"Il percorso fra due punti preso da un raggio
di luce è quello che è attraversato nel minor tempo". Questa è la
formulazione del principio di Fermat, molto utile per spiegare vari fenomeni
luminosi quali la rifrazione.
Ma è un
concetto che si colloca in un ambito molto più generale (che verrà trattato in
un post successivo): il principio di minima azione.
Sono molti i
problemi che possono essere rappresentati e risolti in termini di questo principio:
è possibile mostrare che l'acqua che scende da una collina segue sempre la
massima pendenza, oppure permette di studiare il cammino di un corpo in un
campo gravitazionale (la cui soluzione è una traiettoria geodetica) e, come
citato all’inizio, il fatto che il cammino della luce fra due punti è sempre
quello che viene percorso nel tempo più breve (appunto il principio di Fermat).
Sono talmente tanti i grandi scienziati che hanno contribuito, che mi limiterò
a citarne alcuni (mi scuso per quelli trascurati): Fermat, Maupertuis, Eulero,
Lagrange, Hamilton, Jacobi, Gauss e Hertz.
Anche le
simmetrie nei problemi di fisica possono essere sfruttate al meglio usando il
principio d'azione: per esempio, il teorema di Noether stabilisce che ad ogni
simmetria continua in un problema di fisica corrisponde una legge di
conservazione.
Questa profonda connessione matematica richiede tuttavia il principio di minima azione come presupposto.
Questa profonda connessione matematica richiede tuttavia il principio di minima azione come presupposto.
Tornando a Fermat, nasce nel 1601, studia
legge e diviene avvocato. Nel tempo libero si occupa di matematica. Precorre lo
studio del calcolo differenziale e della teoria della probabilità, ma il campo
dove è più noto è la teoria dei numeri: l’esempio più emblematico è “l’ultimo
teorema di Fermat”.
Uomo brillante nella vita pubblica,
conduce un’esistenza tranquilla come alto magistrato di Tolosa. Il desiderio di
gloria e il rivendicare le proprie scoperte sembrano mancare a Fermat: a lui
non piace neppure pubblicare, è sua abitudine scrivere le idee che gli vengono
in mente sul margine del libro che sta leggendo.
Osservazioni
su Diofanto costituisce una delle opere più importanti dei lavori di Fermat
ed è dedicata alla teoria dei numeri. Si tratta di annotazioni che non
suppongono quindi un lettore e presentano a volte serie difficoltà di
comprensione. Vennero pubblicate postume e fu Samuel Fermat, uno dei suoi
figli, che nel 1670, cinque anni dopo la morte del padre, le fece pubblicare a
sue spese. Dopo quella edizione non ne furono più pubblicate altre fino al
1891. Come si è detto, costituisce una delle principali opere sulla teoria dei
numeri, anche se Fermat tralascia spesso di dare la dimostrazione dei teoremi
che enuncia.
Successivamente tutti i suoi teoremi sono
stati dimostrati ad eccezione di uno rimasto famoso per secoli, secondo cui:
xn + yn = zn non
ammette soluzioni intere per n>2.
Fermat dichiara di avere una splendida
dimostrazione, ma di non poterla dare a causa della ristrettezza del margine.
Pierre de Fermat non si allontanò mai
dalla regione di Tolosa, ove era nato a Beaumont de Lomage e pochi sono gli
avvenimenti significativi della sua vita. Dopo gli studi compiuti a Tolosa,
entra a far parte della magistratura il 14 maggio 1631, si sposa con Louise de
Long e conduce una vita tranquilla, ma fitta di scambi epistolari che tiene con
i più grandi matematici e filosofi del suo tempo.
Qui però voglio ricordare, non il più
famoso “ultimo teorema” che venne
infine dimostrato da Andrew Wiles, dell'università di Princeton, nel 1995, ma “il piccolo teorema di Fermat”:
Np
– N ≡
0 (mod p)
dato un numero primo p ed un numero intero N, Np – N è sempre divisibile
per p.
Alcuni esempi:
132 – 13 = 156 è
divisibile per 2;
73
– 7 = 336 è
divisibile per 3
Questo teorema viene utilizzato per il test di Fermat: uno dei primi test di
primalità, che, come altri test usati normalmente, si propone di verificare non
se un numero intero positivo è primo, ma se un numero dato non è primo.
In altre parole è condizione necessaria ma non sufficiente, permette di escludere,
come numeri primi, quelli che non
soddisfano il test, ma non è detto che quelli che lo passano lo siano.
