177. Ottagoni e Sezione Aurea

Castel del Monte è un edificio del XIII secolo (1235-1240) fatto costruire da Federico II di Svevia in Puglia, nell'attuale frazione omonima del comune di Andria, a 18 km dalla città (provincia di Barletta-Andria-Trani).

Situato su una collina della catena delle Murge occidentali, a 540 metri s.l.m. nei pressi del 41° parallelo, è stato inserito nell'elenco dei patrimoni dell'umanità dell'UNESCO nel 1996.

L'edificio è a pianta ottagonale e a ogni spigolo si innesta una torretta a sua volta ottagonale.

Se si disegnano 4 rettangoli sulla pianta del castello con i lati sovrapposti ai lati delle sale trapezoidali e gli angoli coincidenti i punti in cui si innestano le torri, sono uguali al numero aureo i rapporti tra:

a) i lati di ciascun rettangolo

b) il lato minore del rettangolo e il lato maggiore delle sale

c) il lato maggiore e il lato minore delle sale

 

 

Del numero aureo si è già scritto in altri post:

 

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/89-ottantanove.html

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/90-ottantanove-bis.html

http://zibalsc.blogspot.it/2014/02/139-sezione-aurea-immaginaria.html

Le sale del castello hanno forma trapezoidale e se moltiplichiamo il lato minore del trapezio per 1,618 (il numero aureo) otteniamo il lato maggiore.

Inoltre se dividiamo il lato minore per la radice quadrata di 1,618 (1,272) otteniamo la larghezza della sala.

 

Negli appunti per il corso di Teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico -

“LA SEZIONE AUREA NELL’ARCHITETTURA” - Alessandra Simi (La Sapienza Università di Roma):

http://dsg.uniroma1.it/monti/ar-tetcss/testi/Appunti%20sulla%20Sezione%20Aurea.pdf

viene mostrato come la sezione aurea sia stata utilizzata da molti architetti.

Anche il portale di Castel del Monte scaturisce dal pentagono stellato e contiene quindi il rapporto aureo.

 

Un altro famoso esempio è rappresentato dalla piramide di Cheope: 

 

Nota 1: Castel del Monte è a pianta ottagonale (lato esterno: 10,30 m intervallo tra le torri più diametro di ogni torre: 7,90 m) e a ogni spigolo si innesta una torretta a sua volta ottagonale (lato 2,70 m), mentre l'ottagono che corrisponde alla corte interna ha lati la cui misura varia tra i 6,89 m e i 7,83 m. Il diametro del cortile interno è di 17,86 m. Il diametro dell'intero castello è di 56 m, mentre il diametro di ogni torre è di 7,90 m.

Le torri sono alte 24 m e superano di poco l’altezza delle pareti del cortile interno (20,50 m).
 

Nota 2: Federico II di Svevia, sensibile ai problemi scientifici, si interessò in modo particolare alla matematica. Ne fa testimonianza l’importante Liber Quadratorum, scritto da Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, e ispirato da un quesito posto dall’imperatore. Grazie a questa ed a tutte le altre sue opere, Fibonacci diventò uno dei più grandi matematici del Medioevo. Insieme a molti altri scienziati presenti alla corte di Federico II, egli riuscì a capire, diffondere e approfondire le idee e i risultati del mondo scientifico arabo. A Fibonacci si deve, quindi, il merito di aver divulgato in Europa i numeri arabi ed il modo di calcolare con essi.

 

Nota 3: la presenza più comune degli ottagoni è nella forma dei segnali di stop. Tale forma venne scelta in Canada e subito adottata anche negli Stati Uniti, nazioni in cui le nevicate abbondanti spesso rendono illeggibili i cartelli stradali; anche se coperto di neve gelata, un segnale ottagonale si riconosce a prima vista, e ciò basta per informare della presenza di un incrocio pericoloso.

Probabilmente anche il cartello che indica il divieto d’accesso non dovrebbe essere rotondo; potrebbe essere, ad esempio, esagonale.

