187. Fermat: Osservazioni su Diofanto

"Il percorso fra due punti preso da un raggio di luce è quello che è attraversato nel minor tempo". Questa è la formulazione del principio di Fermat, molto utile per spiegare vari fenomeni luminosi quali la rifrazione.

Ma è un concetto che si colloca in un ambito molto più generale (che verrà trattato in un post successivo): il principio di minima azione.

Sono molti i problemi che possono essere rappresentati e risolti in termini di questo principio: è possibile mostrare che l'acqua che scende da una collina segue sempre la massima pendenza, oppure permette di studiare il cammino di un corpo in un campo gravitazionale (la cui soluzione è una traiettoria geodetica) e, come citato all’inizio, il fatto che il cammino della luce fra due punti è sempre quello che viene percorso nel tempo più breve (appunto il principio di Fermat). Sono talmente tanti i grandi scienziati che hanno contribuito, che mi limiterò a citarne alcuni (mi scuso per quelli trascurati): Fermat, Maupertuis, Eulero, Lagrange, Hamilton, Jacobi, Gauss e Hertz.

Anche le simmetrie nei problemi di fisica possono essere sfruttate al meglio usando il principio d'azione: per esempio, il teorema di Noether stabilisce che ad ogni simmetria continua in un problema di fisica corrisponde una legge di conservazione.
Questa profonda connessione matematica richiede tuttavia il principio di minima azione come presupposto.

Tornando a Fermat, nasce nel 1601, studia legge e diviene avvocato. Nel tempo libero si occupa di matematica. Precorre lo studio del calcolo differenziale e della teoria della probabilità, ma il campo dove è più noto è la teoria dei numeri: l’esempio più emblematico è “l’ultimo teorema di Fermat”.

Uomo brillante nella vita pubblica, conduce un’esistenza tranquilla come alto magistrato di Tolosa. Il desiderio di gloria e il rivendicare le proprie scoperte sembrano mancare a Fermat: a lui non piace neppure pubblicare, è sua abitudine scrivere le idee che gli vengono in mente sul margine del libro che sta leggendo.

Osservazioni su Diofanto costituisce una delle opere più importanti dei lavori di Fermat ed è dedicata alla teoria dei numeri. Si tratta di annotazioni che non suppongono quindi un lettore e presentano a volte serie difficoltà di comprensione. Vennero pubblicate postume e fu Samuel Fermat, uno dei suoi figli, che nel 1670, cinque anni dopo la morte del padre, le fece pubblicare a sue spese. Dopo quella edizione non ne furono più pubblicate altre fino al 1891. Come si è detto, costituisce una delle principali opere sulla teoria dei numeri, anche se Fermat tralascia spesso di dare la dimostrazione dei teoremi che enuncia.

Successivamente tutti i suoi teoremi sono stati dimostrati ad eccezione di uno rimasto famoso per secoli, secondo cui:

xⁿ + yⁿ = zⁿ   non ammette soluzioni intere per n>2.

Fermat dichiara di avere una splendida dimostrazione, ma di non poterla dare a causa della ristrettezza del margine.

Pierre de Fermat non si allontanò mai dalla regione di Tolosa, ove era nato a Beaumont de Lomage e pochi sono gli avvenimenti significativi della sua vita. Dopo gli studi compiuti a Tolosa, entra a far parte della magistratura il 14 maggio 1631, si sposa con Louise de Long e conduce una vita tranquilla, ma fitta di scambi epistolari che tiene con i più grandi matematici e filosofi del suo tempo.

 

Qui però voglio ricordare, non il più famoso “ultimo teorema” che venne infine dimostrato da Andrew Wiles, dell'università di Princeton, nel 1995, ma “il piccolo teorema di Fermat”:

N^p – N  ≡  0  (mod p)

dato un numero primo p  ed un numero intero N,  N^p – N  è sempre divisibile per p.

