43. Fotoni Solari

I fotoni che vediamo come luce solare in realtà impiegano un periodo di tempo molto lungo per uscire dal Sole. Ogni fotone cambia direzione continuamente (ogni d = ½ cm circa) e per arrivare in superficie, ad una distanza pari al raggio solare R_o = 6.9 x 10⁵ km, il percorso totale P sarà: 

                                   P =  3 R_o²  / d  =  2.9 x 10¹⁷ km

che alla velocità della luce impiega circa 30000 anni.

Il percorso e’ assimilabile al “Random Walk” ed ogni fotone, nel suo lungo percorso all’interno del Sole, subisce uno spostamento verso il rosso da fotone X a fotone ottico.

http://www.ca.astro.it/damico/lezioni/web/Fondamenti/AA0405/

http://ds9.ssl.berkeley.edu/lws_gems/2/random.htm

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42. Simmetria Ornamentale

Hermann Weyl, La Simmetria, Feltrinelli, 1975  -  pag.108

“… Vi sono dunque 17 possibili tipi di simmetria, essenzialmente diversi, in un ornamento bidimensionale a rapporto doppio infinito. Si trovano esempi di tutti i 17 gruppi di simmetria tra i motivi decorativi dell’antichità, ed in particolar modo tra i motivi ornamentali egiziani. E’ difficile sopravvalutare la profondità della fantasia e della inventiva geometrica che si rispecchia in questi motivi.

 

La loro struttura e’ tutt’altro che banale in senso matematico; anzi, l’arte dell’ornamento contiene implicitamente il più antico esempio d’alta matematica da noi conosciuto.

Naturalmente, solo nel secolo diciannovesimo si costruirono gli strumenti concettuali per una concreta formulazione astratta del problema che vi stava a base, cioè il concetto matematico di gruppo di trasformazioni; e solo con questo mezzo si può dimostrare che le 17 forme di simmetria, già note implicitamente agli artigiani egizi, esauriscono effettivamente tutti i casi possibili.

E’ piuttosto strano che questa dimostrazione sia stata ottenuta solo nel 1924, da George Polya.

Gli arabi si arrabattarono molto sul numero 5 ma, naturalmente, non riuscirono mai ad inserire onestamente una simmetria centrale di ordine 5 nei loro a rapporto doppio infinito.
  … non esistono più di 17 diversi gruppi ornamentali.”

 

http://fds.mate.polimi.it/file/1/File/TOLday07/simmetria-BETTI.pdf
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/roggero/I%2017%20gruppi%20cristallografici.pdf

http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html#p6

http://euler.slu.edu/escher/index.php/Wallpaper_Patterns

http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group

http://mathworld.wolfram.com/WallpaperGroups.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Space_group
http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/11-emmy-noether-simmetrie.html

41. 17 Cammelli

Uno sceicco lascia in eredità ai suoi 3 figli rispettivamente 1/2, 1/3 e 1/9 dei suoi cammelli con la raccomandazione di non uccidere animali nella spartizione. Ma quando muore lascia 17 cammelli.

Come andranno suddivisi fra i 3 figli i 17 cammelli?

I 3 figli si rivolgono al saggio del villaggio che risolve così la questione: aggiunge 1 cammello per farli diventare 18; a questo punto 1/2, 1/3 e 1/9 di 18 sono rispettivamente 9, 6 e 2, per un totale di 17. Quindi avanza 1 cammello che può essere restituito al suo legittimo proprietario.

Spiegazione: se si fossero rispettate le volontà dello sceicco l’eredità sarebbe stata di 8.5, 5.667 e 1.889; ci sarebbe così stato un residuo di 0.944. Se si continua con la spartizione del residuo e successivamente del residuo del residuo, si ottiene che le 3 serie convergono ancora a 9, 6 e 2.

Un caso più semplice e’ il seguente. Se i cammelli fossero 3 e i figli 2 con percentuali ½ e ¼ , l’eredità sarebbe 1.5 e 0.75 con un residuo 0.75 (cioè 1/4 di 3). Di questo quarto la metà spetta ancora al primo figlio, per cui la serie diventa: 1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 + … = 2/3. Allo stesso modo si può verificare che per il secondo figlio il risultato e’ 1/3.

L’altro modo di effettuare questo calcolo e’: aggiungendo 1 cammello se ne avrebbero 3 + 1 = 4, la cui metà e’ 2 per il primo figlio e il suo quarto 1 per il secondo.

http://utenti.quipo.it/base5/numeri/eredita.htm
http://www-dimat.unipv.it/1/algebra/pillole/17cammelli.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/L'uomo_che_sapeva_contare

40. Atomi

Se il nucleo atomico fosse grande quanto una mela, gli elettroni gli ruoterebbero attorno ad una distanza pari a circa un chilometro...

Se una mela diventasse della dimensione della Terra, gli atomi nella mela sarebbero approssimativamente delle dimensioni della mela originale.

http://it.wikipedia.org/wiki/Atomo
http://www.cielidelsud.it/argo/univmano.htm

39. Numeri Trascendenti

Sono Trascendenti i Numeri che non possono essere ottenuti come soluzioni di equazioni algebriche. Ad esempio sono Trascendenti: e, p  e  log 2

Il primo Numero fu “costruito” da Joseph Liouville nel 1844:

dove la k-esima cifra dopo la virgola è 1 se k è un fattoriale e 0 altrimenti.

http://www.magiadeinumeri.it/terminologia.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_trascendente