 

 

Nota 4: oltre al “golden ratio” è stato definito in modo analogo il “silver ratio”:

http://www.johndcook.com/blog/2009/05/20/the-silver-ratio/

silver ratio ψ

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Silver_ratio

 http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html

 

Ottagono della Galleria Vittorio Emanuele II di Milano

 

La pianta di Palmanova è un altro bell’esempio di utilizzo della geometria: 

176. Alla ricerca del tempo perduto - Il secondo in più

“Il tempo è definito in modo che il moto sembri semplice”

Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, Freeman, 1973

Il 2015 durerà un secondo in più, lo ha annunciato l’International Earth Rotation and Reference Systems Service. Il secondo verrà introdotto a fine giugno ed il motivo è semplice: la Terra sta rallentando il suo moto di rotazione intorno al proprio asse.

Molti possono essere i motivi, ma il contributo principale è dovuto alla Luna la cui forza di gravità oppone resistenza alla Terra prolungando il giorno solare.

E così tutti gli orologi (tranne le meridiane) sono destinati a correre troppo.

Il “secondo intercalare” è stato introdotto nel 1972 e da allora ne sono stati introdotti altri per un totale di 25.
 

Misner, Thorne, Wheeler,Gravitation, Freeman, 1973

Il secondo è definito come frazione del giorno: 1 giorno = 86.400 secondi.

Ma in genere, dura un poco di più, e il valore di questa durata varia in modo piuttosto irregolare.

Si potrebbe definire un "secondo" un po' più lungo, in modo tale che vi siano esattamente 86.400 di questi secondi in una rotazione terrestre.

Un’altra soluzione è di lasciare il "secondo" come quello definito dall'orologio atomico: durata di 9.192.631.770 oscillazioni di un particolare stato di un atomo di Cesio.

In questo caso, poiché una certa rotazione della Terra durerà un po' più di 86.400 secondi, sarà necessario, di tanto in tanto, aggiungere un secondo "in più" alla fine di un giorno: una specie di "secondo bisestile". Questo procedimento è del tutto analogo a quello in cui (poiché un anno dura un po' di più di 365 giorni) si deve talvolta inserire un "giorno bisestile" nel calendario. Questo tipo di Tempo Universale è chiamato TUC (in inglese UTC) o Tempo Universale Coordinato.

Questi giorni possono essere quindi costituiti da 86.401 invece che da 86.400 secondi. Poiché la rotazione terrestre è irregolare, anche questa inserzione di “secondi intercalari” avviene in modo irregolare.

In quel secondo gli orologi segnano 23:59:60, un orario che di norma non esiste.
E di solito questo non crea problemi.

Molti sistemi, però, usano il Network Time Protocol e allineano il loro orologio per confronto, e se l’NTP mostra al computer un orario che non esiste, il sistema può avere problemi.

E’ quello che è successo il 30 giugno 2012. Quella mezzanotte molti siti si sono bloccati e circa 400 voli della Qantas Airlines hanno subito ritardi perché il “bug” aveva mandato in tilt il sistema delle prenotazioni.

Google ha evitato inconvenienti grazie al “secondo spalmato”: ha modificato i server NTP apportando aumenti di millisecondi nell’arco della giornata e, quando il “secondo intercalare” è stato inserito, i server di Google erano già allineati.

Recenti studi hanno mostrato che la durata del giorno era esattamente 86.400 secondi nel 1820; mentre attualmente è di circa 86.400,002 secondi.

Ciò implica che si deve aggiungere un secondo ogni 500 giorni.

 

175. Prodotti Infiniti

Nel post “29. Prodotti Infiniti: Wallis e Pippenger” si sono visti il prodotto di Wallis (ricavato nel 1655 da John Wallis) che permette di calcolare il valore di pi greco con il semplice prodotto infinito:

 

 

 

E la formula che Nick Pippenger (nel 1980) ha ricavato per un prodotto infinito di  e :

 

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product#Product_representations_of_functions
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html
 

Ora se raggruppiamo i termini a coppie in 2 modi differenti:

-       prima moltiplichiamo tra di loro la seconda e la terza frazione, la quarta e la quinta, ecc.

