La "Introductio in Analysin Infinitorum", pubblicata da Leonhard Euler (Eulero) nel 1748, pone al centro del lavoro l’investigazione dell’infinito facendo ricorso esclusivamente a risorse algebriche e raccoglie diversi lavori su argomenti riguardanti algebra, funzioni trigonometriche e logaritmiche, serie infinite e frazioni continue.
In questo post ci concentreremo su queste ultime ed in particolare su alcune delle tante frazioni continue relative a Pi Greco.
In occasione del Pi Day è
usanza parlare del Pi Greco e cose
da dire ce ne sono sempre molte.
Per cominciare, sappiamo
che è un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come
quoziente di due interi, ed inoltre, è un numero trascendente (ovvero
non è un numero algebrico); ciò significa che non ci sono polinomi con
coefficienti razionali di cui Pi è radice; quindi, è
impossibile esprimere Pi usando un numero finito di interi, di
frazioni e di loro radici.
Ma la cosa incredibile è
che le formule esposte da Eulero nella sua pubblicazione hanno un aspetto
molto semplice.
Dopo aver discusso di
serie infinite e di prodotti di infiniti fattori, affronta l’argomento delle
frazioni continue, Eulero scrive:
357. Chiamo ora funzione continua una frazione di tal genere: il suo denominatore consta di un numero intero e di una frazione, il cui denominatore di nuovo è la somma di un intero e di una frazione che a sua volta è realizzata in maniera simile, ovvero questa caratteristica procede all’infinito oppure si ferma da qualche parte. In tal modo quindi frazione continua sarà l’espressione seguente:
nella prima forma i numeratori delle frazioni sono unità, nella seconda forma invece i numeratori sono numeri qualsiasi.
Per comodità si può usare anche questa forma sintetica:
La frazione regolare (prima forma) per Pi comincia così:
Lord Brouncker (1620-1686) fornisce nel 1659 (senza provarla) questa elegante frazione continua, mostrata di seguito insieme al prodotto infinito di Wallis e alla serie di Leibniz:
Nel 1775 Eulero riesce a
dare una prova della sua validità.
Come si può notare, queste formule hanno un aspetto semplice e regolare.
1655: John Wallis (1616-1703) trova un prodotto infinito razionale per Pi; William Brouncker (1620-1684) lo converte poi in una frazione continua.
1665: Isaac Newton scopre il calcolo
infinitesimale e calcola Pi fino alla 16ª cifra decimale.
1671: James Gregory scopre le serie delle
arcotangenti.
1674: Leibniz (1646-1716) scopre la serie delle
arcotangenti per Pi.
1748: Eulero pubblica l'Introductio
in Analysin Infinitorum contenente il cosiddetto Teorema di Eulero e molte
serie per Pi.
Queste 3 formule viste prima (Wallis, Brouncker, Leibniz) sono profondamente collegate.
Connessione Wallis e Brouncker
Nel 1655, John Wallis pubblica
nell'Arithmetica Infinitorum il suo prodotto infinito per 4/Pi Wallis mostra il
risultato a Lord Brouncker, il quale, ispirato dal lavoro dell'amico,
trasforma il prodotto in una frazione continua generalizzata. Wallis
pubblica poi la formula di Brouncker nel suo libro, pur non conoscendo l'esatto
metodo di derivazione usato da quest'ultimo.
Connessione Brouncker e Leibniz
Sebbene la serie di Leibniz (scoperta indipendentemente anche da James
Gregory) sia apparsa qualche decennio dopo, esiste un legame matematico
diretto:
Trasformazione
di Eulero: Leonhard Euler dimostra nel XVIII secolo che la frazione
continua di Brouncker può essere derivata direttamente dalla serie di Leibniz
applicando un metodo di trasformazione che converte una serie infinita
in una frazione continua equivalente.
Entrambe
le formule condividono la stessa scarsa efficienza computazionale e convergono
quindi molto lentamente; per ottenere 10 cifre decimali, sono necessari circa 5
miliardi di termini sia per la serie di Leibniz che per la frazione continua di
Brouncker.
Eulero mostra come trasformare serie infinite in frazioni continue:
Ad esempio:
 |
Pi history - MacTutor History of
Mathematics
Formula della frazione continua di Eulero - Wikipedia
Serie (matematica) -
Wikipedia
Storia
della matematica - Wikipedia
Continued
Fraction -- from Wolfram MathWorld
Trott
Constants -- from Wolfram MathWorld
List of formulae involving π - Wikipedia
Zibaldone Scientifico: 121. Irrazionale
Zibaldone Scientifico: 175. Prodotti Infiniti
Nel bell'articolo di Thomas J. Osler - LORD BROUNCKER’S FORGOTTEN SEQUENCE OF CONTINUED FRACTIONS FOR PI, vengono mostrate alcune formule ricavate da Brouncker:
