Zibaldone Scientifico: 224. Statistiche

lunedì 23 gennaio 2017

224. Statistiche

I mesi di settembre ed ottobre del 1927 furono un periodo ricco di incontri e scambi di idee che hanno contribuito alle scoperte della fisica del ventesimo secolo.

Per celebrare Alessandro Volta nel primo centenario della morte, venne organizzato, nella sua città natale Como, un Congresso internazionale destinato a diventare un evento estremamente significativo nella storia della fisica moderna. Aperto l'11 settembre da Quirino Majorana, presidente dalla Società italiana di fisica e zio di Ettore, si concluse il 27 settembre. In un momento nel quale la meccanica quantistica va definendo le basi di una nuova visione del mondo, sono invitati a Como tutti i protagonisti di quello straordinario fermento. Solo Albert Einstein non partecipa, per la sua ferma opposizione al governo italiano.

Dei 61 partecipanti, alcuni sono giovanissimi: Wolfgang Pauli ha 27 anni, Werner Heisenberg, Enrico Fermi e Franco Rasetti ne hanno 26, Paul Adrien Maurice Dirac 25, Emilio Segrè 22. Sono presenti molti premi Nobel per la fisica: Niels Bohr (1922), William Lawrence Bragg (1915), Arthur Compton (1927) James Franck (1925), Hendrik Antoon Lorentz (1902), Guglielmo Marconi (1909), Robert Andrews Millikan (1923), Max Planck (1918), Max von Laue (1914), Pieter Zeeman (1902), oltre ai premi Nobel per la chimica Francis William Aston (1922) e Ernest Rutherford (1908). I presenti che presero il Nobel successivamente furono: Max Born (1954) e Otto Stern (1943), oltre ai già citati Heisenberg (1932), Dirac (1933), Fermi (1938), Pauli (1945) e Segrè (1959).

Fermi, Heisenberg e Pauli

https://it.wikipedia.org/wiki/Congresso_internazionale_dei_fisici_del_1927

Un mese dopo, più o meno gli stessi fisici si riunirono a Bruxelles dal 24 al 29 ottobre 1927 per il quinto Congresso Solvay, il cui titolo era: Elettroni e fotoni. Benjamin Couprie, fotografo ufficiale dei congressi Solvay, ne immortalò i partecipanti:

Auguste Piccard, Émile Henriot, Paul Ehrenfest, Édouard Herzen, Théophile de Donder, Erwin Schrödinger, Jules-Émile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Ralph H. Fowler, Léon Brillouin, Peter Debye, Martin Knudsen, William Lawrence Bragg, Hendrik Anthony Kramers, Paul Dirac, Arthur Compton, Louis de Broglie, Max Born, Niels Bohr, Irving Langmuir, Max Planck, Marie Curie, Hendrik Antoon Lorentz, Albert Einstein, Paul Langevin, Charles Eugène Guye, Charles Thomson Rees Wilson, Owen Willans Richardson.

http://zibalsc.blogspot.it/2011/11/85-congressi-solvay.html

L’aspetto che voglio però mettere in risalto qui di seguito, è come nei pochi anni che precedettero il 1927, alcuni giovani fisici, siano riusciti a formulare i concetti che stanno alla base della meccanica quantistica e della fisica atomica, e per farlo comincio da una delle pietre miliari della fisica. Il principio di esclusione di Pauli venne enunciato nel 1925 per la spiegazione della struttura atomica, ma successivamente trovò un inquadramento nella teoria quantistica assiomatica. Dall’inizio degli anni venti erano alla ricerca di un modello teorico che, partendo dal modello atomico di Bohr per l’atomo di idrogeno, riuscisse a spiegare le osservazioni sperimentali. Nel 1922 Pauli, su invito di Bohr, si recò a Copenaghen per dedicarsi all’effetto Zeeman anomalo, che consisteva nella separazione di un livello energetico in un multipletto, a seguito dell’applicazione di un campo magnetico. Dopo accurata analisi, Pauli arrivò alla conclusione che sembrava necessario associare all’elettrone una nuova proprietà fisica a 2 valori non prevista in precedenza. Nel 1925 George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit introdussero l’ipotesi che l’elettrone ruotasse intorno al proprio asse con un momento angolare intrinseco che fu chiamato spin.