-       successivamente, la prima e la seconda, la terza e la quarta, ecc.

otteniamo:

 

Lasciando al primo membro il 2 e portando sulla destra dell’uguaglianza tutte le atre frazioni, abbiamo come risultato la formula che nel post citato veniva riportata senza dimostrazione:

 

 

 

Un altro modo per ottenere lo stesso risultato è di utilizzare la coppia di formule fornita da D.W.Cantrell nel 2006 (qui riporto solo quella per k pari) che permettono di ottenere il valore del prodotto infinito:
 

 

 

Come caso particolare (per n=2) si ottiene ancora la formula precedente:

 

Vedi formula (21) nel sito  Wolfram Math World :

http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html

Dove si può trovare un ampio elenco di prodotti infiniti.

 

174. 4 Lorenz e 1 Lorentz

Durante i primi anni di università non avevo fatto caso alla “t” che distingue il danese Lorenz dall’olandese Lorentz e pensavo che lo scienziato che aveva proposto il Gauge di Lorenz fosse la stessa persona conosciuta per le sue ricerche sull'elettromagnetismo e per le trasformazioni di Lorentz (e alcune ipotesi sulla contrazione dei corpi in movimento) che furono utilizzate successivamente da Albert Einstein per la descrizione dello spazio-tempo nella formulazione della Relatività Ristretta.

Nell'ambito della teoria di gauge, il Gauge di Lorenz è una scelta dei potenziali del campo elettromagnetico tali da soddisfare una determinata condizione, detta appunto condizione di Lorenz. Questa condizione ha la proprietà di essere Lorentz invariante e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge:

se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.

Cercherò di spiegarlo in altre parole.

Nella Relatività Ristretta, le trasformazioni di Lorentz sono trasformazioni di coordinate tra due sistemi di riferimento inerziali che permettono di descrivere come varia la misura del tempo e dello spazio quando l'oggetto della misura è in moto uniforme rispetto all'osservatore ed inoltre (dati 2 osservatori in moto uniforme tra di loro) misurando un oggetto in moto con una particolare velocità si ottiene lo stesso risultato in entrambi i casi.

Nel caso della Teoria della Relatività Ristretta, questo valore indicato con c nelle equazioni delle trasformazioni, è la velocità della luce.

La Relatività Galileiana può essere ottenuta come caso particolare, facendo tendere all’infinito il valore di c.
 

 

Furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Woldemar Voigt (1887) e Joseph Larmor (1897). Nel 1905, Henri Poincaré, il famoso matematico francese, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904.

Nel 1905, Poincaré fu il primo a riconoscere che le trasformazioni di Lorentz hanno le proprietà di un Gruppo Matematico.

Lorentz scoprì nel 1900 che le trasformazioni hanno la fondamentale proprietà di preservare le equazioni di Maxwell e questo ha come fondamentale conseguenza che la velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali. Egli credeva nell'ipotesi dell'etere; fu Albert Einstein, sviluppando la Teoria della Relatività Ristretta, che diede un appropriato fondamento alla sua applicazione.

L’equazione di Lorentz–Lorenz mette in relazione l’indice di rifrazione di una sostanza con la sua polarizzabilità (cioè la tendenza di una distribuzione di carica elettrica, quale la nuvola elettronica di un atomo o una molecola, a modificare la sua posizione originaria per l'effetto di un campo elettrico esterno).

Gli altri 3 Lorenz sono invece noti per i loro studi in differenti ambiti.

 

Otto Max Lorenz (1880 – 1962) è stato un economista statunitense, noto per aver messo a punto uno studio che descrive le disparità di reddito da cui prende il nome la "curva di Lorenz" introdotta solo nel 1912 grazie al libro chiamato “The Elements of Statistical Method” e spesso utilizzata per rappresentare la distribuzione del reddito.
La percentuale delle famiglie è tracciato sull'asse x, la percentuale di reddito sull'asse y.

Può anche essere usato per mostrare la distribuzione dei beni. In tali condizioni, molti economisti ritengono che si tratti di una misura di disuguaglianza sociale.

L'area compresa tra la curva così definita e la retta di equidistribuzione è detta area di concentrazione e può essere utilizzata come base per la definizione di appositi rapporti di concentrazione, come ad esempio l'indice di Gini spesso usato per misurare la diseguaglianza nella distribuzione del reddito o anche della ricchezza.

