martedì 18 luglio 2023

256. Curve ad ampiezza costante

Il cerchio ha la stessa larghezza (diametro) in tutte le direzioni, questo significa che se lo posizioniamo tra 2 rette parallele possiamo ruotarlo mantenendo sempre le rette tangenti al cerchio.

Intuitivamente sembra che questa sia l’unica figura con tale proprietà, ma non è così.

Ad esempio, ogni poligono regolare con un numero dispari di lati arrotondati può avere la stessa proprietà. Ogni lato è un arco di circonferenza con centro nel vertice opposto. Un semplice esempio è fornito dalla forma di alcuni plettri.



Osservando le vetrate del Duomo di Milano, si può notare che alcuni disegni delle finestre hanno questa forma geometrica.



Anche diverse monete hanno tali caratteristiche, questo le rende adatte ad essere utilizzate nei distributori automatici e allo stesso tempo le rende distinguibili al tatto da altre monete con diversa forma e valore.



Il triangolo con questa forma si chiama Triangolo di Reuleaux dal nome dell’ingegnere e matematico tedesco Franz Reuleaux (1829-1905) è la più semplice delle curve ad ampiezza costante.



Il Teorema di Barbier afferma che le curve di larghezza costante hanno lo stesso perimetro, quindi uguale a quello del cerchio con lo stesso diametro, mentre l'area del triangolo di Reuleaux si calcola considerando che la figura è formata dal triangolo equilatero di lato s (tratteggiato nella rappresentazione grafica) e dalle tre rimanenti porzioni esterne. Si ottiene quindi:

L’area del cerchio con stesso diametro s è maggiore e vale:

Si può dimostrare che, a parità di diametro, il cerchio ha sempre l’area maggiore rispetto alle altre curve ad ampiezza costante.

 

Poiché tutte le curve con la stessa larghezza costante hanno lo stesso perimetro, si potrebbe supporre che tutti i solidi della stessa larghezza costante abbiano la stessa area superficiale. Questo non è vero. È stato tuttavia dimostrato da Hermann Minkowski (1864-1909) che tutte le ombre dei solidi di larghezza costante (quando i raggi che proiettano sono paralleli e l'ombra cade su un piano perpendicolare ai raggi) sono curve con lo stesso diametro costante e che tutte queste ombre hanno perimetri uguali.

 

https://it.wikipedia.org/wiki/Curva_ad_ampiezza_costante

http://www.bazardelbizzarro.net/buchi_quadrati.html

matematicamedie: Il triangolo di Reuleaux

What Is The Reuleaux Triangle? » Science ABC

Rotolamento di un triangolo curvilineo – GeoGebra

Barbier's theorem - Wikipedia

Reuleaux polygon - Wikipedia

Curve of constant width - Wikipedia

Reuleaux triangle - Wikipedia

Octant projection - Wikipedia

Figura geometrica avente diametri uguali – vialattea.net

https://www.kickstarter.com/projects/mathmeetsmachine/make-100-revolution-evolution-3d-reuleaux-polygons-set?lang=ja

Circular Reuleaux triangle / Etudes // Mathematical Etudes

La ruota quadrata : nascita del problema e una sua analisi - Mathone

Blaschke–Lebesgue theorem - Wikipedia

 

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