Alcuni esempi:

13² – 13 = 156          è divisibile per 2;

  7³ – 7 = 336             è divisibile per 3

Questo teorema viene utilizzato per il test di Fermat: uno dei primi test di primalità, che, come altri test usati normalmente, si propone di verificare non se un numero intero positivo è primo, ma se un numero dato non è primo.

In altre parole è condizione necessaria ma non sufficiente, permette di escludere, come numeri primi, quelli che non soddisfano il test, ma non è detto che quelli che lo passano lo siano.

Ad esempio: 

2⁹ – 2 = 510    che diviso 9    ha resto 6      cioè      2⁹ – 2  ≡  6  (mod 2)

2⁷ – 2 = 126    che diviso 7    ha resto 0      cioè      2⁷ – 2  ≡  0  (mod 2)

dal test si ricava che 9 non è un numero primo, mentre 7 potrebbe esserlo.

 

44 gatti

Questa settimana, all’età di 91 anni, se ne è andato il maestro Giuseppe Casarini che ha fatto cantare tutti i bambini per quasi 50 anni. E’ difficile pensare ad un'altra canzone che abbia attraversato le varie generazioni come quella che vinse lo Zecchino d'oro del 1968, staccando di un solo punto l’altro famoso brano Torero Camomillo.

Il ritornello: “44 gatti in fila per 6 col resto di 2” mi dà lo spunto per citare un problema che può essere risolto applicando il piccolo teorema di Fermat.

 

Un numero N di gatti cerca di mettersi in fila per 2, ma si ha il resto di 1, in fila per 3 il resto è di 2, per 4 il resto è 3, per 5 il resto è 4, per 6 il resto è 5 ed infine per 7 il resto è finalmente 0.    Qual è il numero N di gatti?

 

Non lo risolveremo con i passaggi corretti, ma cercherò di darne una spiegazione più intuitiva.

In fila per 2 ne avanza 1, quindi il numero è dispari.

In fila per 5 ne avanzano 4, quindi termina per 9 (o per 4, che però non è dispari).
In fila per 7 ne avanzano 0, quindi il numero è multiplo di 7.

fila	resto
7	0	7	49	119	189	259	329	399	469	539	609	679	749	819	889	959	1029	1099	1169	1239
6	5	11	29	59	89	119	149	179	209	239	269	299	329	359	389	419	449	479	509	539
5	4	9	19	29	39	49	59	69	79	89	99	109	119	129	139	149	159	169	179	189
4	3	7	19	39	59	79	99	119	139	159	179	199	219	239	259	279	299	319	339	359
3	2	5	29	59	89	119	149	179	209	239	269	299	329	359	389	419	449	479	509	539
2	1	3	9	19	29	39	49	59	69	79	89	99	109	119	129	139	149	159	169	179

In tabella sono riportati tutti i possibili risultati che possono soddisfare le varie disposizioni. Dalla quarta colonna sono stati riportati solo i valori che finiscono per 9.

Si vede così che il primo numero che soddisfa le richieste è N = 119.

Non è però l’unico, il minimo comune multiplo dei numeri da 2 a 7 è 420, e sommando 420 a 119 si ottiene 539, che risulta anch’esso soluzione del problema come 959, 1379, ecc.

Soluzione alternativa: un modo semplice di risolvere il problema è il seguente (simile a quanto fatto nel post 41. 17 Cammelli).

Visto che aggiungendo 1 solo gatto si possono completare le fila per 2, 3, 4, 5 e 6, si ha che N+1 deve contenere il minimo comune multiplo di questi numeri, cioè 60.

Ma 60 – 1 = 59 non è divisibile per 7. Proviamo allora con il doppio e possiamo così verificare che in questo caso sono soddisfatte tutte le condizioni richieste.

 

(Aritmetica di Diofanto Alessandrino, libro 2, questione 8)

 

Dividere un quadrato dato in due quadrati

 

Non è, invece, possibile dividere un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, ne’, in generale, dividere un’altra potenza di grado superiore al secondo in due altre potenze dello stesso grado: della qual cosa ho scoperto una dimostrazione veramente mirabile, che non può essere contenuta nella ristrettezza del margine.

 

http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Carmichael