È un numero compreso tra 0 ed 1.

Valori bassi del coefficiente indicano una distribuzione abbastanza omogenea, con il valore 0 che corrisponde alla pura equidistribuzione, ad esempio la situazione in cui tutti percepiscono esattamente lo stesso reddito.

Valori alti del coefficiente indicano una distribuzione più diseguale, con il valore 1 che corrisponde alla massima concentrazione, ovvero la situazione dove una persona percepisca tutto il reddito del paese mentre tutti gli altri hanno un reddito nullo.

 

Konrad Zacharias Lorenz (Vienna, 7 novembre 1903 – Altenberg, 27 febbraio 1989) è stato uno zoologo ed etologo austriaco.

Nel 1973 gli viene assegnato il Premio Nobel per la medicina e la fisiologia per i suoi studi sulle componenti innate del comportamento e in particolare sul fenomeno dell'imprinting nelle oche selvatiche.

Come sempre una trattazione esaustiva si può trovare nell’apposita pagina di Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Posso solo consigliare, tra i tanti libri scritti, “E l'uomo incontrò il cane” (1950), che come quasi tutte le sue opere, tratta del comportamento degli animali, in questo caso, appunto, dei cani.

 

Edward Norton Lorenz (West Hartford, 23 maggio 1917 – Cambridge, 16 aprile 2008) è stato un matematico e meteorologo statunitense noto per essere stato il pioniere della teoria del caos ed aver scoperto gli attrattori strani.

Lorenz costruì un modello matematico dell'aria che si muove nell'atmosfera terrestre. Con tale modello Lorenz iniziò a studiare le precipitazioni e si rese conto che non sempre i cambiamenti climatici erano prevedibili. Minime variazioni dei parametri iniziali del modello a dodici equazioni di Lorenz producevano enormi variazioni nelle precipitazioni.

La dipendenza così marcata con i parametri iniziali prese il nome di effetto farfalla.

Lorenz esplorò la matematica che stava alla base del modello e nel suo articolo Deterministic Nonperiodic Flow descrisse un sistema di equazioni relativamente semplice che dava come risultato un'infinita serie di soluzioni di estrema complessità che mostravano una sensibile dipendenza dai dati iniziali.

Questo sistema prese il nome di attrattore di Lorenz e fu il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento complesso.

http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory

Attrattore di Lorenz

 

Ludvig Lorenz        (1829-1891) -     fisico danese

Hendrik Lorentz     (1853-1928) -     fisico olandese

Max O. Lorenz        (1876-1959) -     economista statunitense

Konrad Lorenz       (1903-1989) -     etologo austriaco

Edward N. Lorenz (1917-2008) -     meteorologo/matematico statunitense

 

 

http://zibalsc.blogspot.it/2011/09/80-relazione-massa-energia_27.html

 

 

Il coefficiente di Gini, introdotto dallo statistico italiano Corrado Gini, è una misura della diseguaglianza di una distribuzione. È spesso usato come indice di concentrazione per misurare la diseguaglianza nella distribuzione del reddito o anche della ricchezza. È un numero compreso tra 0 ed 1. Valori bassi del coefficiente indicano una distribuzione abbastanza omogenea, con il valore 0 che corrisponde alla pura equidistribuzione, ad esempio la situazione in cui tutti percepiscono esattamente lo stesso reddito; valori alti del coefficiente indicano una distribuzione più diseguale, con il valore 1 che corrisponde alla massima concentrazione, ovvero la situazione dove una persona percepisca tutto il reddito del paese mentre tutti gli altri hanno un reddito nullo.

La definizione matematica del coefficiente di Gini si basa sulla curva di Lorenz (Max O.) della distribuzione ed è legata all'area compresa fra la linea di perfetta uguaglianza e la curva di Lorenz. Il coefficiente di Gini è definito come il rapporto fra l'area compresa tra la linea di perfetta uguaglianza e la curva di Lorenz (A) e l'area totale sotto la linea di perfetta uguaglianza (A+B), ovvero G = A / (A+B). Siccome l'intervallo sull'asse x va da 0 a 1, allora A + B = 0.5 e dunque il coefficiente di Gini è anche uguale a G = 2A = 1 - 2B.