Ma veniamo alle varie statistiche

Da un punto di vista classico, la meccanica statistica permette di poter caratterizzare lo studio di un sistema con un numero di particelle non interagenti molto grande, dell'ordine del numero di Avogadro, attraverso grandezze macroscopiche, come temperatura, energia libera, pressione o volume.

Il problema principale della meccanica statistica consiste nella ricerca della legge di distribuzione per un sistema che si trovi ad una temperatura assegnata. Questo problema ha avuto per la prima volta una soluzione parziale da parte di Maxwell (gas costituito da molecole puntiformi), la soluzione generale è stata ricavata da Boltzmann. Senza entrare troppo nei dettagli, lo stato di ciascuna molecola si può rappresentare come un punto in un opportuno spazio delle fasi (che di solito rappresenta tutte le possibili posizioni e velocità di ogni molecola). Se pensiamo di suddividere lo spazio delle fasi in tante cellette, aventi lo stesso ipervolume di dimensioni opportune, e di segnare in questo spazio tutti i punti che rappresentano gli stati in cui si trovano le varie molecole ad un certo istante, con un calcolo probabilistico si può ricavare la legge di densità che determina direttamente la distribuzione statistica delle molecole. Come anticipato sopra questo fu ricavato da Maxwell e Boltzmann nella seconda metà del diciannovesimo secolo.

La statistica di Bose-Einstein e la statistica di Fermi-Dirac sono approssimate dalla statistica di Maxwell-Boltzmann nel caso in cui siano coinvolte alte temperature o relativamente basse densità. Poiché la densità di occupazione degli stati dipende dalla temperatura, si hanno comportamenti diversi tra alta e bassa temperatura. Ad alta temperatura la maggior parte dei sistemi si colloca entro i limiti classici, ovvero le differenze sono trascurabili a meno che essi abbiano una densità molto alta, come ad esempio in una stella nana bianca.

Dopo più di 40 anni, lo studio di particelle come fotoni (che seguono la statistica di Bose-Einstein, da cui bosoni) e elettroni (che seguono la statistica di Fermi-Dirac, da cui fermioni) portarono al concetto di particelle identiche. I bosoni, contrariamente ai fermioni, non seguono il principio di esclusione di Pauli: cioè un numero illimitato di bosoni può occupare lo stesso stato energetico contemporaneamente. In fisica statistica particelle identiche (o indistinguibili) sono particelle che non possono essere per principio distinte le une alle altre. Questo fatto ha importanti conseguenze in meccanica statistica. Infatti in meccanica statistica ci si basa su argomenti probabilistici che a loro volta sono influenzati dal fatto che gli oggetti studiati siano identici o invece esista la possibilità, almeno in linea di principio, di riuscire a distinguerli. Come conseguenza, particelle identiche manifestano un comportamento sensibilmente differente da particelle che possano essere distinte.

La statistica di Bose-Einstein è particolarmente utile nello studio dei gas, a differenza della statistica di Fermi-Dirac, utilizzata più spesso nello studio degli elettroni nei solidi. Per questi motivi esse costituiscono la base della teoria dei semiconduttori e dell'elettronica.

La statistica di Bose-Einstein è stata introdotta nel 1920 da Satyendra Nath Bose per i fotoni ed è stata estesa agli atomi da Albert Einstein nel 1924. La statistica di Fermi-Dirac venne introdotta nel 1926 da Enrico Fermi e Paul Dirac.

Fino al 1930 erano conosciute solo 3 particelle: elettrone, protone e fotone; inoltre dovrà passare molto tempo perché si arrivi a comprendere la connessione tra spin e statistica, la risposta fu data da Pauli nel 1940: sono bosoni le particelle con spin intero o nullo, mentre sono fermioni quelle con spin semi-intero.

Facciamo qualche esempio

2 particelle A e B possono trovarsi in 2 celle differenti: abbiamo quindi 4 casi differenti per la statistica di Boltzmann, 3 per quella di Bose–Einstein e 1 solo caso per la statistica di Fermi-Dirac.

Dalla figura si vede che è impossibile avere 2 fermioni nella stessa cella (principio di esclusione di Pauli), mentre la probabilità di avere 2 bosoni nella stessa cella è addirittura maggiore, cioè i fotoni hanno la tendenza a restare uniti.

Qui di seguito un esempio con 3 celle (nel caso di particelle identiche, vengono chiamate entrambe A).