domenica 6 novembre 2016

221. Una proprietà della Catenaria


La successione di Didone al trono di Belo, re di Tiro, di cui era figlia primogenita, fu contrastata dal fratello Pigmalione, che le uccise segretamente il marito Sicheo e prese il potere al suo posto. Probabilmente con lo scopo di evitare la guerra civile, Didone lasciò Tiro con un largo seguito e cominciò una lunga peregrinazione, le cui tappe principali furono Cipro e Malta.

Approdata infine sulle coste libiche, Didone ottenne dal re Iarba il permesso di stabilirvisi, prendendo tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di bue". L'antico soprannome di Cartagine, infatti, era "Birsa", che in greco significa "pelle di bue". Didone scelse una penisola, tagliò astutamente la pelle di toro in tante striscioline e le mise in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città di Cartagine e riuscì a occupare un terreno di circa ventidue stadi quadrati (uno stadio equivale a circa 185,27 m). Da questa leggenda è nato il cosiddetto problema di Didone.


Cartagine




Didone è una figura mitologica, fondatrice e prima regina di Cartagine. Secondo la narrazione virgiliana si innamorò dell'eroe troiano Enea, figlio di Anchise, quando si rifugiò a Cartagine prima di arrivare nel Lazio, e lo sposò. Disperata per la partenza improvvisa di Enea, costretto dal Fato, Didone si uccise con la spada di Enea.

Con la corda composta dalle striscioline, la principessa fece congiungere le rive dai lati opposti dell’altura, acquisendo così la proprietà della collina ed un comodo sbocco sul mare; inoltre viene specificato che Didone fece disporre la corda a forma di semicerchio in modo da racchiudere la maggior area possibile. Questo racconto alimentò la curiosità dei matematici: infatti porta con sé la questione del perché Didone avesse scelto proprio la forma semicircolare per delimitare quella che riteneva essere la maggior superficie possibile. Il problema, chiamato spesso problema isoperimetrico, si può riformulare chiedendo quale sia la figura geometrica che a parità di perimetro ha area maggiore. La soluzione è intuitivamente il cerchio. Per dimostrare questo risultato si dovette attendere il 1838 quando Jakob Steiner ci riuscì mediante un processo noto come simmetrizzazione di Steiner. Successivamente la sua dimostrazione fu perfezionata e resa più rigorosa da altri matematici come Karl Weierstrass.

Si tratta di ottenere il massimo risultato con un dato sforzo o viceversa un risultato desiderato con il minimo sforzo. Da questa doppia formulazione dello stesso problema, vediamo che non vi è alcuna differenza essenziale fra massimo e minimo, cioè possiamo semplicemente parlare di valori estremi. Un campo in cui il principio di minimo si è mostrato utile è la statica, la scienza dell’equilibrio. Un corpo che si muove su una superficie liscia sotto l’influenza della forza di gravità, si ferma in equilibrio stabile nel punto più basso. Se abbiamo un sistema meccanico formato da diversi corpi, come ad esempio una collana di perle, il centro di gravità del sistema all’equilibrio sarà situato il più in basso possibile. In altre parole, per trovare l’equilibrio stabile, si deve cercare la posizione in cui l’altezza del baricentro sia un minimo. Il prodotto di questa altezza per la forza di gravità è chiamato energia potenziale. Una catena, costituita da moltissime parti e sospesa agli estremi, assume una forma definita dalla condizione che l’altezza del suo baricentro sia un minimo. Abbiamo a che fare con un problema variazionale e fra le infinite curve di ugual lunghezza, quella con il baricentro più basso viene chiamata catenaria.



Da Wikipedia - In matematica, la catenaria è una particolare curva piana iperbolica (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento è quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.
L'equazione della catenaria può essere espressa matematicamente tramite il coseno iperbolico: 
 






 

Il problema era già stato considerato da Leonardo da Vinci nel XV secolo. Galileo Galilei credette che la parabola potesse essere l’equazione giusta, ma in seguito nel 1669 il matematico tedesco Joachim Jungius dimostrò che non era così. Ma furono Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens e Johann Bernoulli a ricavare nel 1691 l’equazione corretta, che, al contrario della parabola, era una curva non algebrica. Galilei non aveva però sbagliato del tutto; nella catenaria la distribuzione del peso della catena è uniforme per ogni lunghezza di arco, mentre nei ponti sospesi, dove alla catena sono appesi i tiranti che sostengono il ponte, la distribuzione del peso è uniforme per unità orizzontale di lunghezza e la curva è in questo caso una parabola. Nel caso di una vela gonfiata dal vento si ottiene la stessa curva, solo che viene chiamata velaria. Abbiamo già detto in un precedente post, che tra le proprietà della catenaria c’è quella di essere l’evoluta di una trattrice.

Si può provare che la catenaria è la curva cercata da Eulero che soddisfa la condizione: la superficie ottenuta dalla rotazione della catenaria è detta catenoide ed è la superficie di area minima che ha come bordo due circonferenze nello spazio poste su piani paralleli.

Catenoide









Se si considera una linea retta parallela all’asse delle x (con equazione y = k), I’area compresa nell’intervallo [a,b] è semplicemente quella del rettangolo di lati “k” e “b-a”. Si può anche dire che l’area è proporzionale alla lunghezza del segmento della curva (in questo caso della retta).

Ebbene, esiste un’altra curva che possiede la stessa proprietà: la catenaria.


a = A = b = B







 










 

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