 

http://it.wikipedia.org/wiki/Lista_di_stati_per_uguaglianza_di_reddito

 

 

173. Qual è il titolo di questo post?

Il titolo di questo post è una chiara citazione del bel libro scritto da Raymond M. Smullyan nel 1978 - Qual è il titolo di questo libro? – Zanichelli.

  

Raymond Merrill Smullyan (New York, 25 maggio 1919) è un matematico, filosofo, scrittore, pianista e prestigiatore statunitense. Nel libro citato si possono trovare molti problemi logici che sono estensioni di rompicapo classici. Sull'isola dei cavalieri e dei furfanti, i personaggi sono cavalieri (che dicono sempre la verità) e furfanti (che mentono sempre).

 

Nei 271 racconti vengono presi in considerazione problemi, storielle e paradossi vari. Per invogliare a leggere il libro ne citerò qualche esempio.

14 - Il problema dell’orso.

Ciò che è interessante in questo problema è il fatto che molti l’hanno già sentito e conoscono la risposta, ma le loro spiegazioni sono insufficienti. Così, anche se credete di conoscere la risposta, assicuratevene e consultate la soluzione.

Un uomo si trova 100 metri a sud di un orso. Egli percorre 100 metri verso est, quindi si ferma e si rivolge verso nord, imbraccia il fucile, spara esattamente a nord e colpisce l’orso.

Di che colore era l’orso?

Prima di proseguire è necessario fare un breve preambolo.

John Calvin Coolidge (Plymouth, 4 luglio 1872 – Northampton, 5 gennaio 1933) è stato il 30º Presidente degli Stati Uniti d'America, in carica dal 1923 al 1929. Finì il suo mandato giusto in tempo per non essere coinvolto nella crisi del ’29.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera: <<In biologia e psicologia l’effetto Coolidge è il termine che descrive un fenomeno, riscontrabile in quasi tutte le specie dei mammiferi, attraverso il quale i maschi (ed in maniera minore le femmine) esibiscono un potenziale sessuale rinnovato con l'introduzione di nuovi partner ricettivi.

Origine del termine.

Il termine deriverebbe da una vecchia battuta secondo la quale la moglie del Presidente degli Stati Uniti Calvin Coolidge, in visita ad una fattoria sperimentale patrocinata dal governo, notò un gallo che si accoppiava molto frequentemente. Chiedendo al suo accompagnatore quanto spesso avvenisse il fatto le venne risposto “dozzine di volte al giorno”. “Lo dica al signor Coolidge” replicò la First Lady. Il Presidente, informato della cosa, chiese a sua volta: “Ma ogni volta con la stessa gallina?”. “No,” rispose il contadino, “ogni volta con una gallina diversa”. “Lo dica alla signora Coolidge!” disse il Presidente.>>

 

Plymouth (luogo di nascita di Coolidge) è una città del Vermont nel New England e una caratteristica degli abitanti del Vermont (almeno come viene riportato nelle storie umoristiche) è quella di rispondere con esattezza alle domande, ma di tralasciare spesso dettagli essenziali. Un bell’esempio di questo principio è la barzelletta su un abitante del Vermont che andò alla fattoria di un vicino, a cui chiese: «Lem, che cosa hai dato al tuo cavallo l’anno scorso, quando ebbe la colica?»

Lem rispose: «Crusca e melassa».

L’agricoltore andò a casa, tornò una settimana dopo e disse: «Lem, ho dato al mio cavallo crusca e melassa, ed è morto».

Lem replicò: «Anche il mio».

217 - Gente del Vermont

Questa storiella che abbiamo raccontato mi ricorda una storia su Calvin Coolidge. Coolidge stava visitando una fattoria con alcuni amici. Quando arrivarono a un gregge di pecore, uno degli amici disse: «Vedo che queste pecore sono appena state tosate». Coolidge rispose: «Sembra proprio così, almeno da questa parte».

245 - Che cosa è meglio?

Che cosa è meglio, l’eterna felicità o un panino al prosciutto?

