finita. 

«Alberto lo conobbi in un pomeriggio estivo in cui era in vacanza tra due semestri, allo stabilimento bagni in Ticino, e mi parve un giovinetto un po’ delicato ma sano – un po’ scialbo di tinte, occhi scuri, capelli castani non neri come quelli della sorella e come divennero in seguito». In questi incontri estivi Albert che «parlava abbastanza bene l’italiano – proseguiva Ernestina – le boutades le lanciava in tedesco, lasciandole poi tradurre dalla sorella».

Ernestina aggiungeva inoltre a queste cronache altri episodi anche scientifici che riguardavano il dono da parte del giovane Einstein di un lavoro manoscritto dal titolo: Sull’elettricità e la corrente elettrica (oggi perduto), mentre divertita descriveva il brillante viaggio con l’amico Otto Neustätter che egli compì via tram da Pavia e a piedi da Voghera fino a Genova per visitare lo zio Jacob Koch.
Ernesta visse a lungo fino al 1972 quando, ultranovantenne, si spense nella sua casa di Casteggio.

Dopo poco tempo gli Einstein si spostarono in via Bigli 21 a Milano e qui impiantarono una piccola officina per la produzione di dinamo e macchinari elettrici, in via Lecchi, nella zona del Naviglio Pavese; probabilmente anche in questo caso l’acqua del naviglio forniva l’energia elettrica necessaria alla fabbrica.
 

L'edificio di via Bigli 21 è un palazzo caratteristico della vecchia Milano, con il portone affondato in un grande arco, dove aveva abitato anche la contessa Clara Maffei. Nello stesso periodo sull’altro lato di via Manzoni, nell’allora Albergo Milano, oggi Grand Hotel et de Milan, era solito risiedere Giuseppe Verdi (1813-1901).

Come al solito, le cose andarono bene per qualche anno, Hermann aveva vinto le concessioni per i sistemi di illuminazione nelle cittadine di Canneto sull’Oglio e Isola della Scala, finché cominciarono a fargli pressione perché pagasse i suoi debiti.
L’officina di via Lecchi rimase comunque in funzione fino alla morte del padre di Einstein che da allora riposa al Cimitero Monumentale nel Civico mausoleo Palanti. Nell’edicola, oltre alla famiglia Palanti, sono sepolti tra gli altri: Franco Parenti, Walter Chiari, Giovanni D'Anzi, Virgilio Ferrari, Paolo Grassi e il padre di un noto Presidente del Consiglio.
In quegli anni Einstein conobbe Michele Besso, che rimase suo intimo amico per tutta la vita e l'unica persona alla quale dette credito di aver contribuito al lavoro del 1905 sulla Relatività Ristretta. Lo ringraziò scrivendo: “... concludendo, tengo a dire che l'amico e collega M. Besso mi ha costantemente prestato la sua preziosa collaborazione mentre lavoravo a questo argomento, e che gli sono debitore di parecchi interessanti suggerimenti”.
Besso lo anticipò di meno di un mese nella morte e in una lettera che scrisse ai familiari Einstein concludeva con l’emblematica frase:

«Per noi che crediamo nella fisica, la divisione tra passato, presente e futuro ha solo il valore di un’ostinata illusione»

Einstein A., «Lettera del 21 marzo 1955»

 



http://ricerca.gelocal.it/laprovinciapavese/archivio/laprovinciapavese/2005/01/28/PT1PO_PT101.html

http://www.paviaedintorni.it/temi/attivita_professioni_file/attivit%C3%A0industriali_file/industrievarie_file/descrizione_einstein.htm
http://www.pv.camcom.it/index.phtml?Id_VMenu=568