Ad esempio:
29 – 2 = 510 che diviso 9 ha
resto 6 cioè 29
– 2 ≡
6 (mod 2)
27 – 2 = 126 che
diviso 7
ha
resto 0 cioè 27 – 2
≡ 0 (mod 2)
dal test si ricava che 9 non
è un numero primo, mentre 7 potrebbe esserlo.
44 gatti
Questa settimana, all’età di 91 anni, se
ne è andato il maestro Giuseppe Casarini che ha fatto cantare tutti i bambini per
quasi 50 anni. E’ difficile pensare ad un'altra canzone che abbia attraversato le
varie generazioni come quella che vinse lo Zecchino d'oro del 1968, staccando
di un solo punto l’altro famoso brano Torero Camomillo.
Il ritornello: “44 gatti in fila per 6 col resto di 2” mi dà lo spunto per citare un
problema che può essere risolto applicando il piccolo teorema di Fermat.
Un numero N di gatti cerca di mettersi in fila per
2, ma si ha il resto di 1, in fila per 3 il resto è di 2, per 4 il resto è 3,
per 5 il resto è 4, per 6 il resto è 5 ed infine per 7 il resto è finalmente 0. Qual è
il numero N di gatti?
Non lo risolveremo con i passaggi
corretti, ma cercherò di darne una spiegazione più intuitiva.
In fila per 2 ne avanza 1, quindi il
numero è dispari.
In fila per 5 ne avanzano 4, quindi termina
per 9 (o per 4, che però non è dispari).In fila per 7 ne avanzano 0, quindi il numero è multiplo di 7.
fila
|
resto
|
|||||||||||||||||||
7
|
0
|
7
|
49
|
119
|
189
|
259
|
329
|
399
|
469
|
539
|
609
|
679
|
749
|
819
|
889
|
959
|
1029
|
1099
|
1169
|
1239
|
6
|
5
|
11
|
29
|
59
|
89
|
119
|
149
|
179
|
209
|
239
|
269
|
299
|
329
|
359
|
389
|
419
|
449
|
479
|
509
|
539
|
5
|
4
|
9
|
19
|
29
|
39
|
49
|
59
|
69
|
79
|
89
|
99
|
109
|
119
|
129
|
139
|
149
|
159
|
169
|
179
|
189
|
4
|
3
|
7
|
19
|
39
|
59
|
79
|
99
|
119
|
139
|
159
|
179
|
199
|
219
|
239
|
259
|
279
|
299
|
319
|
339
|
359
|
3
|
2
|
5
|
29
|
59
|
89
|
119
|
149
|
179
|
209
|
239
|
269
|
299
|
329
|
359
|
389
|
419
|
449
|
479
|
509
|
539
|
2
|
1
|
3
|
9
|
19
|
29
|
39
|
49
|
59
|
69
|
79
|
89
|
99
|
109
|
119
|
129
|
139
|
149
|
159
|
169
|
179
|
In tabella sono riportati tutti i
possibili risultati che possono soddisfare le varie disposizioni. Dalla quarta
colonna sono stati riportati solo i valori che finiscono per 9.
Si vede così che il primo numero che
soddisfa le richieste è N = 119.
Non è però l’unico, il minimo comune
multiplo dei numeri da 2 a 7 è 420, e sommando 420 a 119 si ottiene 539, che
risulta anch’esso soluzione del problema come 959, 1379, ecc.
Soluzione alternativa:
un modo semplice di risolvere il problema è il seguente (simile a quanto fatto nel
post 41. 17 Cammelli).
Visto che aggiungendo 1 solo gatto si
possono completare le fila per 2, 3, 4, 5 e 6, si ha che N+1 deve contenere il minimo comune
multiplo di questi numeri, cioè 60.
Ma 60 – 1 = 59 non è
divisibile per 7. Proviamo allora con il doppio e possiamo così verificare che
in questo caso sono soddisfatte tutte le condizioni richieste.
(Aritmetica di Diofanto
Alessandrino, libro 2, questione 8)
Dividere
un quadrato dato in due quadrati
Non è, invece, possibile dividere un cubo in due cubi,
o un biquadrato in due biquadrati, ne’, in generale, dividere un’altra potenza di
grado superiore al secondo in due altre potenze dello stesso grado: della qual
cosa ho scoperto una dimostrazione veramente mirabile, che non può essere
contenuta nella ristrettezza del margine.