Sembrerebbe che fosse meglio l’eterna felicità, ma in realtà non è così!
Dopo tutto, niente è meglio dell’eterna felicità e un panino al prosciutto è certamente meglio di niente.
Quindi un panino al prosciutto è meglio dell’eterna felicità.

14 - Soluzione al problema dell’orso

L’orso deve essere bianco, deve essere un orso polare. La spiegazione più frequente che viene data è che l’orso doveva stare esattamente al Polo Nord.

Bene, questa è effettivamente una possibilità, ma non è l’unica. Dal Polo Nord, tutte le direzioni sono verso sud, così se l’orso sta al Polo Nord e l’uomo è a 100 metri a sud dell’orso e percorre 100 metri verso est, allora quando si volge verso nord si troverà di nuovo soluzione. In effetti c’è un numero infinito di soluzioni.

Potrebbe essere, ad esempio, che l’uomo sia molto vicino al Polo Sud, in un punto in cui il parallelo passante per quel punto ha una lunghezza di 100 metri esatti, e l’orso si trova a cento metri a nord dell’uomo. Allora se l’uomo percorresse 100 metri verso est, egli camminerebbe lungo il parallelo fino a tornare esattamente al punto di partenza.

Così questa è una seconda soluzione.

Ma l’uomo potrebbe essere ancora più vicino al Polo Sud, in un punto in cui il parallelo ha una lunghezza di 50 metri esatti, così se egli camminasse per 100 metri verso est, percorrerebbe il parallelo due volte e si troverebbe di nuovo al punto di partenza. Oppure l’uomo potrebbe trovarsi ancora più vicino al Polo Sud, in un punto in cui il parallelo ha una lunghezza che è esattamente un terzo di 100 metri, e percorrere tre volte il parallelo per ritrovarsi al punto di partenza. E così via per ogni numero n intero positivo.

Così sulla terra vi è realmente un numero infinito di punti in cui le condizioni del problema potrebbero essere soddisfatte.

Naturalmente, in tutte queste soluzioni l’orso è abbastanza vicino al Polo Nord o al Polo Sud per essere considerato un orso polare. C’è, naturalmente, la remota possibilità che qualche maligno essere umano trasporti deliberatamente un orso bruno al Polo Nord tanto per far dispetto all’autore di questo problema.

172. Doomsday 2015

Il Doomsday del 2015 sarà Sabato*.

Come visto i precedenti anni (vedi post 30, 92, 109 e 132) alcune date, semplici da ricordare, hanno in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday).

Questa regola è stata evidenziata dal matematico inglese John Horton Conway.

Da Aprile saranno cioè Sabato:

- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12,

- nei mesi dispari il 7/3, il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

Per i mesi dispari si ha sempre che la differenza tra giorno e mese è uguale a 4.

In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche:

-       l’ultimo giorno di Febbraio (sia che l’anno sia bisestile o meno)

-       il 25 Aprile

-       Ferragosto  (15 Agosto)

-       Halloween   (31 Ottobre)

-       S.Stefano     (26 Dicembre)

Lo è anche l’anniversario della nascita di Albert Einstein (14 Marzo) famoso come Pi Day, giorno dedicato a pi greco, per la grafia anglosassone del numero 3.14

* Nel 2016 Lunedì, nel 2017 Martedì e nel 2018 Mercoledì.

http://www.timeanddate.com/calendar/?year=2015

http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_rule

http://www.emba.uvm.edu/~snapp/teaching/cs32/homework/Fall2010/doomsday.pdf
http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/
http://rudy.ca/doomsday.html
http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2008/12/16/il-giorno-del-giudizio/
http://xmau.com/notiziole/arch/200908/005852.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Giorno_del_pi_greco
http://www.piday.org/
http://www.exploratorium.edu/pi/
 

Anche il 26/12 compleanno di Conway è il giorno del Doomsday.

http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2012/12/26/26-dicembre-1937-buon-compleanno-john/

Spiegazione: la regola mnemonica per i mesi pari è ovvia e deriva dal fatto che, a parità di numero, tra 2 mesi pari successivi ci sono sempre 61 giorni (30+31); avanzando di 2 giorni ogni 2 mesi si ha:  30+31+2=63 (9 settimane esatte).